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题 目： 度量空间课程论文 院 系： 数科院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 0x数本x班 姓 名： xxx 学 号： 2009xxxxxx II目 录1 度量空间的定义12 度量空间的一些例子23 度量空间的一些简单性质54 度量空间的紧致性与完备性84.1 度量空间的紧致性 9 4.2 度量空间的完备性 105 关于数学专业本科泛函分析教学的探讨 12参考文献14 度 量 空 间 课 程 论 文本文由湛江家教网提供！湛江找家教请家教，可上网搜索【湛江师范家教网】 摘要：度量空间是一类特殊的拓扑空间，并且它是理解拓扑空间的一个重要过程. 因此，本文通过度量空间的基本概念，力图给出度量空间的一些重要性质. 并且引入一些度量空间的其它性质. 关键词: 度量空间 导集 闭集 泛函分析 应用度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间.19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础.20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念.1 度量空间的定义度量空间是一类特殊的拓扑空间，它对于拓扑空间的理解起着非常重要的作用.因此，研究度量空间的一些性质是必要的.为了证明这些性质，首先介绍以下定义.定义1.1 设是一个集合，若对于中任意两个元素都有唯一确定的实数与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：(1)正定性 ,并且当且仅当；(2)对称性 ；(3)三角不等式 .则称是集合的一个度量，同时将称为度量空间或距离空间. 中的元素称为点，条件（3）称为三点不等式.定义1.2 设是一个度量空间，.对于任意给定的实数,集合，记作,称为一个以为中心，以为半径的球形邻域，简称为的一个球形邻域.2 度量空间的一些例子例2.1 离散的度量空间 设是任意的非空集合，对中的任意两点，令 容易验证满足关于距离的定义中的条件.我们称为离散的度量空间.由此可见，在任何非空集合上总可以定义距离.使它成为度量空间.例2.2 序列空间S令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中任意两点及，令，易知满足距离条件的充要条件为. (2.1)下验证满足距离条件对任意都成立. (2.2)为此我们首先证明对任意两个复数和，成立不等式事实上，考察上的函数由于在上，.所以在上单调增加，由不等式，我们得到.令，则，代入上面不等式，得.由此立即可知满足距离条件(2.2)，即S按或一度量空间.例2.3 有界函数空间设是一给定的集合，令表示上的有界实值（或复值）函数全体，对中任意两点，定义.下面验证满足条件(2.1)和(2.2).显然是非负的.又等价于对一切，成立，所以，即满足(2.1)，此外，对所有的成立 .所以.即满足条件(2.2).特别地，当时，记为.例2.4 可测函数空间设为上的实值（或复值）的可测函数全体,m为 测度，若 ，对任意两个可测函数 及，由于 所以这是上的可积函数，令 如果把中的两个几乎处处相等的函数视为中的同一个元，那么利用不等式 及积分性质很容易验证是距离.因此按上述距离成为度量间.例2.5 空间令表示闭区间上的实值（或复值）连续函数全体，对中任意两点定义容易验证它满足距离条件(2.1)和(2.2). 例2.6 记.设定义.则是的距离。距离条件(2.1)是容易得出的，现检验条件(2.2) . 对任何正整数n，和 都中的元素，由不等式 再令右端 ，即得再令左端的，即得由此可得 令取以 代入上式，即可得的三点不等式 由上述例子可见，度量空间除了有限维的欧几里德空间 之外，还包括其他的空间.3 度量空间的一些简单性质定理3.1 设是一个度量空间，则拓扑空间是一个离散空间当且仅当p是一个离散的度量.证 充分性 若是一个离散的度量，则对于任意的，存在实数，使得对于任意的, ,有.于是的球形邻域,所以，为开集.由的任意性以及开集的性质，故为离散空间.必要性 若为离散空间，则对于任意的,单点集为开集，于是存在的球形邻域 ,令，则对于任意的并且,有.所以, 为离散的度量.定理3.2 度量空间的每一个子集的导集都是闭集.证 设为一个度量空间，是的任意一个子集.欲证的导集为闭集，只需证.如果,显然.如果,由于,所以对于任意,有或.若，则对于的任意一个球形邻域,有.于是，对于任意的,则，取则,并且又由于,所以，因此.综上，对于任意,有.所以，.定理3.3 度量空间中的每一个单点集都是闭集.证 为一个度量空间，,对于任意,令，于是,并且,所以,于是=,因此，单点集为闭集.由的任意性，度量空间中的每一个单点集都是闭集.定理3.4 是一个度量空间，如果有一个基只含有有限个元素，则必为只含有有限多个点的离散空间.证 假设是无限集.由于是一个度量空间，由定理3.1可知，中的每一个单点集都是闭集，于是，对于任意，集合-都是开集.因此，拓扑空间中有无穷多个不同的开集.又由已知有一个基只含有有限个元素，它们中的任意多个元素之并只能组成有限个开集，所以中的开集只有有限个，这与上述矛盾！因此假设错误，只能是有限集.最后，由于含有有限多个点的度量空间都是离散的度量空间，故由定理1可知，是一个离散空间.定理3.5 度量空间中的任何一个收敛序列都只有惟一的极限.证 设是一个度量空间，是中的一个收敛序列.假若序列至少有两个极限和.由于,则.设=,于是对于的球形邻域,存在,使得当 时，有;对于的球形邻域,存在,使得当时，有.则一方面. （3.1）另一方面，令,于是当时，有，这与（3.1）式矛盾！所以假设错误.因此，度量空间只有一个极限.定理3.6 设是一个度量空间，,有一个序列在中并且收敛于当且当是集合的一个凝聚点.证 必要性 设序列在中并且敛于.如果是的一个邻域，则存在 使,因此,从而.所以是的一个凝聚点.充分性 如果是的一个凝聚点，则对于任意一个球形邻域有,于是对于任给的正实数有,其中.并且.所以对于每一个,任取,则序列 中并且收敛于.4 度量空间的紧致性和完备性4.1 度量空间的紧致性定义4.1.1 设是度量空间中的一个非空子集.集合的直径定义为=定义4.1.2 设是一个度量空间，A是的一个开覆盖.实数成为开覆盖A的一个数，如果对于中的任何一个子集，只要，则包含于开覆盖A的某一个元素之中.数不一定存在。例如考虑实数空间的开覆盖 则任何一个实数都不是它的数.定理4.1.1(数定理) 序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个数. 证 设是一个序列紧致的度量空间，A是的一个开覆盖.假若开覆盖A没有数，则对于任何，实数不是A的数，所以有一个子集使得并且不包含于A的任何元素之中.在每一个之中任意选取一个点，由于是一个序列紧致空间，所以序列有一个收敛的子序列设这个子序列收敛于.由于A是的一个开覆盖，故存在A使得，并且存在实数使得球形邻域.由于序列收敛于，所以存在整数使得当时.令k为任意一个整数，使得,则对于任何有 这证明 A与的选取矛盾. 定理4.1.2 每一个序列紧致列紧致的度量空间都是紧致空间.证 设是一个序列紧致的度量空间,A是的一个开覆盖.根据数定理，的开覆盖A有一个数，设为. 令B=，它是的开覆盖，我们先来证明B有一个有限覆盖假设B没有有限覆盖，任意选取一点，对于,假定点,，已经取定，由于不是的覆盖，选取使得，按照归纳原则，序列，已经取定，易见对于任意,，有，序列,，没有任何收敛的子序列，（因为任何的球形邻域中最多只能包含这个序列中的一个点.）这与是序列紧致空间相矛盾. 现在设是开覆盖B的一个有限子覆盖.由于其中每一个元素的直径都小于，所以对于每一个=1，2,n 存在A似的 .于是， 是A的一个子覆盖. 定理4.1.3 设是一个度量空间，则下列条件等价（1） 是一个紧致空间；（2） 是一个列紧空间；（3） 是一个序列紧致空间；（4） 是一个可数紧致空间.4.2 度量空间的完备性定理4.2.1 设是一个度量空间.则是紧致的当且仅当是一个完全有界的完备度量空间.证 设度量空间是紧致的.任意给定实数，由球形邻域构成的集族是的开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为.易见有限集合是的一个网.这证明是完全有界的. 为证明是完备的，设序列是中的一个序列.由于紧致的度量空间是序列紧致的，所以序列有一个收敛的子序列，设这个子序列收敛于这时序列也必收敛于.这证明中的每一个序列都收敛. 另一方面，设是一个完全有界的完备度量空间.为证明是紧致的.只需证明它是序列紧致的.由于是一个完备度量空间，这又只要证明中的每一个序列有一个子序列是序列.设是中的一个序列.我们按归纳方式对于每一个定义一个序列如下：首先，令.其次对于，假定已经定义.设是的一个网，因此球形邻域构成的集族 覆盖.由于可以再从某一个（其中）中选取的一个子序列. 根据定义立即可见，对与每一个序列是序列的一个子序列，并且对于任何有.于是序列的子序列串的“对角线”序列是序列的一个子序列，由于对于任意，有，所以是一个序列.定理4.2.2（Baire） 设是一个完备的度量空间.如果是中的可数个稠密的开集,则是中的一个稠密子集.证 设是中的可数个稠密的开集.为证明是中的一个稠密子集，只要证明对于中的任何一个非空开集有.设是中的一个非空开集.我们对于每一个，定义一个球形邻域如下：任意选取和于是有对于，假设已经定义.由于是一个稠密的开集，所以是X中的一个非空开集.任意选取和使得.根据以上做法，我们有：对于任何,(1);(2);(3) 根据定理4.2.1，由于(1)和(2)，可见由于(3)， 所以.5.关于数学专业本科泛函分析教学的探讨作为现代数学主体部分的泛函分析，是数学专业本科阶段的基础课程之一，本文通过对泛函分析课程内容及特点的具体分析，提出了教学改革的一些设想和建议。泛函分析是20世纪30年代从变分法、微分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的问题，可看作无限维的分析学；它在概率论、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要应用；它的观点和方法已经渗入到很多工程技术性的学科中。从大的方面看，推动它产生与发展的因素有两个。其一，“出现了用统一的观点来理解19世纪数学各个分支所积累的大量实际材料的必要性”，使得“泛函分析的基本概念从不同的方面和不同的联系中产生了”，其结果是“代数和分析在方法上的统一”。其二，“与量子力学相关的数学问题的研究为泛函分析的发展提供了巨大的动力，并逐步形成泛函分析的基本方向”。泛函分析是“现代数学的基本枢纽之一”。作为现代数学主体部分的泛函分析，与抽象代数和拓扑学并称为数学的“新三高”。鉴于它的重要性，几乎全国所有的本科数学专业都开设了这门课，但由于它的高度抽象难懂，使之在教学上存在许多问题，下面通过泛函分析内容、特点及现状的分析，提出教学改革上的一点想法和建议。泛函分析课程的内容和特点泛函分析是“研究无限维线性拓扑空间和这类空间上各种映射的性质”的一门分析数学，是现代分析数学的重要组成部分，就其实质内容而言，包括三部分：一是关于既具有代数结构又具有几何结构的各种空间的理论，包括距离空间、内积空间、赋范空间、Banach空间、Hilbert空间等；二是建立在这些空间上的特殊映射-各种算子及泛函的理论，如逆算子定理等；三是与其他学科相互联系的应用，如泛函分析在自动控制中的应用。泛函分析目前包括以下分支：一是软分析，其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述；二是巴拿赫空间的几何结构；三是非交换几何；四是与量子力学相关的理论。本科阶段，泛函分析主要讨论Banach空间、Hilbert空间及空间上的泛函与算子，可以概括为：四个空间和四类定理。四个空间指的是：距离空间，Banach空间，Hilbert空间，对偶空间。四类定理指的是：开映射定理和闭图像定理；一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质；哈恩-巴拿赫定理，它研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间；谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果是给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达。泛函分析的特点：“分析的课题，代数的方法，几何的观点，再加上广泛的应用，堪称20世纪一门最具综合性的课程。”由于“集合论观点的渗透和公理化方法的运用”使得泛函分析具有高度的抽象， 参考文献：1熊金城.点集拓