数学物理方程5_2余弦变换.pdf

0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 1 余弦变换余弦变换 0 cos c utu x txdx 0 2 cos c u x tutxd 反余弦变换反余弦变换 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 2 例 用余弦变换解定解问题例 用余弦变换解定解问题 2 0 0 0 0 0 0 txx xx ua uxt u x utututQ Q 为常数 解 以为积分变量 作余弦变换解 以为积分变量 作余弦变换 0 cos c utu x txdx 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 3 22222 2 0 exp exp1 t c Q uta Qadat 0 2 cos c xxxx c uux txdx Qu 222 0 0 c c c du aua Q dt u 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 4 0 22 42 0 2 cos 21 exp 24 c t u x tutxd a Qx d aa 作反余弦变换作反余弦变换 2 42 0 2 44 0 1 exp 4 2 exp 4 t t aQx u x td a aQx d a 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 5 例 长为 的弦 两端固定 例 长为 的弦 两端固定 0位移与初速 求振动规律位移与初速 求振动规律 2 0 0 0 0 0 0 0 ttxx t ua uf x txt utut u xu x 解 解 0 2 sinu n tu x tnxdx 0 2 2 2 sin 2 0 1 xx n ux tnxdx n ututn u n t n u n t 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 6 2 22 2 0 0 0 t d u n t a n u n tF n t dt u nu n 1 0 1 sin sin sin n t n u x tunx nx F nna td na 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 7 例用例用Fourier变换方法求 三维 场势方程的基本解 解 对方程两边作 变换方法求 三维 场势方程的基本解 解 对方程两边作Fourier变换变换 u x y zx y z 3 exp R uvF u u x y zjxyvzdxdydz 2222 2 1 uv 3 1 32 11 exp 2 R uFujxyvzd d dv 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 8 cos sinsin cossin v 作球坐标变换作球坐标变换 2 3 0 0 0 2 0 1 expcossin 2 sin1 2 1 4 uj rdd d r d r r 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 9 22 0 0 0 0 xy uyx u xfx limu 求解求解 2 1 0 0 y y ce u ce 0 xxyy uuu 2 2 0 d u ju dy 0 0 y y fe fe y ufe 1 22 y y Fe xy 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 10 例例例例 求解求解求解求解 2 0 0 0 txxxx t ua uxR t u xx u xax 2 24 2 2 0 0 0 t d ut aut dt uua 22 12 sincosutCatCat 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 11 2 22 1 0 0 t uC auaC 2211 22 jatjat utjeje 22 sin cosutatat 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 12 22 12 22 12 1 cos cossin 442 2 1 sin cossin 442 2 xx Fat atata t xx Fat atata t 11212 F F sin F cos u x tutxatxat g 2 g xff x 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 13 例 一根半无限长的杆例 一根半无限长的杆 初始温度分布等于零初始温度分布等于零 且在端点且在端点x 0 处以为 速率输人热量 处以为 速率输人热量 h t 求杆的温度分布 解 求杆的温度分布 解 2 0 0 0 0 1 0 txx x ua uxt u x uth tg t k c utF u x t 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 14 22