北京四中高考数学总复习 直线、平面平行的判定和性质提高知识讲解.doc

直线、平面平行的判定和性质【考纲要求】1、掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理； 2、掌握两个平面平行的判定定理和性质定理3、能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题。【知识网络】直线、平面平行判定定理性质定理线面平行面面平行判定定理性质定理【考点梳理】考点一、直线与平面平行的判定1、判定定理：（1）内容：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（2）符号语言：2、判定直线与平面平行，主要有三种方法：（1）利用定义（常用反证法）；（2）利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线。可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。（3）利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面。要点诠释：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面。考点二、直线与平面平行的性质1、性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.2、符号语言：考点三、平面与平面平行的判定1、 面面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行2、 图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的3、 平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行4、 符号语言： 5、判定平面与平面平行的常用方法：利用定义（常用反证法）；利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行；利用面面平行的传递性：利用线面垂直的性质：。考点四、平面与平面平行的性质1、 平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行2、 符号语言：3、 面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面符号语言：要点诠释：平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化归的思想。三种平行关系如图：性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据。【典型例题】类型一、直线与平面平行的判定例1、两个全等的正方形abcd和abef所在平面相交于ab，mac，nfb，且am=fn，求证：mn平面bce。【证明】法一：作mpbc，nqbe，p、q为垂足，则mpab，nqab。mpnq，又am=nf，ac=bf，mc=nb，mcp=nbq=45rtmcprtnbqmp=nq，故四边形mpqn为平行四边形mnpqpq平面bce，mn在平面bce外，mn平面bce。法二：如图过m作mhab于h，则mhbc，连结nh，由bf=ac，fn=am，得 nh/af/be由mh/bc, nh/be得:平面mnh/平面bcemn平面bce。举一反三：【变式1】如图，在正方体abcda1b1c1d1中，点n在bd上，点m在b1c上，并且cm=dn.abcdnfema11b11d11c11求证:mn平面aa1b1b.法1：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。即在平面abb1a1内找一条直线与mn平行，如图所示作平行线即可。法2：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。连cn并延长交直线ba于点p，连b1p，就是所找直线，然后再设法证明mnb1p.法3：把证“线面平行”转化为证“面面平行”。过m作mq/bb1交bc于b1，连nq,则平面mnq与平面abb1a1平行，从而证得mn平面abb1a1.【点评】证明线面或面面平行的时候一定要注意 “线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的互相转化。【变式2】【高清课堂：直线、平面平行的判定与性质例1】如图所示，已知p、q是单位正方体abcd-a1b1c1d1的面a1b1ba和面abcd的中心。证明：pq/平面bcc1b1【证明】方法一：如图，取b1b中点e,bc中点f，连接pe、qf、ef，因为在三角形a1b1b中，p、e分别是a1b和b1b的中点，所以pea1b1，同理，qfab，又因为a1b1ab,所以peqf所以四边形pefq是平行四边形，所以pq/ef.又pq平面bcc1b1，ef平面bcc1b1，所以pq/平面bcc1b1.方法二：如图，取ab的中点e,连接pe,qe,因为p是a1b的中点，所以pe/a1a,有a1a/bb1,所以pe/bb1又pe平面bcc1b1,bb1平面bcc1b1，同理qe/平面bcc1b1，有pe、qe平面pqe,peqe=e,所以平面pqe/平面bbc1b1，又pq平面pqe,所以pq/平面bcc1b1.类型二、直线与平面平行的性质例2、如图，在四面体abcd中，截面efgh平行于对棱ab和cd，试问截面在什么位置时其截面面积最大。【解析】先利用线面平行的性质，判定截面形状，再建立面积函数求最值。ab/平面efgh，平面efgh与平面abc和平面abd分别交于fg、eh，ab/fg，ab/eh，fg/eh，同理可证ef/gh，截面efgh是平行四边形。设ab=a,cd=b,fgh=（即为异面直线ab和cd所成的角或其补角）。又设fg=x.gh=y,则由平面几何知识可得两式相加得当且仅当时，取最大值，此时，即当截面efgh的顶点e、f、g、h分别为棱ad、ac、bc、bd的中点时，截面面积最大。【点评】利用线面平行的性质，可以实现由线面平行到线线平行的转化。在平时的解题过程中，若遇到线面平行这一条件，就需在图中找（或作）过已知直线与已知平面相交的平面。这样就可以由性质定理实现平行转化。至于最值问题，常用函数思想解决，若题目中没有涉及边长，要大胆地设未知量，以便解题。举一反三：【变式】如图，在四面体abcd中，截面efgh是平行四边形求证：ab平面efg【解析】面efgh是截面点e，f，g，h分别在bc，bd，da，ac上eh 面abd，gf面abc，由已知，ehgfeh面abd又eh 面bac，面abc面abd=abehab，eh 平面efg，ab平面efgab面efg类型三、平面与平面平行的判定例3、如图，正方体abcda1b1c1d1中，m、n、e、f分别是棱a1b1、a1d1、b1c1、c1d1中点(1) 求证：平面amn平面efdb；(2) 求异面直线am、bd所成角的余弦值a1abcb1c1efmnd1d【解析】(1) 易证efb1d1 mnb1d1 efmnanbe 又mnann efbee面amn面efdb(2) 易证mnbd amn为am与bd所成角易求得 cosamn【点评】本题直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行。举一反三：【变式】已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点. (i) 求证：平面平面；（ii）求证：平面. 【证明】（）由已知可得， 四边形是平行四边形， 平面，平面， 平面； 又 分别是的中点， ， 平面，平面，平面； 平面，平面， 平面平面 . () 三棱柱是直三棱柱， 面，又面， . 又直三棱柱的所有棱长都相等，是边中点， 是正三角形， 而， 面 ，面 ，面 ， 故 . 四边形是菱形， 而，故 , 由面，面，得 面 . 类型四、平面与平面平行的性质及应用例4、如图，已知，异面直线ab、cd和平面、分别交于a、b、c、d四点，e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da的中点求证：(1)e、f、g、h共面；(2)平面efgh平面.证明：(1)e、h分别是ab、da的中点，ehbd且ehbd.同理，fgbd且fgbd，fgeh且fgeh.四边形efgh是平行四边形，即e、f、g、h共面(2)平面abd和平面有一个公共点a，设两平面交于过点a的直线ad.，adbd.又bdeh，ehbdad.eh平面，同理，ef平面，又ehefe，eh平面efgh，ef平面efgh，平面efgh平面.举一反三：【变式1】已知平面平面，ab、cd是夹在平面和平面间的两条线段，点e、f分别在ab、cd上，且求证：ef【解析】1若ab与cd共面，设ab与cd确定平面，则ac bd acbd 又efacbd ef2若ab与cd异面，过a作aacd在aa截