数学物理方程5_1积分变换.pdf

0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 1 第五章 积分变换第五章 积分变换 f x 定义在 定义在 内 且在任一有限区间 内 且在任一有限区间 L L 上分段 光滑 则可以展开为 上分段 光滑 则可以展开为Fourier级数级数 0 0 sincos 2 n nn L xn b L xn a a xf 1 cos 0 1 2 1 sin L n L L n L n s af sds LL n n s bf sds LL Fourier级数的推广级数的推广 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 2 Fourier变换变换 j x ff x edx 1 2 j x f xfed Fourier逆变换逆变换 11 f xFfFF f x fF f x 记号记号 ffFF 1 1212 f xfxfxs fs ds 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 3 2 22 2 1 4 1 Fee 2 x at a t at 例 求证例 求证 2222 1j 1 Feeed 2 atatx 22 2 2 22 22 j j 42 1 ed 2 1 eed 2 x a t a t xx a t a ta t 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 4 2 2 2 2 2 2 4 2 4 1111j eexpd 1 222 2 2 2 1 e 2 x a t x a t x ata tta ta a t 2 22 2 2 22 j 1 42 1 F eeed 2 xx a t at a ta t 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 5 Fourier变换的基本性质变换的基本性质 性质性质1 线性定理 线性定理 2121 fFfFffF 性质性质2 卷积定理 卷积定理 2121 fFfFffF 性质性质3 乘积定理 乘积定理 2 1 2121 fFfFffF kk F fjF f 性质性质4 原象的导数定理 原象的导数定理 F fj F f 性质性质5 象的导数定理 象的导数定理 d F fFjxf d 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 6 性质性质6 延迟定理 延迟定理 0 0 j x F f xxeF f x 性质性质7 位移定理 位移定理 0 0 jx F ef xf 性质性质8 积分定理 积分定理 1 x FfdF f x j 0 1 jxjx x Fxxedxe 性质性质9 广义函数广义函数 jxj Fxxedxe 性质性质10 相似定理相似定理 1 F f axf aa 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 7 性质性质11 对偶性对偶性 F F 2 g xff xg j j j j 1 e d 2 11 ed ed 2 2 F ed sx ss s fgg xf ss gf ss gf ss f xf ss 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 8 Parseval定理指出 一个信号所含有的能量 功率 恒等于此信号在完备正交函数集 中各分量能量 功率 之和 它表明信号 在时域的总能量等于信号在频域的总能 量 即信号经傅里叶变换后其总能量保持 不变 符合能量守恒定律 性质 定理指出 一个信号所含有的能量 功率 恒等于此信号在完备正交函数集 中各分量能量 功率 之和 它表明信号 在时域的总能量等于信号在频域的总能 量 即信号经傅里叶变换后其总能量保持 不变 符合能量守恒定律 性质12 Parseval 公式 公式 2 2 1 d d 2 xxff 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 9 5 2 Fourier变换的应用变换的应用 Fourier变换法求解步骤 变换法求解步骤 1 对定解问题作 对定解问题作Fourier变换 变换 2 求解象函数 求解象函数 3 对象函数作 对象函数作Fourier逆变换得解 逆变换得解 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 10 应用范围应用范围 1 求解无界区域的定解问题 求解无界区域的定解问题 直接直接Fourier求解求解 2 对于半无界区域的定解问题 对于半无界区域的定解问题 a 第一类边界条件第一类边界条件 采用采用Fourier正弦变换正弦变换 b 第二类边界条件第二类边界条件 Fourier余弦变换余弦变换 c 将边界条件齐次化后 采用延拓法 最后 用 将边界条件齐次化后 采用延拓法 最后 用Fourier变换法求解变换法求解 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 11 简写符号简写符号 F u x tut FxFx 2 2 2 2 2 2 j x tt j x u x t F ux tedx t d u x t edx dt d ut dt 2 2 2 j x xx u x t F ux tedxjut x 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 12 例 求证 关于自变量例 求证 关于自变量 的余弦变换为的余弦变换为 22 22 jj 00 1 ecos de ee d 2 axx a x 222 22 222 jj 22 2222 4 00 11 edede 22 xx aax aaa 证明 证明 22 e a 2 2 4 1 e 2 x a a 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 13 222 22 222 2 2 jj 22 2222 4 2 00 22 4 1111 eded2 e 2211 2 2 22 1 e 2 xx aax aaa x a a aa a 2 22 2 4 0 1 ecosde 2 x a a x a 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 14 波动方程的定解问题 例 求解无界弦振动方程的初值问题 波动方程的定解问题 例 求解无界弦振动方程的初值问题 2 0 0 0 0 ttxx t ua uxt u xx u xx 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 15 2 2 2 ttxx d ut uujut dt 2 22 2 0 0 0 t d ut aut dt uu 12 j atj at utC eC e 12 12 0 0 t uCC uj a CC 1111 22 j atj at utee j aj a 解 解 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 16 1 11 11 111 22 111 22 j atj at j atj at u x tFut FeFe aj FeFe aj 应用延迟定理应用延迟定理 j atj at FxateFxe 1 j at Fexat 1 x atx j atj at Fs dseFs dse j 1 1 x at j at Fes ds j 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 17 11 22 x atx at u x txatxats dss ds a 11 22 x at x at xatxats ds a 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 18 热传导方程定解问题热传导方程定解问题 例设有一根无限长的杆 杆上有强度为例设有一根无限长的杆 杆上有强度为F x t 的热源 杆的初始温度为 的热源 杆的初始温度为 x 试求 试求t 0时杆上 温度的分布规律 时杆上 温度的分布规律 解解 0 0 2 2 2 xu txtxf x u a t u t 1 txF c txf 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 19 j xj x utu x t edx ftf x t edx 22 0 du autft dt u 2222 0 t atat uefed 2 22 2 1 4 1 2 x at a t Fee at 2 2 2 2 1 4 4 0 11 22 x s x s t at a t u x tFut f s s edsdeds atat 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 20 例 求半无界杆的热传导问题例 求半无界杆的热传导问题 2 0 0 0 0 0 0 0 txx ua uxt u x utu 常数 解 将边界条件齐次化 仿照半无界弦的波动问题作奇延拓 将问题化为无界问题 解 将边界条件齐次化 仿照半无界弦的波动问题作奇延拓 将问题化为无界问题 0 uxtwxtu 2 0 0 0 0 0 0 0 txx wa wxt w xu wt 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 21 2 2 2 0 0 uu af x txt tx u xx 2 2 2 2 1 4 4 0 11 22 x s x s t at a t u x tFut f s s edsdeds atat 的解为的解为 2 0 0 0 0 0 0 txx wa wxt w xu wt 本题本题 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 22 0f x t 本题中本题中 2 2 4 1 2 x s