数学物理方程3_1分离变量法.pdf

0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 1 第三章 分离变量法第三章 分离变量法 分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题 xuxu uu tLxuau ttt Lxx xxtt 00 0 2 0 0 0 0 1 弦振动方程弦振动方程 2 设方程具有可以分离变量的解设方程具有可以分离变量的解 xXtTtxu 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 2 X X Ta T 2 0 0 2 TaT XX X X Ta T 2 则则 3 代入边界条件得代入边界条件得 0 0 0 TtX TtXL 0 0 LXX 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 3 0 0 LXX a 当时当时0 xx BeAexX 0 011 0 LL BeAeLX BAX 从而从而 0X x 0 0 0 0 XX XX l 固有值问题固有值问题 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 4 b 当时当时 0 BAxX 0 00 0 BLALXBAX 0 BA 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 5 c 当时当时 0 xBxAxX sincos 0sincos 001 0 LBLALX BAX 0sin 0 LBA 0sin L 2 22 L n n 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 6 L xn BxX nn sin 0 2 TaT n L atn D L atn CtT nnn sincos xXtTtxu nnn L xn L atn D L atn C nn sin sincos 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 7 L xn L atn D L atn Ctxu n nn sinsincos 1 1 1 sin 0 sin 0 n nt n n L xn L an Dxxu L xn Cxxu 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 8 例例 2 0 00 0 0 0 0 ttxx xxx L ttt ua uxL t uu uxux 解解 xXtTtxu 0 0 2 TaT XX 0 0XXL 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 9 22 2 21 4 n n L 特征值特征值 21 sin 2 nn nx XxC L 0 2 TaT n 0 0 0 XX XX L 21 21 cossin 22 nnn natnat T tAB LL 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 10 xXtTtxu nnn 1 21 21 21 cossinsin 222 nn n natnatnx u x tAB LLL 0 0 2 21 sin 2 4 21 21 2 L n L n n Ad LL n Bd naL 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 11 例 一端固定 另一端自由的弦 长为例 一端固定 另一端自由的弦 长为L 用细棒敲击弦上 用细棒敲击弦上 x x0 点处 施加冲量点处 施加冲量I 求解弦的振动 求解弦的振动 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ttxx x t ua uxl t utu l t I u xu xxxxl xXtTtxu 0 0 2 TaT XX 0 0 0 0 XX XX l 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 12 22 2 n n l 特征值特征值 sin nn n x XxA l cossin sin nnn n atn atn x ux tCD lll 1 0 1 0 sin0 0 sin n n tn n n x u xxC l n an xI u xxDxx ll 0 0 2 sin n n C n xI D n al 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 13 热传导方程混合问题分离变量解法热传导方程混合问题分离变量解法 例 设有长度为例 设有长度为L 均匀的 内部无热源的热传导细 杆 侧面绝热 其左端保持零度 右端绝热 初始 温度分布为已知 均匀的 内部无热源的热传导细 杆 侧面绝热 其左端保持零度 右端绝热 初始 温度分布为已知 2 0 0 0 0 0 0 txx xxx L t ua uxL t uu ux 该定解问题为该定解问题为 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 14 解 设特解形式为解 设特解形式为 tTxXtxu 2 2 xX xX tTa tT tTxXatTxX 0 0 2 xXxX tTatT 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 15 0 0 0 0 tTLXu tTXu Lxx x 0 0XX L 0 0 0 LXX xXxX a 当 时 特征值问题无非零解当 时 特征值问题无非零解0 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 16 b 0 xDxCxX cossin sinX xCx 0 L X 0cos L 2 12 n L 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 17 相应的特征函数为 相应的特征函数为 2 1 0 2 1 sin n L xn CxX nn 2 1 0 2 22 2 2 1 neAtT t L an nn L xn eatTxXtxu t L an nnnn 2 1 sin 2 222 2 1 0