北京四中高中数学 指数函数及其性质提高知识讲解 新人教A版必修1.doc

指数函数及性质【学习目标】1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；2.掌握指数函数图象：(1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质；(2)掌握底数对指数函数图象的影响；(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=ax(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为r.要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a0且a1)的函数才是指数函数像，等函数都不是指数函数（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：如果，则如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在如果，则是个常量，就没研究的必要了要点二、指数函数的图象及性质：y=ax0a1时图象图象性质定义域r，值域 （0，+）a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点ax=a，即x=1时，y等于底数a在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数x1x0时，0ax1x0时，0ax0时，ax1 既不是奇函数，也不是偶函数要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。（2）当时，；当时。当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快。当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快。（3）指数函数与的图象关于轴对称。要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1） 则：0ba1dc又即：x(0,+)时， （底大幂大） x(,0)时，（2）特殊函数的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：若；当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可【典型例题】类型一、函数的定义域、值域例1求下列函数的定义域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)【答案】（1）r，(0，1)；（2）r )；（3） ；（4）(-，-1)1，+) 1，a)(a，+)【解析】(1)函数的定义域为r (对一切xr，3x-1). ，又 3x0， 1+3x1， ， ， ， 值域为(0，1).(2)定义域为r， 2x0， 即 x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数， 值域为).(3)要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数，所以，即，即，值域是.(4) 定义域为(-，-1)1，+)，又 ， ， 值域为1，a)(a，+).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(4)小题中不能遗漏.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1) (2)(3) (4)【答案】（1）r；（2）；（3）；（4）a1时，；0a1时，；0a1时，外层函数y=au在上为增函数，内函数u=x2-2x在区间上为减函数，在区间上为增函数，故函数上为减函数，在区间上为增函数；当0a0，且a1)的函数若令ax=u，便有y=au2+bu+c，但应注意u0例4(1)1.8a与1.8a+1； (2) (3)22.5，(2.5)0， (4)【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。【答案】（1）1.8a1时，当0a1，所以函数y=1.8x为单调增函数，又因为aa+1，所以1.8a1时，当0a1， 所以y=1.3x在r上为增函数1.30.71.30=1， .【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0，1等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.【变式3】如果（，且），求的取值范围【答案】当时，；当时，【解析】（1）当时，由于，解得（2）当时，由于，解得综上所述，的取值范围是：当时，；当时，类型三、判断函数的奇偶性例5判断下列函数的奇偶性： (为奇函数)【答案】偶函数【解析】f(x)定义域关于原点对称(定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是定义域除掉0这个元素)，令，则 g(x)为奇函数， 又 为奇函数， f(x)为偶函数.【总结升华】求的奇偶性，可以先判断与的奇偶性，然后在根据奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇，得出的奇偶性举一反三：【变式1】判断函数的奇偶性：.【答案】偶函数【解析】定义域x|xr且x0，又 ， f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数.类型四：指数函数的图象问题例6如图的曲线c1、c2、c3、c4是指数函数的图象，而，则图象c1、c2、c3、c4对应的函数的底数依次是_、_、_、_【答案】 【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，c2的底数c1的底数c4的底数c3的底数【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在y轴的右边“底大图高”，在y轴的左边“底大图低”举一反三：【变式1】 设，cba且，则下列关系式中一定成立的是（ ）a b c d 【答案】d例7若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值范围是 【思路点拨】画出与的图象，利用数形结合的方法去解题。【答案】【解析】当时，通过平移变换和翻折可得如图所示的图象，则由图可知，即与矛盾当时，同样通过平移和翻折可得如图所示的图象，则由图可知，即，即为所求【总结升华】（1）解答此题时，要注意底数的不确定性，因此作图时要注意讨论；（2）根据条件确定直线与函数的图象位置关系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结果，其处理的过程体现了数形结合的思想举一反三：【变式1】如图是指数函数，的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为（ ）aab1cd bba1dcc1abcd dab1dc 【答案】b例8确定方程的根的个数【思路点拨】画出的图象和的图象，把求方程根的个数问题转化成求函数图象的交点问题。【答案】2【解析】根据方程的两端分别设函数，在同一坐标系中画出函数与的图象，如图所示：由图可以发现，二者仅有两个交点，所以方程的根的个数为2类型五：指数函数的应用例9 假设a型进口汽车关税率在2010年是2005年的25，2005年a型进口汽车每辆价格为64万元（其中含32万元关税款），（1）已知与a型车性能相近的b型国产车，2005年每辆价格为46万元，若a型车价格只受关税降低的影响，为了保证2010年b型车的价格不高于a型车价格的90，b型车价格要逐年降低，问平均每年至少要降多少万元？（2）某人在2005年将33万元存入银行，假设银行扣除利息税后的年利率为1.8（五年内不变），且每年按复利计算（例如第一年的利息计入第二年本金），那么五年到期时，这笔钱连本带息是否一定能够买一辆按（1）所述降价后的b型汽车？【答案】2 能买 【解析】（1）2010年的关税率为2005年的关税率的，故所减少的关税款为32=24（万元）2010年a型车价格为6424=40（万元）5年后b型车价格不高于a型车价格的90，有b型车价格4090=36（万元）2005年b型车价格为46万元，故5年中至少要降10万元，平均每年至少要降2万元 （2）根据题意，2005年存入的33万元，5年到期时连本带息可得33(1+1.8)5（万元）通过计算器算得33(1+1.8)536.08（万元）到期时，这笔钱连本带息一定能够买一辆按（1）所述降价后的b型汽车 【总结升华】本题是涉及指数函数的应用题，与指数函数相关的应用题较多，如放射性物质的衰变、人口的增长问题、国民生产总值的增长问题、成本的增长或降低等问题它的基本模型是：设原有产值为n，平均增长率为p，则对于经过x年后的总产值y可以用y=n(1+p)x表示 本例（2）在计算五年到期连本带息的和时，用到了公式（其中a为开始存入时的本金，r为每期的利率，n为期数），该公式可用特例归纳法得到：第l期到期时本利和为a+ar=a(1+r)；第2期到期时本利和为a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2；第3期到期时本利和为a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3；第n期到期时本利和为a(1+r)n1+a(1+r)n1r=a(1+r)n举一反三：【变式1】 某乡