北京101中学高三数学上学期10月阶段性试题 理 北师大版.doc

北京101中学2014届高三上学期10月阶段性考试数学试卷（理科）一、选择题：（本大题有8道小题，共40分，每小题5分）1. 已知集合，则（ ）a. b. c. d. 2. 若函数则（ ）a. b. 1 c. d. 3 3. 定义在上的函数在区间上是增函数，且的图象关于对称，则（ ）a. b. c. d. 4. 设复数，则（ ）a. b. c. d. 5. 设等比数列的前项和为，若，则下列式子中数值不能确定的是（ ）a. b. c. d. 6. 已知某几何体的三视图（如图），其中俯视图和左视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形，则此几何体的体积的大小为（ ）a. b. 12 c. d. 16 7. 已知点的坐标满足条件，那么的取值范围为（ ）a. b. c. d. 8. 过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（ ）a. 16条 b. 17条 c. 32条 d. 34条 二、填空题：（本大题有6道小题，共30分，每小题5分）9. “函数在上存在零点”的充要条件是 。10. 若，则从小到大的顺序为 。11. 函数，且最小值等于，则正数的值为 。12. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的劣弧上运动，若=+，其中，则的取值范围是 。 13. 如果执行如图所示的程序框图，输入，则输出的数 。14. 若数列的通项公式，记，试计算 ，推测 。三、解答题：（本大题有6小题，共80分）15. （本小题13分）在中，已知（1）求；（2）若，的面积是，求。16. （本小题13分）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，点为的中点。（1）求证：平面；（2）求证：；（3）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。17. （本小题13分）某品牌汽车的4店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4店经销一辆该品牌的汽车，顾客若一次付款，其利润为1万元；若分2期付款或3期付款，其利润为1.5万元；若分4期付款或5期付款，其利润为2万元。用表示经销一辆该品牌汽车的利润。付款方式一次分2期分3期分4期分5期频数4020a10b（1）若以频率作为概率，求事件：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率；（2）求的分布列及其数学期望。18. （本小题14分）已知函数，（1）求函数的极值点；（2）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程；（3）设函数，其中，求函数在上的最小值（其中为自然对数的底数）。19. （本小题14分）已知椭圆：，（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为，求椭圆的标准方程；（2）在（1）的条件下，设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（为坐标原点），求直线的斜率的取值范围；（3）过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆：相交于四点，设原点到四边形的一边距离为，试求时满足的条件。20. （本小题13分）设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”。 123101（1）数表如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1（2）数表如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；表2（3）对由个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由。 【试题答案】一、选择题：1. d2. a3. c4. b5. d6. c7. d8. c二、填空题：9. 或 10. 11. 112. 13. 14. 三、解答题：15. （1）；（2）16. （1）略；（2）略；（3）存在点，使二面角的大小为17. （1）；（2）的分布列为11.520.40.40.218. （1）是函数的极小值点，极大值点不存在；（2）；（3）当时，的最小值为0；当时，的最小值为当时，的最小值为19. （1）（2）（3）20. （1）解：法1：法2：法3：3分（2）每一列所有数之和分别为2，0，0，每一行所有数之和分别为，1；如果首先操作第三列，则有则第一行之和为，第二行之和为，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以或当时，则接下只能操作第一行，此时每列之和分别为必有，解得当时，则接下操作第二行，此时第4列之和为负，不符合题意。 6分 如果首先操作第一行，则有则每一列之和分别为，当时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉当时，至少有一个为负数，所以此时必须有，即，所以或经检验，或符合要求综上： 9分（3）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行之和与所有的列之和均为非负实数。证明如下：记数表中第行第列的实数为（），各行的数字之和分别为，各列的数字之和分别为，数表中个实数之和为，则。记。按要求操作一次时，使该行的行之和（或该列的列之和）由负变正，都会引起（和）增大，从而也就使得增加，增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝