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1 4 6 1应用 二 投入产出分析 投入产出分析由美国经济学家W Leontief于20世纪30年代首先提出 其基本思想是 利用线性代数的理论和方法 研究一个经济系统的各部门之间错综复杂的联系 建立相应的数学模型 用于经济分析和预测 设一个经济系统有个部门 部门1 部门2 部门n 且规定 1 部门i仅生产一种产品i 部门i的产出 不同部门的产品不能相互替代 即部门与产出一一对应 2 在生产过程中 部门j至少需要消耗另一部门i的产品 部门i对部门j的投入 且部门i对部门j的投入与部门i的产出成正比 投入产出模型 2 4 6 1应用 二 投入产出分析 投入产出模型按计量单位的不同 可分为价值型投入产出模型和实物型投入产出模型 在价值型投入产出模型中 各部门的投入 产出均以货币为单位来计量 在实物型投入产出模型中 各部门的投入 产出均以实物为单位来计量 3 4 6 1应用 二 投入产出分析 先来研究价值型投入产出模型 根据往年资料可知 部门i的中间产出 部门i的最终产出 部门i的产出 部门i对各部门j的投入 4 4 6 1应用 二 投入产出分析 部门j的纯收入 根据上述资料 编制价值型投入产出表 部门j的新创造价值 部门j的劳动报酬 5 4 6 1应用 二 投入产出分析 6 4 6 1应用 二 投入产出分析 由投入产出表易有 投入 新创造价值 物质消耗 产品分配平衡方程组 6 1 产值构成平衡方程组 6 2 7 4 6 1应用 二 投入产出分析 引入直接消耗系数 显然 aij表示生产单位产品j所需直接消耗产品i的数量 由直接消耗系数的定义知 1 代入 6 1 得 8 4 6 1应用 二 投入产出分析 6 3 令 产出向量 投入向量 9 4 6 1应用 二 投入产出分析 直接消耗系数矩阵 则 6 3 即为 或 直接消耗系数矩阵的性质 性质1 6 4 10 4 6 1应用 二 投入产出分析 证 性质2 证 推论 矛盾 11 4 6 1应用 二 投入产出分析 证 12 4 6 1应用 二 投入产出分析 则 令 13 4 6 1应用 二 投入产出分析 若 证由推论1及Th4 15知 证性质1 2 Th4 17 推论1 推论2 14 4 6 1应用 二 投入产出分析 再由Th4 16知 即证 2 代入 6 2 得 即 6 5 15 4 6 1应用 二 投入产出分析 令 新创造价值向量 16 4 6 1应用 二 投入产出分析 则 6 5 即为 或 矩阵D的性质 证利用直接消耗系数矩阵的性质2验证即可 例下表为根据某地区某年的统计资料编制的投入产出表 6 6 6 4 和 6 6 合称为价值型投入产出模型 17 4 6 1应用 二 投入产出分析 又计划下一年农业 工业 服务业的最终需求分别为135 13820 1023 试对该地区下一年的经济发展作出预测和分析 解 易求直接消耗系数矩阵为 18 4 6 1应用 二 投入产出分析 于是 可利用Mathematica软件计算 又 19 4 6 1应用 二 投入产出分析 故预计下一年农业 工业 服务业的总产出分别为 从而 可得下一年农业 工业 服务业三个部门间的流量 以及下一年农业 工业 服务业三个部门的新创造价值 根据上述得到的数据 编制下一年的投入产出表如下 20 4 6 1应用 二 投入产出分析 据此可为决策提供科学依据 21 4 6 2应用 二 投入产出分析 直接消耗系数aij i j 1 2 n表示部门j生产单位产品j所需直接消耗的部门i的产品i的数量 然而 一般而言 部门j除直接消耗部门i的产品外 还要通过一系列中间环节间接消耗部门i的产品 直接消耗与间接消耗的和称为完全消耗 令aij 部门j生产单位产品j所需完全消耗的部门i的产品的数量 完全消耗系数矩阵 完全消耗系数 22 4 6 2应用 二 投入产出分析 则由完全消耗的定义知 又由定理4 13知 再由前面的结论 即 或 解之得 于是 令 23 4 6 2应用 二 投入产出分析 部门i的最终产出 部门j新创造的价值 编制价值型投入产出表 实物型投入产出模型现在来研究价值型投入产出模型 在实物型投入产出模型中 各部门的投入 产出均以实物为单位来计量 根据往年统计资料 实物单位 部门i对部门j的投入 部门i的产出 产品j的价格 24 4 6 2应用 二 投入产出分析 由投入产出表有 6 1 6 2 25 4 6 2应用 二 投入产出分析 引入直接消耗系数 由直接消耗系数的定义知 1 代入 6 1 得 即 26 4 6 2应用 二 投入产出分析 6 3 令 27 4 6 2应用 二 投入产出分析 直接消耗系数矩阵 则 6 3 即为 或 6 4 2 由 6 2 得 28 4 6 2应用 二 投入产出分析 令 则上式即为 或 6 5 29 4 6 2应用 二 投入产出分析 令 则 6 5 即为 或 6 6 6 4 和 6 6 合称为实物型投入产出模型 30 4 6 2应用 二 投入产出分析 两个消耗系数矩阵之间的一个关系 定理4 18 证由价值型和实物型投入产出模型的两张投入产出表知 于是 31 4 6 2应用 二 投入产出分析 故 32 4 6 2应用 二 投入产出分析 33 4 6 2应用 二 投入产出分析