北京四中七年级数学上册 4.2 直线、射线、线段（提高）知识讲解 （新版）新人教版.doc

直线、射线、线段（提高）知识讲解【学习目标】1理解直线、射线、线段的概念，掌握它们的区别和联系；2. 利用直线、线段的性质解决相关实际问题；3利用线段的和差倍分解决相关计算问题【要点梳理】要点一、直线1概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线ab(或直线ba) （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线简单说成：两点确定一条直线要点诠释：直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸（2）直线没有粗细（3）两点确定一条直线（4）两条直线相交有唯一一个交点4.点与直线的位置关系：（1）点在直线上，如图3所示，点a在直线m上，也可以说：直线m经过点a（2）点在直线外，如图4，点b在直线n外，也可以说：直线n不经过点b要点二、线段1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段ab或线段ba（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：法一：用圆规作一条线段等于已知线段例如：下图所示，用圆规在射线ac上截取aba法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短简记为：两点之间，线段最短如图6所示，在a，b两点所连的线中，线段ab的长度是最短的图6要点诠释：（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离（3）线段的比较：度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点如图7所示，点c是线段ab的中点，则，或ab2ac2bc图7要点诠释：若点c是线段ab的中点，则点c一定在线段ab上要点三、射线1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点如图8所示，直线l上点o和它一旁的部分是一条射线，点o是端点图82.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线oa （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线oa可记为射线l要点诠释： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线如图9中射线oa，射线ob是不同的射线图9(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线如图10中射线oa、射线ob、射线oc都表示同一条射线图10要点四、直线、射线、线段的区别与联系1.直线、射线、线段之间的联系（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线2三者的区别如下表要点诠释：（1） 联系与区别可表示如下：（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样【典型例题】类型一、有关概念1.如图所示，指出图中的直线、射线和线段【思路点拨】从图上看，a、d、f分别是线段cb、bc、be的延长线上的点，也就是说，a、d、f三点的位置并不是完全确定的此时，我们也就能分清楚图中的直线、射线和线段了【答案与解析】解：直线有一条：直线ad； 射线有六条：射线ba、射线bd、射线ca、射线cd、射线bf、射线ef；线段有三条：线段bc、线段be、线段ce【总结升华】在表示线段和直线时，两个大写字母的顺序可以颠倒然而，在叙述线段的延长线的时候，表示线段的两个大写字母的顺序就不能颠倒了，因为线段向一方延伸后就形成了射线(延长部分已不再是线段本身了)，而表示射线的两个大写字母的顺序是不能颠倒的，只能用第一个字母表示射线的端点，第二个字母表示射线方向上的任一点举一反三：【高清课堂：直线、射线、线段397363 拓展4】【变式】两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点. 这是为什么?画图说明. 【答案】解： 过两点有且只有一条直线.（或两点确定一条直线.）两条不同的直线，要么有一个公共点，如图（1）；要么没有公共点，如图（2）；不能有两个公共点.类型二、有关作图2如图(1)所示，已知线段a，b(ab)，画一条线段，使它等于2a-2b【答案与解析】解：如图(2)所示：(1)作射线af；(2)在射线af上顺次截取abbca；(3)在线段ac上顺次截取addeb，则线段ec就是所要求作的线段【总结升华】用尺规作图时，要熟悉常用的画图语言，注意保留作图痕迹举一反三：【变式1】下列说法正确的有 ( )射线与其反向延长线成一条直线；直线a、b相交于点m；两直线相交于两个交点；直线a与直线b相交于点ma3个 b2个 c1个 d4个【答案】 c【变式2】下列说法中，正确的个数有( )已知线段a，b且a-bc，则c的值不是正的就是负的；已知平面内的任意三点a，b，c则ab+bcac；延长ab到c，使bcab，则ac2ab；直线上的顺次三点d、e、f，则de+efdf a1个 b2个 c3个 d4个【答案】c类型三、个（条）数或长度的计算3. 根据题意，完成下列填空如图所示，与是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内，再画第3条直线，那么这3条直线最多有_个交点；如果在这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可有_个交点由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有_个交点，n(n为大于1的整数)条直线最多可有_个交点(用含有n的代数式表示)【答案】3， 6， 15， .【解析】本题探索过程要分两步：首先要填好3条直线最多可有2+13个交点，再类推4条直线，5条直线，6条直线的情形所得到的和式，其次再研究这些和式的规律，得出一般性的结论【总结升华】n(n为大于1的整数)条直线的交点最多可有：个举一反三：【变式1】平面上有个点，最多可以确定 条直线 【答案】【变式2】一条直线有个点，最多可以确定 条线段， 条射线【答案】，【高清课堂：直线、射线、线段397363 拓展 1（4）】【变式3】一个平面内有三条直线，会出现几个交点? 【答案】0个，1个，2个，或3个.4. 已知线段ab14cm，在直线ab上有一点c，且bc4cm，m是线段ac的中点，求线段am的长【思路点拨】题目中只说明了a、b、c三点在同一直线上，无法判定点c在线段ab上，还是在线段ab外(也就是在线段ab的延长线上)所以要分两种情况求线段am的长【答案与解析】解：当点c在线段ab上时，如图所示 因为m是线段ac的中点， 所以 又因为acab-bc，ab14cm，bc4cm， 所以当点c在线段ab的延长线上时，如图所示 因为m是线段ac的中点， 所以 又因为acab+bc，ab14cm，bc4cm， 所以9(cm) 所以线段am的长为5cm或9cm【总结升华】在解答没有给出图形的问题时，一定要审题，要全面考虑所有可能的情况，即当我们面临的教学问题无法确定是哪种情形时，就要分类讨论举一反三：【变式】 (武汉武昌区期末联考)如图所示，数轴上线段ab2(单位长度)，cd4(单位长度)，点a在数轴上表示的数是-10，点c在数轴上表示的数是16若线段ab以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段cd以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动 (1)问运动多少秒时，bc8(单位长度) (2)当运动到bc8(单位长度)时，点b在数轴上表示的数是_ (3)p是线段ab上一点，当b点运动到线段cd上时，是否存在关系式若存在，求线段pd的长；若不存在，请说明理由【答案】解：(1) 点b在数轴上表示的数是-8，设运动t秒时，bc8（单位长度），则： 当点b在点c的左边时， 6t+8+2t24 t2(秒) 当点b在点c的右边时， 6t-8+2t24 t4(秒) 答：当t等于2秒或4秒时，bc8(单位长度) (2) 由（1）知：当t2(秒)时，b点坐标为：-8+6t=8+62=4（单位长度）当t4(秒)时，b点坐标为：-8+6t=8+64=16（单位长度） 所以答案为：4或16 (3) 存在，若存在，则有：bdap+3pc，设运动时间为t(秒)，则： 1当t3时，点b与点c重合，点p在线段ab上，opc2且bdcd4， ap+3pcab+2pc2+2pc 所以：2+2pc=4，解得：pc1 此时， pd5 2当时，点c在点a与点b之间，opc2 点p在线段ac上时 bdcd-bc4-bc ap+3pcac+2pcab-bc+2pc2-bc+2pc 由4-bc=2-bc+2pc， 可得： pc1， 此时pd5 点p在线段bc上时 bdcd-bc4-bc， ap+3pcac+4pcab-bc+4pc2-bc+4pc由4-bc=2-bc+4pc，可得：，此时3当时，点a与在点c重合，0pc2bdcd-ab2，ap+3pc4pc由24pc，可得：，此时4当时，0pc4bdcdbc4bc，ap+3pcab-bc+4pc2-bc+4pc由4bc=2-bc+4pc，可得：，此时 综上可得：存在此关系式，且pd的长为5或.类型四、路程最短问题5. 如图所示，某公司员工分别住a、b、c三个住宅区，a区有30人，b区有15人，c区有10人三个区在同一条直线上，该公司的接送车打算在此间设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在哪个区?【答案与解析】解：所有员工步行到停靠点a区的路程之和为: 030+10015+(100+200)100+1500+30004500(m)； 所有员工步行到停靠点b区的路程之和为: 10030+015+200103000+0+20005000(m)； 所有员工步行到停靠点c