数学物理方程无穷远点留数的计算与应用.pdf

第2 5卷第 2期 2 0 0 7年 4月 运城 学院学报 J o u r n a l o f Yu n c h e n g Un i v e r s i t y V0 1 2 5 No 2 Ap r 2 0 07 无 穷 远 点 留数 的 计 算 与 应 用 丁 春 梅 中国计量学院理学院 信息与数学科学系 杭州 3 1 0 0 1 8 摘要 归纳了无穷远点 o 留数的计算方法 探讨了无穷远点留数在计算闭路积分中的应用 关键词 无穷远点 孤立奇点 留数 中图分类号 0 1 7 4 5 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 8 8 0 0 8 2 0 0 7 0 2 0 0 1 4一o 2 积分理论是复变函数的主要内容 对于简单 的积分计 算 闭曲线上的 可由著名的柯西定理 高阶导数的柯西积 分公式得以解决 但对于复变函数 大范围 的积分计算这 些定理 公式就显得无能为力 例如对于积分 e T d z 须 由 留数定理解决 因此留数有着广阔的应用空间 尤其无穷远 点 o的留数及其相关定理更为解决一些重要问题起着主导 作用 可以较大地减少运算量 提高运算速度和计算准确率 无穷远点 o的留数是复变函数的难点之一 课本中介 绍的方法较为零散 作者根据多年的教学经验 对相关 内容 进行梳理 主要归纳如下 1 无穷远点 o留数的计算方法 1 1根据 定义计算 定义 设无穷远点 o为函数 的一个孤立奇 点 即 在 o的去心邻域 R I R 取 逆 时 针 为 正 向 为 在点的 o留数 记为R e 例 1 计算R e s 1 e 解 R e 5 一 f ld z 0 e 二 7 r 1 1 e 1 2根据 在 R I I o o R 0 内的展式计算 R e 一 C一 即为 在 o去心邻域内的L a u r e n t 1 展式中 I 的系数的相反数 Z 1 3根据 在R I 一Z o I o R 0 内的展式计算 R e 一C 一 即为 在 o去心邻域内的L a u r e n t 展式中 的系数的相反数 Z Z o 例 2计算R e s e 7 解 若按 1 2中的方法计算过程是非常繁琐的 因 上 1 1 1 1 1 e z i T 二 一 0 I 一1 I 故 R e 5 e 者 一C I 一1 1 4根据定理计算 定理 如果函数Az 在扩充复平面上只有有限个 孤立奇点 k 1 2 n 及 o 那么 在所有各奇 点 包括 o点 的留数总和必等于0 即 一R e X 0 1 5根据公 式计 算 R e X 一 酬 例 3计算R e s e t 解 I R e s e 一 一 1 或按 1 2中的方法计算 因为 上 1 1 1 1 1 了 一 0 I I 所 以 R e s e t 一C 一 一1 或按 l 4中的方法计算 Res e t 一 Re s e t 一 1 2 无穷远点 o留数在计算积分 d z 中的应用 2 1 被积e C f z 在闭曲线c 内仅有一个有限孤立奇点 的情况 定理1 若被积函数 在闭曲线c 内仅有一个有限孤 立奇点 则 d z 2 7 r i R e 1 c n 例 4 i t o e d z r 1 1 解 6 e T d z 2 7 r i R e s e t 2 仃 J 1 收稿 日期 2 0 0 7 0 1 1 8 基金项目 国家自然基金 3 4 7 3 0 3 4 浙江省教育厅重点项 目 2 0 0 6 0 5 4 3 中国计量学院重点课程基金资助项目 2 0 0 5 1 3 9 作者简介 T春梅 1 9 6 6一 女 陕西定边人 中国计量学院理学院信息与数学科学系教授 主要从事函数逼近论研究 l 4 维普资讯 2 2被积函数 厂 在闭曲线c 内含有有限个孤立奇点的 情 况 定理2 若被积函数 厂 在闭曲线C 内含有有限个孤立 奇点 k 1 2 n 则 z d z 2 丌 k l R e s f z 2 例5 计算4 t a n z d z 解 由C O S T Z 0 得z k 0 1 2 为 t a n z 的一阶极点 于是有 一 一 因此 由留数定 理得 t a m r z d z 2 7 r f R e s t a m r z J n 1 2 2 丌 吖一 2 n 1 一 4 n i 2 3被积函数 z 在复平面上的所有有限个孤立奇点 均含在闭曲线 c内的情况 定理 3 若被积函数 在复平面上的所有有限个孤 立奇点 k 1 2 n 均含在闭曲线 C 内 则 也 2 丌 墨 一 2 n i R e sf 2 一 3 例 6 设 z 二 求 如 解 2 共有2 1 个孤立奇点 2 0个在 I I 3 0内 一个 在其外 z 在 的邻域内可展为级数 卜 下 一 1 2 O 一 1 1 2 2 0 l 3 z 一2 7 r i R e s f 2 G 一 4 2 0 i 注 i 此题若按 2 2中的 2 计算 要计算 2 0个留 数 运算量非常大 但用 2 3的 3 计算 只需计算一个无 穷远处的 留数即可 简捷 易行 i i 例 5不 可用 2 3的 3 计算 2 4被积函数 在闭曲线C 内含有无穷多个孤立奇点 或含有非孤立奇点的情况 对于这种情况 无法应用留数定理 有关的教材中也很 少提到 但这也是更为广泛的一类积分 本文以定理形式给 出 定理 4若被积函数 在闭曲线 C内含有无穷多个孤 立奇点或非孤立奇点 而在 c 外仅含有有限个孤立奇点 z 1 2 n 和无穷远点 则 z 出 一 2 堡 z 娶 z 4 一一 l 一 于是 在 以 c c c c 为边 界的 多连通区域内解析 根据推广的柯西积分定理得 也 0 亦 即 d z 出 一 2 丌 R e sf z 一 1 一 证毕 例7 计算 4 L d z l 1 1 分析 设 一 显然 的无穷多个有限奇 e 了 一 1 点 k 1 2 及 0 非孤立奇点 均含在 Z 7 r 闭曲线 I I 1内 因此不能按照2 2中的 2 或 2 3中的 3 计算 但无穷远点 为 厂 的孤立奇点 于是根据 4 可进行计算 解 无穷远点 为 厂 的孤立奇点 根据对角线法则 可得 在 的邻域内的展式为 f z 一 古 I I 因此 由 4 得 出 一 2 丌 2 i C 1 2 1 例8 d z 一 3 e 一 1 解 设 一 易知 的无穷多个有限奇点 e 了 一 1 k 1 2 及 0 非孤立奇点 不全含在闭 Z 7 r 曲线 c I I 1内 其中 在闭曲线 c之外 故作 闭 曲 线 c l 一 l c l l C 3 使得c c 2 c为c 内的互不相交 互不包含的圆周线 于是 由 4 得 一 雩 Pt s 由 例 7 知 s T 一 一 古 5 L 分 别 为 的 eS 一 1 一 阶极点 因为它们是 l f 的一阶零点 于是 等土 Z 去 同理 R 丁