北京四中高中数学 集合与函数综合提高知识讲解 新人教A版必修1.doc

集合与函数综合【学习目标】1.集合（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（3）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（4）能使用venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.2.函数(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用；(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法了解每种方法的优点在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；集合具体函数了解奇偶性的含义；（5）能运用函数的图象理解和研究函数的性质【知识网络】【要点梳理】一、集合1集合含义与表示（1）某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集其中每个对象叫做元素集合中的元素具有确定性、互异性和无序性（2）集合常用的表示方法有：列举法、描述法、图示法它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法2集合间的关系（1）若集合中a的任何元素都是集合b的元素，则称集合a是集合b的子集，记为“ab”或“ba”（2）若ab，且b中至少存在一个元素不是a的元素，则a是b的真子集，记为“ab”或“ba”（3）若两个集合的元素完全一样，则这两个集合相等，记为“a=b”判断集合相等还可以用下面两种方法：且a=b；要点诠释：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集换言之，任何集合至少有一个子集3集合的基本运算（1）由所有属于集合a或属于集合b的元素构成的集合，叫a与b的并集，记作“ab”用数学语言表示为ab=x|xa，且xb（2）由所有属于集合a且属于集合b的元素构成的集合，叫a与b的交集，记作“ab”用数学语言表示为ab=x|xa，且xb（3）若已知全集u，a是u的子集，则由所有u中不属于a的元素构成的集合称为集合a在u中的补集记作“”用数学语言表示为要点诠释：；二、函数及其表示1两个函数相等的条件用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的函数有三要素定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等2函数的常用表示方法函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数3映射设a、b是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个元素x（原象），在集合b中都有唯一确定的元素（象）与之对应，那么就称对应f：ab为从集合a到集合b的一个映射由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射三、函数的性质1函数的单调性（1）如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有，那么就说函数在区间d上是增函数（2）如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有，那么就说函数在区间d上是减函数（3）若函数在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间若函数在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数2函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数（2）若奇函数的定义域内有零，则由奇函数定义知，即，所以（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数【典型例题】类型一：集合的关系及运算例1已知全集u=r，集合m=x|2x12和n=x|x=2k1，k=1，2，的关系的韦恩（venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（ ）a3个 b2个 c1个 d无穷多个【答案】b【解析】 阴影部分为mn=x|2x12x|x=2k1，k=1，2，=x|1x3x|x=2k1，k=1，2，=1，3，阴影部分所示的集合的元素区有2个，故选b项【总结升华】具体集合（给出或可以求得元素的集合）的交、并、补运算，以及集合间关系的判定、子集的个数问题是每年高考重点考查的对象，因而也是高考命题的热点举一反三： 【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例4】【变式1】设全集为，求及 【答案】=；=.例2设非空集合满足：当xs时，有x2s.给出如下三个命题：若m=1，则s=1；若，则l1；，则其中正确命题的个数是（ ）a0 b1 c2 d3【思路点拨】根据题中条件：“当xs时，有x2s”对三个命题一一进行验证即可：对于m=1，得，对于，则，对于若，则，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个【答案】d【解析】 若m=1，则x=x2，可得x=1或x=0（舍去），则s=1，因此命题正确；若，当时，故，当时，则，可得或（舍去），故，因此命题正确；若，则，得，因此命题正确类型二：映射例3设集合，f是a到b的映射，并满足（1）求b中元素（3，4）在a中的原象；（2）试探索b中有哪些元素在a中存在原象；（3）求b中元素（a，b）在a中有且只有一个原象时，a，b所满足的关系式【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识【答案】（1）（1，3）或（3，1）；（2）b24a0；（3）b2=4a【解析】（1）设（x，y）是（3，4）在a中的原象，于是，解得或，（3，4）在a中的原象是（1，3）或（3，1）（2）设任意（a，b）b在a中有原象（x，y），应满足由可得y=xb，代入得x2bx+a=0 当且仅当=b24a0时，方程有实根只有当b中元素满足b24a0时，才在a中有原象（3）由以上（2）的解题过程知，只有当b中元素满足b2=4a时，它在a中有且只有一个原象【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题举一反三：【变式1】 已知a，b为两个不相等的实数，集合，表示把m中的元素x映射到集合n中仍为x，则a+b等于（ ）a1 b2 c3 d4【答案】 d 【解析】 由已知可得m=n，故，a、b是方程x24x+2=0的两根，故a+b=4类型三：函数的概念及性质例 【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例4设定义在r上的函数y= f（x）是偶函数,且f（x）在（，0）为增函数若对于，且，则有 ( ) a b c d 【答案】d 【解析】因为，且，所以，画出y= f（x）的图象，数形结合知，只有选项d正确 【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题 举一反三：【变式1】（1）已知定义在r上的奇函数满足，且在区间0，2上是增函数，则（ ）a bc d（2）定义在r上的偶函数f (x)，对任意x1，x20，+）（x1x2），有，则（ ）a bc d【答案】（1）d （2）a 【解析】（1）由函数是奇函数且在0，2上是增函数可以推知在2，2上递增，又，故函数以8为周期，故故选d（2）由题知，为偶函数，故，又知x0，+）时，为减函数，且321，即故选a例5设偶函数满足，则（ ）ax|x2或x4 bx|x0或x4cx|x0或x6 dx|x2或x2【思路点拨】先求的解析式，即，然后再去解这个不等式。【答案】 b 【解析】 当x0时，x0，又是偶函数，或解得x4或x0，故选b例6设函数的定义域为，若所有点 构成一个正方形区域，则的值为（ ）a2 b4 c8 d不能确定【答案】 b【解析】 依题意，设关于x的不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x1，x2（x1x2），且，的最大值是依题意，当sx1，x2的取值一定时，取遍中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s取遍x1，x2中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有，又a0，因此a=4，选b项举一反三：【变式1】若函数的定义域是0，2，则函数的定义域是（ ）a0，1 b0，1） c0，1）（1，4 d（0，1）【答案】 b 【解析】 要使有意义，则，解得0x1，故定义域为0，1），选b例7设函数（1）画出函数的图象；（2）若不等式的解集非空，求a的取值范围【答案】（1）右图；（2）【解析】 （1）由于，则函数的图象如图所示（2）由函数与函数y=ax的图象可知，当且仅当或a2时，函数与函数y=ax的图象有交点故不等式的解集非空时，a的取值范围为举一反三：【变式1】 直线y=1与曲线y=x2|x|+a有四个交点，则a的取值范围是_【答案】 【解析】 如图，作出y=x2|x|+a的图象，若要使y=1与其有四个交点，则需满足，解得例8 已知函数（x0，常数ar）（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）若函数在x2，+）上为增函数，求a的取值范围【思路点拨】（1）对进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可。（2）由题意知，任取2x1x2，则有恒成立，即可得的取值范围。【答案】（1）当a=0时，为偶函数；当a0时，既不是奇函数，也不是偶函数（2）（，16【解析】 （1）当a=0时，对任意x（，0）（0，+），为偶函数当a0时，（a0，x0），取x=1，得，函数既不是奇函数，也不是偶函数（2）解法一：设2x1x2，要使函数在x2，+）上为增函数，必须恒成立x1x20，x1 x24，即ax1 x2 (x1+ x2)恒成立又x1+ x24，x1x2(x1+ x2)16a的取值范围是（，16解法二：当a=0时，显然在2，+）上为增函数当a0时，反比例函数在2，+）上为增函数，在2，+）上为增函数当a0时，同解法一【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题举一反三：【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】【变式1】已知函数，且f（1）=1（1）求实数k的值及函数的定义域；（2）判断函数在（0，+）上的单调性，并用定义加以证明【答案】（1）2 ；（2）单调递增【解析】（1），定义域为：（2）在（0，+）上任取，则 =所以函数在上单调递增例9请先阅读下列材料，然后回答问题对于问题“已知函数，问函数是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由”一个同学给出了如下解答：解：令u=3+2xx2，则u=(x1)2+4，当x=1时，u有最大值，umax=4，显然u没有最小值当x=1时，有最小值，没有最大值（1）你认为上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；（2）对于函数，试研究其最值情况【答案】（1）不正确；（2）当0时，既无最大值，也无最小值；当0时，有最大值，此时，没有最小值【解析】（1）不正确没有考虑到u还可以小于0正确解答如下：令u=3+2xx2，则u=(x1)2+44，当0u4时，即；当u0时，即或，即既无最大值，也无最小值（2）对于函数，令u=ax2+bx+c（a0）当0时，u有最小值，当时，即；当u0时，即或，即既无最大值，也无最小值当=0时，u有最小值，此时，u0，即，既无最大值，也无最小值当0时，u有最小值，即，即当时，有最大值，没有最小值综上，当0时，既无最大值，也无最小值当0时，有最大值，此时，没有最小值【总结升华】研究性学习是新课标所倡导的教学理念，是培养创新能力的重要途径，因而也是新课标高考的重点考查对象解决像本例这样的研究性问题，关键是透彻理解题目中所提供的材料，准确地把握题意，灵活地运用所学的基本知识和基本方法分析解决问题举一反三：【变式1】（1）已知函数的最大值为m，最小值为m，则的值为（ ）a b c d【答案】 c 【解析】 函数的定义域为3，1又而，4y28又y0，m=2故选c项（2）设，是二次函数，若的值域是0，+），则的值域是（ ）a（，11，+） b（，10，+）c0，+） d1，+）【答案】c【解析】要使的值域是0，+），则可取（，10，+）又是二次函数，定义域连续，故不可能同时取（，1和0，+）结合选项只能选c项 【总结升华】 函数的值域问题每年高考必考，而且既有常规题型如本例（1），也有创新题如本例（2）解答这类问题，既要熟练掌握求函数值域的基本方法，更要根据具体问题情景，灵活地处理如本例（2）中，其背景函数属常规函数（分段函数、二次函数、复合函数），但给出的值域，要求的值域，就在常规题型基础上有所创新，解答这类问题，应利用基本方法、基本知识来分析解决问题类型四：函数的综合问题例10（1）已知函数在区间1，2上最大值为4，求实数a的值；（2）已知函数，x1，1，求函数的最小值【思路点拨】第（1）小题中应对二次项系数进行全面讨论，即按a=0，a0，a0三种情况分析；第（2）小题中的抛物线开口方向确定，对称轴不稳定【答案】（1）3或；（2）略【解析】 （1）当a=0时，函数在区间1，2上的值为常数1，不合题意；当a0时，函数在区间1，2上是增函数，最大值为，；当a0时，函数在区间1，2上是减函数，最大值为，a=3综上，a的值为3或（2），对称轴为直线x=a，且抛物线的开口向上，如下图所示：当a1时，函数在区间1，1上是减函数，最小值为；当1a1时，函数在区间1，1上是先减后增，最小值为；当a1时，函数在区间1，1上是增函数，最小值为【总结升华】 求二次函数在闭区间上的最值的方法是：一看抛物线