第3章 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 （2）——　利用向量方法求角.doc

3.2立体几何中的向量方法 (二)利用向量方法求角知识点一求异面直线所成的角已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的所有棱长都是1，且A1ABA1ADBAD60，E、F分别为A1B1与BB1的中点，求异面直线BE与CF所成角的余弦值解如图所示，解 如图所示，设 = a， = b， = c.则| a | = | b | = | c | =1， a,b=b,c=a,c= 60,ab = bc = ac = ，而 = + = a + c. = + = b + c,| ，| | . abacbcc2，cos，= , 异面直线BE与CF夹角的余弦值是.【反思感悟】在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，首选向量法，利用向量求解若能构建空间直角坐标系，求解则更为简捷方便. 正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点求：异面直线AE与CF所成角的余弦值解不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2)，由(1,0,2)，(1，1,2)，得| ，| . 1043.又 = |cos,= cos,cos,=,异面直线AE与CF所成角的余弦值为知识点二求线面角正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角解方法一建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，取A1B1中点M，则M，连结AM、MC1，有，(0，a,0)，(0,0，a)，由于 = 0， = 0，MC1面ABB1A1.C1AM是AC1与侧面A1B所成的角. = , ，02a2.而| a，|a，cos , . ， 30，即AC1与侧面AB1所成的角为30.方法二(法向量法)(接方法一)(0,0，a)，(0，a,0)，设侧面A1B的法向量n(，x，y)n0且n0ax0，且ay0.xy0，故n(，0,0) ，cos, n.设所求线面角为，则sin|cos.，n|，30.【反思感悟】充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角方法二给出了一般的方法，先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算如图所示，已知直角梯形ABCD，其中ABBC2AD，AS平面ABCD，ADBC，ABBC，且ASAB.求直线SC与底面ABCD的夹角的余弦解由题设条件知，可建立以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴的空间直角坐标系(如图所示)设AB1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)(0,0,1)， (1，1,1)是底面的法向量，它与已知向量是底面的法向量，它与已知向量的夹角90，故有sincos，于是cos.知识点三求二面角如图，四棱锥PABCD中，PB底面ABCD，CDPD，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3.点E在棱PA上，且PE2EA.求二面角ABED的余弦值解以B为原点，以BC、BA、BP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系设平面EBD的一个法向量为n1(x，y,1)，因为(0,2,1)，(3,3,0)，由 得，所以， 于是n1(，1)又因为平面ABE的一个法向量为n2(1,0,0)，所以，cosn1，n2.所以，二面角ABED的余弦值为.【反思感悟】几何法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用若PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，求二面角APBC的余弦值解如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，(0,0,1)， (，0,0)， (0，1,1)，设平面PAB的法向量为m(x，y，z)则 ，令x1，则m(1，0)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则.令y1，则n(0，1，1)cosm，n.二面角APBC的余弦值为.课堂小结：1两条异面直线所成角的求法(1)向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为，则有cos|cos|.(2)两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角2直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有sin|cos|或cossin.3二面角的求法与的夹角(如图所示)(2)设n1、n2是二面角l的两个面、的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图所示)一、选择题1若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于()A30 B150C30或150 D以上均错答案A2若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于150，则直线l与平面所成的角等于()A30 B60C150 D以上均错答案B3直角三角形ABC的斜边AB在平面内，直角顶点C在内的射影是C，则ABC是()A直角三角形 B钝角三角形C锐角三角形 D各种情况都有可能答案B解析 0 = = （ +）（+）=|2+. =|2 0,因A，B，C不共线，故ACB为钝角. 4如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN90，则PMN的大小是()A等于90 B小于90C大于90 D不确定答案A解析A1B1平面BCC1B1，故A1B1MN，()=0，MPMN，即PMN90.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B. C. D.答案B二、填空题6若两个平面，的法向量分别是n(1,0,1)，(1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是_答案60解析cosn，.n，120.7正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是DD1，B1C1的中点，P是棱AB上的动点，则A1M与PN所成的角是_答案90解析设正方体每边之长为1，因= ，= 0，,即A1M与PN所成的角为90.三、解答题8已知正四棱锥SABCD的侧棱长为，底面的边长为，E是SA的中点，求异面直线BE和SC所成的角解建立如图所示空间直角坐标系由于AB，SA，可以求得SO.则B，A，C，S.由于E为SA的中点，所以E，所以，因为1，|，|，所以cos，所以，120.所以异面直线BE与SC所成的角为60.9如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA12，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EBFB1，(1)求二面角CDEC1的正切值；(2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值解(1)以A为原点，AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)，D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是 =（3,3，0）， =（1，3，2）， =（4，2，2）.设平面C1DE的法向量为n=（x，y，z）.则n， n3x 3y=0,x+3y+2z=0.x=y=z.令z = 2,则n(1，1,2)向量(0,0,2) 是平面CDE的一个法向量，n与向量所成的角为二面角CDEC1的平面角costan.(2)设EC1与FD1所成角的为，则cos=.10正三棱锥OABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知OA1.(1)求证：B1C1平面OAH；(2)求二面角OA1B1C1的余弦值(1)证明如图所示，以直线OA、OC、OB分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则A(2,0,0)，B(0,0,2)，C(0,2,0)，E(1,0,1)，F(1,1,0)，H， ，(0,2，2)，所以0，0，所以BC平面OAH.由EFBC，得B1C1BC，故B1C1平面OAH.(2)解由已知A1，设B1(0,