专题 空间几何体的外接球与内切球

专题 04 1 专题 04 1 专题 04 空间几何体的外接球与内切球 一 一 选择题选择题 1 2017 2018 学年辽宁省抚顺二中高一 上 期末 在三棱锥ABCD 中 6ABCD 5ACBDADBC 则该三棱锥的外接球的表面积为 A 43 43 24 B 43 43 6 C 43 2 D 43 2 黑 龙江省实验中学 2017 2018 学年高一下学期期末 四面体ABCD 中 60ABCABDCBD 3 2ABCBDB 则此四面体外接球的表面积为 A 19 2 B 19 38 24 C 17 D 17 17 6 3 四川省泸州市泸化中学 2017 2018 学年高一 5 月月考 三棱柱 111 ABCABC 中 1 A A 平面ABC ACBC 1 2A A 1AC 3BC 则该三棱柱 111 ABCABC 的外接球的表面积为 A 4 B 6 C 8 D 10 4 四川省泸州市泸化中学 2017 2018 学年高一 5 月月考 三棱柱 111 ABCABC 中 1 A A 平面ABC ACBC 1 3A A 1AC 2BC 则该三棱柱 111 ABCABC 的外接球的体积 A 4 2 3 B 8 2 3 C 16 2 3 D 8 5 2018 年人教 A 版数学必修二 棱长分别为 2 3 5的长方体的外接球的表面积为 A 4 B 12 C 24 D 48 6 浙江省嘉兴市第一中学 2018 2019 学年高二上学期期中 在四面体SABC 中 ABBC 2ABBC 2SASC 二面SACB 角的余弦值是 3 3 则该四面体外接球的表面积是 A 8 6 B 24 C 6 D 6 专题 04 2 7 安徽省黄山市屯溪第一中学 2018 2019 学年高二上学期期中考试 三棱锥PABC 中 PA 平面 ABC 2 3 BAC 3AP 2 3AP Q 是 BC 边上的一个动点 且直线 PQ 与面 ABC 所成角的最大值为 3 则 该三棱锥外接球的表面积为 A 45 B 63 C 57 D 84 8 广东省佛山市第一中学 2018 2019 学年高二上学期第一次段考 三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥外接球的 体积为 A 4 3 B 2 3 C 2 2 D 2 9 内蒙古鄂尔多斯市第一中学 2018 2019 学年高二上学期期中考试 已知一个三棱锥的三视图如图所示 其中俯视 图是等腰直角三角形 则该三棱锥的外接球体积为 A 3 B 2 3 C 4 3 D 12 10 四川省遂宁市 2017 2018 学年高二上学期教学水平监测 已知长方体 1111 ABC DABCD 中 3AB 4AD 1 5AA 则长方体 1111 ABC DABCD 外接球的表面积为 A 100 B 75 C 50 D 25 专题 04 3 11 山西省朔州市应县第一中学 2018 2019 学年高二上学期期中考试 在三棱锥SABC 中 三侧面两两互相垂直 侧面 SAB SAC SBC 的面积分别为 3 1 3 2 则此三棱锥的外接球的表面积为 A 14 B 12 C 10 D 8 12 重庆市铜梁一中 2018 2019 学年高二 10 月月考 棱长分别为 2 3 5的长方体的外接球的表面积为 A 4 B 12 C 24 D 48 13 黑龙江省大庆中学 2018 2019 学年高二 10 月月考 长方体的三个相邻面的面积分别为 2 3 6 则该长方体 外接球的表面积为 A 7 2 B 56 C 14 D 64 14 重庆市万州三中 2018 2019 学年高二上学期第一次月考 已知一个表面积为 44 的长方体 且它的长 宽 高的 比为3 2 1则此长方体的外接球的体积为 A 7 7 6 B 7 14 3 C 7 21 2 D 28 7 3 二 二 填空题填空题 15 江西省赣州市十四县 市 2018 2019 学年高二上学期期中联考 在三棱锥PABC 中 PA 平面 ABC ABBC 3AB 4BC 5PA 则三棱锥PABC 的外接球的表面积为 16 贵州省遵义市南白中学 2018 2019 学年高二上学期第一次月考 正四面体ABCD 内切球半径与外接球半径之 比为 17 山西省长治市第二中学 2017 2018 学年高二下学期期末考试 已知三棱锥DABC 中 1ABBC 2AD 5BD 2AC ADBC 则三棱锥DABC 的外接球的表面积为 来源 Zxxk Com 18 高二人教版必修 2 第一章 本章能力测评 已知正六棱柱的底面边长为 4 高为 6 则它的外接球的表面积 为 专题 04 4 19 江西省南昌市第十中学 2017 2018 学年高二下学期期末考试 在三棱锥SABC 中 SBBC SAAC SBBC SAAC 1 2 ABSC 且三棱锥SABC 的体积为 9 3 2 则该三棱锥的外接球半径是 20 山东省潍坊市 2017 2018 学年高二 5 月份统一检测 如图 在三棱锥PABC 中 PA 平面 ABC ABBC 1PAAB 3BC 则三棱锥PABC 外接球的表面积为 专题 04 参考答案 1 专题专题 04 空间几何体的外接球与内切球空间几何体的外接球与内切球 参考答案 参考答案 一 一 选择题选择题 1 答案 答案 D 解析 解析 分别取 AB CD 的中点 E F 连接相应的线段 CE ED EF 由条件 AB CD 4 BC AC AD BD 5 可知 ABC 与 ADB 都是等腰三角形 AB 平面 ECD AB EF 同理 CD EF EF 是 AB 与 CD 的公垂线 球心 G 在 EF 上 推导出 AGB CGD 可以证明 G 为 EF 中点 DE 2594 DF 3 EF 1697 GF 7 2 球半径 DG 743 9 42 外接球的表面积为 2 443SDG 故选 D 2 答案 答案 A 解析 解析 由题意 BCD 中 CB DB 2 CBD 60 专题 04 参考答案 2 可知 BCD 是等边三角形 BF 3 BCD 的外接圆半径 2 3 3 rBE 3 3 FE ABC ABD 60 可得 AD AC 7 可得 AF 6 AF FB AF BCD 四面体 A BCD 高为 AF 6 设 外接球 R O 为球心 OE m 可得 222 rmR 2 22 6EFR 由 解得 R 19 8 四面体外接球的表面积 S 4 R2 19 2 故选 A 3 答案 答案 C 解析 解析 由题意得三棱柱为直三棱柱 且正好是长方体切出来的一半 所以外接球半径为 2 21348R 2 2R 2 498SR 选 C 4 答案 答案 B 解析 解析 ABC 为直角三角形 斜边为 22 125 球心与该斜边的中点的连线垂直于平面 ABC 故球的半径 2 2 51 32 24 R 故球的体积为 3 48 2 2 33 故选 B 5 答案 答案 B 解析 解析 设长方体的外接球半径为R 由题意可知 22 2 2 2235R 则 2 3R 专题 04 参考答案 3 该长方体的外接球的表面积为 2 44312SR 本题选择 B 选项 6 答案 答案 C 解析 解析 取 AC 中点 D 连接 SD BD 2ABBC BDAC 2SASC SDAC AC 平面SDB SDB 为二面角SACB 在 ABC 中 ABBC 2ABBC 2AC 取等边 SAC 的中心 E 作EO 平面SAC 过 D 作DO 平面ABC EO DO交于O 3 3 ED 因为二面角SACB 的余弦值是 3 3 6 cos 3 EDO 2 2 OD 22 6 2 BOBDODOAOSOC O 点为四面体的外接球球心 其半径为 6 2 表面积为 2 6 4 6 2 故选 C 7 答案 答案 C 解析 解析 三棱锥 P ABC 中 PA 平面 ABC 直线 PQ 与平面 ABC 所成角为 如图所示 则 3 sin PA PQPQ 且sin 的最大值是 3 2 PQ min 2 3 AQ 的最小值是3 即 A 到 BC 的距离为3 AQ BC AB 2 3 在 Rt ABQ 中可得 6 ABC 即可得 BC 6 取 ABC 的外接圆圆心为 O 作 OO PA 专题 04 参考答案 4 6 2 sin120 r 解得2 3r O A2 3 取 H 为 PA 的中点 OH O A2 3 PH 3 2 由勾股定理得 22 57 2 OPRPHOH 三棱锥 P ABC 的外接球的表面积是 2 2 57 4 4 57 2 SR 故答案为 C 8 答案 答案 A 解析 解析 三棱锥的直观图如图 以 PAC 所在平面为球的截面 则截面圆 O1的半径为 13 1 2 sin60 以 ABC 所在平面为球的截面 则截面圆 O2的半径为 111 22 AB 球心 H 到 ABC 所在平面的距离为 11 32 PO 则球的半径 R 为 111 3 44 所以球的体积为 3 4 34 3 3 本题选择 A 选项 专题 04 参考答案 5 9 答案 答案 C 解析 解析 由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥 底面是斜边上的高为2的等腰直角三角形 与底面垂直的侧面是个等腰三角形 底边长为 2 高为 2 故三棱锥的外接球与以棱长为 2 的正方体的外接球相同 其直径为2 3 半径为3 三棱锥的外接球体积为 3 4 34 3 3 故选 C 10 答案 答案 C 解析 解析 长方体 1111 ABC DABCD 中 3AB 4AD 1 5AA 长方体的对角线 1 9 16255 2AC 长方体 1111 ABC DABCD 的各顶点都在同一球面上 球的一条直径为 1 5 2AC 可得半径 5 2 2 R 因此 该球的表面积为 2 50 4 4 50 4 SR 11 答案 答案 A 解析 解析 由题意得 侧棱 SA SB SC 两两垂直 设SAx SBy SCz 则 SAB SAC SBC 都是以 S 为直角顶点的直角三角形 专题 04 参考答案 6 得 2 3 6 xy yz xz 解之得2 1 3xyz 即2 1 3SASBSC 侧棱 SA SB SC 两两垂直 以 SA SB SC 为过同一顶点的三条棱作长方体 该长方体的对角线长为4 1 914 恰好等于三棱锥外接球的直径 由此可得外接球的半径 14 2 R 可得此三棱锥外接球表面积为 2 4 14 SR 故选 A 12 答案 答案 B 解析 解析 长方体从同一顶点出发的三条棱的长分別为为 2 3 5 长方体的对角线长为 4 3 52 3 长方体的对角线长恰好是外接球的直径 球半径为3R 可得球的表面积为 2 4 12 R 故选 B 13 答案 答案 C 解析 解析 设长方体的棱长分别为 a b c 则 2 3 6 ab bc ac 所以 2 36abc 于是 2 1 3 a b c 设球的半径为 R 则 2222 414Rabc 所以这个球面的表面积为 2 4 14 R 本题选择 C 选项 14 答案 答案 D 解析解析 设长方体的长 宽 高分别为3 2 xx x 则2 322 32 244xxx xx x 解得 2 2x 即2x 专题 04 参考答案 7 即长方体的棱长分别为3 2 2 2 2 所以长方体的对角线长为 222 3 22 222 7 所以球的半径为22 7R 即7R 所以球的体积为 3 3 4428 7 7 333 VR 故选 D 二 二 填空填空题题 15 答案 答案 50 解析 解析 由题意 在三棱锥PABC 中 PA 平面 ABC ABBC 3AB 4BC 5PA 以 AB BC PA为长宽高构建长方体 则长方体的外接球是三棱锥PABC 的外接球 所以三棱锥PABC 的外接球的半径为 222 15 2 345 22 R 所以三棱锥PABC 的外接球的表面积为 2 2 5 2 4 4 50 2 SR 16 答案 答案 1 3 解析 解析 由正四面体的对称性可得正四面体的内切球与外接球球心重合且在正四面体的高上 设正四面体ABCD 的内切球与外接球球心为 O 正四面体的高为 h 将正四面体ABCD 分成以 O 为顶点 以四面体的四个面为底面的四个正四棱锥 这四个正四棱锥的底面积是正四面体的底面积 s 高为内切球的半径 r 设四面体外接球半径为 R 则Rrh 由四个正四棱锥的体积和等于正四面体的体积可得 11 4 33 shsr 13 44 rh Rh 1 3 r R 故答案为 1 3 17 答案 答案 6 解析 解析 如图 2AD 1AB 5BD 满足 222 ADABSD 专题 04 参考答案 8 AD AB 又 AD BC ABBCB AD 平面 ABC 1ABBC 2AC AB BC BC 平面 DAB CD 是三棱锥的外接球的直径 2AD 2AC 6CD 三棱锥的外接球的表面积为 2 6 4 6 2 故答案为 6 18 答案 答案 100 解析解析 根据正六棱柱的对称性可得 正六棱柱的体对角线就是球的直径 由高为 6 底面边长为 4 结合正六边形的性质 可得 22 28610 5RR 所以外接球的表面积为 2 4 100 R 故答案为100 19 答案 答案 3 解析 解析 取 SC 的中点 O 连接 OA OB 因为SBBC SAAC SBBC SAAC 所以OBSC OASC 且 1 2 OBOASC 专题 04 参考答案 9 所以SC