北京大学附中高三数学一轮复习 推理与证明单元训练.doc

北京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：推理与证明本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知且，对进行如下方式的“ 分拆”：，那么361的“分拆”所得的数的中位数是( )a19b21c29d361【答案】a2下面叙述正确的是( )a综合法、分析法是直接证明的方法b综合法是直接证法、分析法是间接证法c综合法、分析法所用语气都是肯定的d综合法、分析法所用语气都是假定的【答案】a3有一段演绎推理是这样的：“三角函数是周期函数，是三角函数，所以是周期函数”在以上演绎推理中，下列说法正确的是( )a推理完全正确b大前提不正确c小前提不正确d推理形式不正确【答案】c4用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是( )a假设三内角都不大于60度b假设三内角都大于60度 c假设三内角至少有一个大于60度 d假设三内角至多有二个大于60度 【答案】b5已知，若，(，均为正实数)，则类比以上等式，可推测，的值，( )a35b40c41d42【答案】c6给出下列四个推导过程：a，b，（ba）+（ab）2=2; x，y，lgx+lgy2;ar，a0，（4a）+a2=4;x，yr，xy0，（xy）+（yx）=-（-（xy）+（-（yx）-2=-2.其中正确的是( )abcd【答案】d7如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，m和n是小圆的一条固定直径的两个端点。那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点m，n在大圆内所绘出的图形大致是( ) 【答案】a8一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：则第9行中的第4个数是( )a132b255c259d260【答案】c9设abc的三边长分别为a、b、c，abc的面积为s，内切圆半径为r ，则；类比这个结论可知：四面体sabc的四个面的面积分别为s1、s2、s3、s4，内切球的半径为r，四面体pabc的体积为v，则r( )ab cd【答案】c10一位同学对三元一次方程组（其中实系数不全为零）的解的情况进行研究后得到下列结论： 结论1：当，且时，方程组有无穷多解；结论2：当，且都不为零时，方程组有无穷多解；结论3：当，且时，方程组无解但是上述结论均不正确下面给出的方程组可以作为结论1、2和3的反例依次为( )(1）； (2）； (3）a（1）（2）（3）b（1）（3）（2）c（2）（1）（3）d（3）（2）（1）【答案】b11观察下列各式，则的末两位数字为( )a01b43c07d49【答案】b12若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”。下列四个命题，其中是“可换命题”的是( )垂直于同一平面的两直线平行； 垂直于同一平面的两平面平行；平行于同一直线的两直线平行； 平行于同一平面的两直线平行abcd【答案】c第卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不小于60度”时，正确的反设是_【答案】三角形的内角中都小于60度14要研究可导函数在某点处的瞬时变化率，有两种方案可供选择：直接求导，得到，再把横坐标代入导函数的表达式；先把按二项式展开，逐个求导，再把横坐标代入导函数的表达式.综合、可得到某些恒等式，利用上述思想方法，可得到恒等式：=_【答案】15观察下列不等式，照此规律，第五个不等式为 .【答案】.16若是等差数列，是互不相等的正整数，有正确的结论：，类比上述性质，相应地，若等比数列，是互不相等的正整数，有_.【答案】三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17观察（1）(2）(3）由以上三式成立，推广到一般结论，写出一般结论，并证明。【答案】由以上三式中的三个角分别为（1）5,15,70它们的和为90（2）10，25，55它们的和为90（3）20，30，40它们的和为90，可归纳出：若都不为，且则：证明如下：若，则结论显然成立。若，由得：则：又则：则：18设.(）利用作差法比较与的大小；(）求证：；(）利用（）（）的结论，证明：【答案】（1），(）；(）由（1）得类似的， 19若实数满足，则称，(1）若的取值范围。(2）对任意两个不相等的正数，证明：【答案】（1）由题意得，即的取值范围是(2）当是不相等的正数时又20已知abc的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等，若成等差数列，比较与的大小，并用分析法证明你的结论.【答案】大小关系为.证明：要证，只需证0，只需证b2ac，又，成等差数列，即b2ac，又a、b、c任意两边均不相等，b2ac显然成立，故所得大小关系正确.21由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项,将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项.按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”，将构图边数增加到可得到“边形数列”，记它的第项为， 1，3，6，10 1，4，9，16 1，5，12，22 1，6，15，28(1）求使得的最小的取值；(2）试推导关于、的解析式；( 3) 是否存在这样的“边形数列”,它的任意连续两项的和均为完全平方数,若存在,指出所有满足条件的数列并证明你的结论;若不存在,请说明理由.【答案】 (1),由题意得,所以,最小的. (2)设边形数列所对应的图形中第层的点数为,则从图中可以得出:后一层的点在条边上增加了一点,两条边上的点数不变, 所以,所以是首项为1公差为的等差数列,所以.(或等) (3) 显然满足题意, 而结论要对于任意的正整数都成立,则的判别式必须为零,