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2012年高考数学(北京)第20题(理)试题优美解 试题(北京、 理科20)设是由个实数组成的行列的数表,满足:每个数的绝对值不大于,且所有数的和为零. 记为所有这样的数表组成的集合. 对于,记为的第行各数之和(),为的第列各数之和();记为,中的最小值.(1)对如下数表,求的值; (2)设数表形如 求的最大值;(3)给定正整数,对于所有的,求的最大值.解法 解:(1)由题意可知,(2)先用反证法证明:若则,同理可知,由题目所有数和为即与题目条件矛盾易知当时,存在的最大值为1(3)的最大值为.首先构造满足的:,.经计算知,中每个元素的绝对值都小于1,所有元素之和为0,且,.下面证明是最大值. 若不然,则存在一个数表,使得.由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于,而两个绝对值不超过1的数的和,其绝对值不超过2,故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于,故的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于.设中有列的列和为正,有列的列和为负,由对称性不妨设,则. 另外,由对称性不妨设的第一行行和为正,第二行行和为负.考虑的第一行,由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数,每个正数的绝对值不超过1(即每个正数均不超过1),每个负数的绝对值不小于(即每个负数均不超过). 因此,故的第一行行和的绝
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