北京市10区高三数学上学期期末试题分类汇编 立体几何 理.doc

北京市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编立体几何一、填空、选择题1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为 a. b c. d. 【答案】b【解析】根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥其中abcd是直角梯形，abad， ab=ad=2，bc=4，即pa平面abcd，pa=2。且,，,底面梯形的面积为，,侧面三角形中的高，所以，所以该几何体的总面积为，选b.2.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为a b c d 【答案】c 【解析】由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选c.3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4，底面梯形的上底为4，下底为5，腰,所以梯形的面积为，梯形的周长为，所以四个侧面积为，所以该几何体的表面积为。4.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是a. b. c. d. 【答案】d5.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(a) (b) (c) 1 (d) 2【答案】a【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以四个面中面积最大的为，且是边长为为2的正三角形，所以，选a.6.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为_.【答案】【解析】取ac的中点，连结be,de由主视图可知.且.所以，即。7.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）a若，则 b若，则 c若，则 d若，则【答案】c【解析】c中，当，所以，或当，所以，所以正确。8.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积是（a）（b）（c）（d）【答案】b【解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的底面积为，侧面积为，所以表面积为，选b.9.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】某四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ） （a）（b）（c）（d）【答案】c 【解析】由三视图可知该四面体为,其中,.所以六条棱中，最大的为或者.,所以，此时。,所以，所以棱长最大的为，选c.10.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是 a b c d【答案】a【解析】过做底面于o,连结,则，即为三棱锥的高，设，则由题意知,所以有，即。三角形，所以四面体的体积为，当且仅当，即时，取等号，所以四面体的体积的最大值为，选a. 11、【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）a b c d 正（主）视图侧（左）视图俯视图223231【答案】b【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选b.二、解答题1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】在四棱锥中，底面是正方形， 为的中点. （）求证：平面；（）求证：；（）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由【答案】解：（i）连接. 由是正方形可知,点为中点. 又为的中点， 所以.2分 又 所以平面.4分(ii) 证明：由 所以由是正方形可知, 又 所以.8分 又 所以.9分(iii)解法一： 在线段上存在点，使. 理由如下： 如图，取中点，连接. 在四棱锥中， 所以.11分 由（ii）可知，而 所以， 因为 所以. 13分 故在线段上存在点，使.由为中点，得 14分 解法二：由且底面是正方形，如图，建立空间直角坐标系 由已知设，则设为线段上一点，且，则.12分由题意，若线段上存在点，使，则，.所以，故在线段上存在点，使，且 14分2.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在长方体中，点在棱上，且（）求证：平面；（）在棱上是否存在点，使平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由； （）若二面角的余弦值为，求棱的长【答案】证明：（）在长方体中，因为面， 所以 2分在矩形中，因为，所以 所以面 4分（）如图，在长方体 中，以为原点建立空间直角坐标系依题意可知，设的长为，则，假设在棱上存在点，使得平面设点，则，易知设平面的一个法向量为，则，即7分令得，所以因为平面，等价于且平面得，所以所以，所以的长为9分（）因为，且点，所以平面、平面与面是同一个平面由（）可知，面，所以是平面的一个法向量 11分由（）可知，平面的一个法向量为因为二面角的余弦值为，所以，解得故的长为 14分3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】如图，在菱形中，是的中点， 平面，且在矩形abcdenm中，（）求证：；（）求证： / 平面；（）求二面角的大小.【答案】解：（）连结，则.由已知平面，因为fabcdenmyxz，所以平面.2分又因为平面，所以.4分（）与交于，连结. 由已知可得四边形是平行四边形，所以是的中点.因为是的中点，所以.7分又平面，平面，所以平面. 9分（）由于四边形是菱形，是的中点，可得.如图建立空间直角坐标系，则，, ，.，.10分设平面的法向量为.则 所以 令.所以.12分又平面的法向量，所以.所以二面角的大小是60. 14分4.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】在长方体中，为中点.（）证明：；（）求与平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由. （）证明：连接是长方体，平面， 又平面 1分在长方形中， 2分又平面， 3分 而平面 4分（）如图建立空间直角坐标系，则,设平面的法向量为，则 令，则 7分 9分所以 与平面所成角的正弦值为 10分（）假设在棱上存在一点，使得平面.设的坐标为，则 因为 平面所以 ， 即， ，解得， 13分所以 在棱上存在一点，使得平面,此时的长.14分5.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】如图，在三棱锥p-abc中，pa=pb=ab=2，,平面pab平面abc，d、e分别为ab、ac中点.（）求证：de平面pbc;（）求证：abpe；（）求二面角a-pb-e的大小. 【答案】解：（） d、e分别为ab、ac中点， de/bc _e_d_b_c_a_p de平面pbc，bc平面pbc， de/平面pbc 4分（）连结pd， pa=pb， pd ab .5分 ，bc ab， de ab . .6分 又 ， ab平面pde.8分 pe平面pde， abpe .9分（）平面pab平面abc，平面pab平面abc=ab，pd ab， pd平面abc.10分 如图,以d为原点建立空间直角坐标系 b(1,0,0)，p(0,0,)，e(0,0) ,_e_d_b_c_a_pzyx =(1,0, )，=(0, , ） 设平面pbe的法向量， 令 得 .11分 de平面pab， 平面pab的法向量为.12分 设二面角的大小为， 由图知， 所以即二面角的大小为 .14分6.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】如图，在直三棱柱中，是中点. （i）求证：平面；（ii）若棱上存在一点，满足，求的长；（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(i) 连接交于点，连接因为为正方形，所以为中点，又为中点，所以为的中位线， 所以 2分又平面，平面 所以平面 4分 （）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系所以 设，所以， 因为，所以 ，解得，所以 8分 （）因为， 设平面的法向量为， 则有，得， 令则，所以可以取， 10分 因为平面,取平面的法向量为 11分 所以 13分平面与平面所成锐二面角的余弦值为 14分7.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】如图1，在rt中，d、e分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2（）求证： 平面；（）若，求与平面所成角的正弦值；（） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值 abcde图1图2a1bcde【答案】（）证明： 在中，a1bcdexzy.又.由. 4分（）如图,以为原点，建立空间直角坐标系 5分 设为平面的一个法向量，因为所以， 令，得. 所以为平面的一个法向量 7分设与平面所成角为则所以与平面所成角的正弦值为 9分（）设,则 12分当时, 的最小值是 即为中点时, 的长度最小,最小值为 14分8.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】如图，在三棱柱abc-a1b1c1中，cc1底面abc，ac=bc=2，cc1=4，m是棱cc1上一点（）求证：bcam；（）若n是ab上一点，且，求证：cn /平面ab1m；（）若，求二面角a-mb1-c的大小【答案】（）因为三棱柱abc-a1b1c1中cc1平面abc，所以 cc1bc 1分因为ac=bc=2， 所以由勾股定理的逆定理知bcac 2分又因为accc1=c，所以bc平面acc1a1 3分因为am平面acc1a1，所以bcam 4分 （）过n作npbb1交ab1于p，连结mp ，则npcc1，且 5分于是有 由已知，有因为bb1=cc1所以np=cm所以四边形mcnp是平行四边形 6分所以cn/mp 7分因为cn平面ab1m，mp平面ab1m， 8分所以cn /平面ab1 m 9分（）因为 bcac，且cc1平面abc，所以 以c为原点，ca，cb，cc1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系c-xyz10分因为 ，所以c(0,0,0)，a(2,0,0)，b1(0,2,4)， 11分设平面的法向量，则，即 令，则，即 12分又平面mb1c的一个法向量是， 所以 13分由图可知二面角a-mb1-c为锐角，所以 二面角a-mb1-c的大小为 14分9.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为棱的中点（）求证：/ 平面；（）求证：平面平面； （）求二面角的余弦值【答案】（）证明：连接与相交于点，连结因为四边形为正方形，所以为中点因为 为棱中点 所以 3分因为 平面，平面， 所以直线/平面 4分 （）证明：因为平面，所以 5分因为四边形为正方形，所以， 所以平面 7分 所以平面平面 8分 （）解法一：在平面内过作直线因为平面平面，所以平面由两两垂直，建立如