北京市中考数学二模试题分类 几何综合（教师版）.doc

2012年北京市中考数学二模分类汇编几何综合与中点有关的问题1.(昌平24) 如图，d是abc中ab边的中点，bce和acf都是等边三角形，m、n分别是ce、cf的中点.（1）求证：dmn是等边三角形；（2）连接ef，q是ef中点，cpef于点p. 求证：dpdq.同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将ncm绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.24. 证明：（1）取ac的中点g，连接ng、dg.dgbc，dgbc；ngc是等边三角形. ng = nc，dg = cm. 2分1 + 2 = 180，ngd + 2 = 240.2 + 3 = 240，ngd =3.ngdncm . 3分nd = nm ，gnd =cnm. dnm =gnc = 60.dmn是等边三角形.4分（2）连接qn、pm.qn =ce= pm. 5分rtcpe中，pm =em，4= 5. mnef，5= 6，7= 8.nqce，7= 4.6= 8.qnd= pmd. 6分qndpmd. dq= dp. 7分2.（丰台24）在abc中，d为bc边的中点，在三角形内部取一点p，使得abp=acp过点p作peac于点e，pfab于点f （1）如图1，当ab=ac时，判断的de与df的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当abac，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由 图1 图224解：（1）de=df1分 （2）de=df不发生改变2分理由如下：分别取bp、cp的中点m、n，联结em、dm、fn、dn d为bc的中点，3分 4分 同理四边形mdnp为平行四边形5分 6分 emddnf de=df7分3.(海淀25.)在矩形abcd中, 点f在ad延长线上，且df= dc, m为ab边上一点, n为md的中点, 点e在直线cf上（点e、c不重合）.（1）如图1, 若ab=bc, 点m、a重合, e为cf的中点，试探究bn与ne的位置关系及的值, 并证明你的结论; （2）如图2，且若ab=bc, 点m、a不重合, bn=ne，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由; （3）如图3，若点m、a不重合，bn=ne，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.acednmbfecbfnmecbfa(m)dnda 图1 图2 图325. 解：（1）bn与ne的位置关系是bnne；=. 证明：如图，过点e作egaf于g, 则egn=90 矩形abcd中, ab=bc， 矩形abcd为正方形. ab =ad =cd, a=adc =dcb =90 eg/cd, egn =a, cdf =901分 e为cf的中点，eg/cd, gf=dg = n为md(ad)的中点， an=nd= ge=an, ng=nd+dg=nd+an=ad=ab. 2分 ngeban 1=2. 2+3=90， 1+3=90 bne =90. bnne 3分 cdf =90, cd=df, 可得 f =fcd =45， .于是 4分（2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长bn交cd的延长线于点g，连结be、ge，过e作ehce，交cd于点h 四边形abcd是矩形， abcg mbn=dgn，bmn=gdn. n为md的中点， mn=dn bmngdn mb=dg，bn=gn. bn=ne， bn=ne=gn. beg=90 5分 ehce， ceh =90 beg=ceh bec=geh由（1）得dcf =45 che=hce =45 ec=eh, ehg =135ecb =dcb +hce =135， ecb =ehg ecbehg eb=eg，cb=hg bn=ng， bnne. 6分 bm =dg= hg-hd= bc-hd =cd-hd =ch=ce，=. 7分（3）bnne；不一定等于. 8分 密云25已知菱形abcd的边长为1，等边aef两边分别交dc、cb于点e、f （1）特殊发现：如图1，若点e、f分别是边dc、cb的中点，求证：菱形abcd对角线ac、bd的交点o即为等边aef的外心； （2）若点e、f始终分别在边dc、cb上移动，记等边aef的外心为p 猜想验证：如图2，猜想aef的外心p落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图3，当e、f分别是边dc、cb的中点时，过点p任作一直线，分别交da边于点m，bc边于点g，dc边的延长线于点n，请你直接写出的值25（本小题满分8分）证明：（1）如图1：分别连结oe、of四边形abcd是菱形，且在rtaod中，有又 e、f分别是边dc、cb的中点， 点o即为等边aef的外心 - 3分 （2）猜想：aef的外心p落在对角线db所在的直线上证明：如图2：分别连结pe、pa，作于q，于h 则， 在四边形qdhp中，又 点p是等边aef的外心， pqepha（aas）pq=ph点p在的角平分线上菱形abcd的对角线db平分， 点p落在对角线db所在直线上- 6分 - 8分旋转变换在几何证明应用延庆24. （1）如图1：在abc中，ab=ac，当abd=acd=60时，猜想ab与bd+cd数量关系，请直接写出结果 ； （2）如图2：在abc中，ab=ac，当abd=acd=45时，猜想ab与bd+cd数量关系并证明你的结论；（3）如图3：在abc中，ab=ac，当abd=acd=（2070）时，直接写出ab与bd+cd数量关系(用含的式子表示)。24. （1）ab=bd+cd1分（2）猜想： 2分 证明：如图，过a点作aeac交cd延长线于e点，作afab交bd延长线于f点，连接ef。3分容易证出：abcaef4分 abc=aef,bc=ef容易证出：dbcdef5分 cd=df 在等腰rtabf中，结论可以得出。(3)（或变形）7分通州23（1）已知：如图1，是的内接正三角形，点为弧bc上一动点，求证：（2）如图2，四边形是的内接正方形，点为弧bc上一动点，求证：（3）如图3，六边形是的内接正六边形，点为弧bc上一动点，请你写出pa，pb，pc三者之间的数量关系表达式（不需要证明）图3图2图123.在ap上截取pm=bp,连结bm .(1分)是的内接正三角形，,ab=bcmpm=bp,是正三角形 .(2分)am=pcap = pb+pc .( 3分)n(2)过点b做,交pa于点n.(4分)四边形是的内接正方形，ab=bc,pb=bn根据勾股定理得：.(5分).(6分)h(3)结论：.(7分)平谷24如图1，若四边形abcd、gfed都是正方形，显然图中有ag=ce，agce（1）当正方形gfed绕d旋转到如图2的位置时，ag=ce是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；abcdefg图2abcdefg图1图3（2）当正方形gfed绕d旋转到b，d，g在一条直线 （如图3）上时，连结ce，设ce分别交ag、ad于p、h 求证：agce； 如果ad=4，dg=，求ce的长 24证明：（1）成立 四边形、四边形是正方形， 1分. 90. .2分 .3分 （2）由（1）可知， 12 . 34，4290， 3190 .5分 过作于m . bd是正方形的对角线， . dgm45. dg=， .6分在rtamg中 ，由勾股定理，得 ce=ag=7分3.（东城24） 已知：等边中，点o是边ac,bc的垂直平分线的交点，m,n分别在直线ac, bc上，且(1) 如图1，当cm=cn时， m、n分别在边ac、bc上时，请写出am、cn 、mn三者之间的数量关系；（2） 如图2，当cmcn时，m、n分别在边ac、bc上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3) 如图3，当点m在边ac上，点n在bc 的延长线上时，请直接写出线段am、cn 、mn三者之间的数量关系24. 解： (1) 2分 （2）3分 证明：过点o 作易得 在边ac上截得dn=ne,连结on, dn=ne, od=oe, odn=oen 4分 on=oe. don=noe. mod+noe=600. mod+don=600. 易证.5分 mn=mn. (3) 7分纯添辅助线（特殊情况可用旋转变换）1（石景山）在中，,是底边上一点，是线段上一点,且(1) 如图1,若,猜想与的数量关系为 ；(2) 如图2,若，猜想与的数量关系，并证明你的结论；图1 图2（3）若，请直接写出与的数量关系.解：24.解：（1）(2) 证明：过点作交的延长线于点,图(1)在 上取点使得,图(2)由得(3) 结论：.2.（顺义24）已知：如图，d为线段ab上一点（不与点a、b重合），cdab，且cd=ab，aeab，bfab，且ae=bd，bf=ad（1）如图1，当点d恰是ab的中点时，请你猜想并证明ace与bcf的数量关系；（2）如图2，当点d不是ab的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明；（3）若acb=，直接写出ecf的度数（用含的式子表示） 图1 图224解：（1）猜想：ace=bcf证明：d是ab中点， ad=bd，又ae=bd，bf=ad，ae=bf cdab，ad=bd，ca=cb1 =2aeab，bfab，3 =4=901+3 =2+4即cae=cbfcae cbface=bcf 2分（2）ace=bcf仍然成立证明：连结be、afcdab，aeab，cdb=bae=90又bd = ae，cd = ab ，cdbbae 3分cb=be，bcd=eba在rtcdb中，cdb =90，bcd+cbd =90eba+cbd =90即cbe =90bce是等腰直角三角形bce=45 4分同理可证：acf是等腰直角三角形acf=45 5分acf=bce acf-ecf =bce-ecf即ace=bcf 6分 （3）ecf的度数为90- 7分平移变换1.（大兴23）在abc中，ab=ac，点p为abc所在平面内一点，过点p分别作peac交ab于点e，pfab交bc于点d，交ac于点f(1)如图1，若点p在bc边上，此时pd=0，易证pd，pe，pf与ab满足的数量关系是pd+pe+pf=ab；当点p在abc内时，先在图2中作出相应的图形，并写出pd，pe，pf与ab满足的数量关系，然后证明你的结论；(2)如图3，当点p在abc外时，先在图3中作出相应的图形，然后写出pd，pe，pf与ab满足的数量关系（不用说明理由）23解：（1）结论： 2分证明：过点p作mnbc 四边形是平行四边形 3分 四边形是平行四边形4分 又，mnbc 5分（2）结论： 7分相似1.（昌平25）如图，在rtabc中，abc=90，过点b作bdac于d，be平分dbc，交ac于e，过点a作afbe于g，交bc于f，交bd于h （1）若bac=45，求证：af平分bac；fc=2hd（2）若bac=30，请直接写出fc与hd的等量关系25解：（1） bdac，afbe， adh=hgb=90 bhg=ahd， hbg=had abc=fgb=90， baf+afb=90， gbf+afb=90 gbf=baf be平分dbc， gbf=hbg had=baf即 af平分bac 2分 在rtabc中，abc=90，bac=45， c=bac = 45， ab=bc bdac， ad=dc=ac过点d作kdfc交af于k， fc=2kd 4分 be平分dbc，beaf， dbe=ebf，hgb=fgb=90 bfh=bhf bhf=dhk bfh=dhk kdbc， dkh=bfh dkh=dhk kd=hd fc=2hd 6分（2）fc=hd 8分2.（房山24）探究问题：已知ad、be分别为abc 的边bc、ac上的中线，且ad、be交于点o.abc为等边三角形，如图1，则aood= ；当小明做完问后继续探究发现，若abc为一般三角形（如图2），中的结论仍成立，请你给予证明.运用上述探究的结果，解决下列问题：如图3，在abc中，点e是边ac的中点，ad平分bac, adbe于点f，若ad=be=4.求：abc的周长. 图1 图2 图324.解：2：1 -1分证明：联结ded、e为ac、bc中点deab，de=abdoeaob-3分解：过点c作cgbe，交ab延长线于点g，并延长ad交cg于点h。e是边ac的中点b是边ag的中点becgad平分bac, adbe于点f易证abe为等腰三角形becgagc是等腰三角形且ag=acafbeahcgh为cg中点由上述结果可知：ad:dh=2:1，cd:db=2:1-5分dh=2cg=2be=8ch=gh=4ah=6be为中位线af=fh=3becgdf=1在rtdhc中，得cd=-6分同理可得bd=bc=解rtahc可得ac=ab=-7分abc周长为-8分代数中方程、函数与几何1.（门头沟24） 有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点a顺时针旋转90后得到矩形amef（如图1），连结bd、mf，此时他测得bd8cm，adb30（1）在图1中，请你判断直线fm和bd是否垂直？并证明你的结论；（2）小红同学用剪刀将bcd与mef剪去，与小亮同学继续探究他们将abd绕点a顺时针旋转得ab1d1，ad1交fm于点k（如图2），设旋转角为（090），当afk为等腰三角形时，请直接写出旋转角的度数；（3）若将afm沿ab方向平移得到a2f2m2（如图3），f2m2与ad交于点p，a2m2与bd交于点n，当npab时，求平移的距离是多少.dmabf图3nf2pa2m2dmabfd1图2b1kcdmabfe图1 24. 解：（1）垂直. 1分证明：延长fm交bd于n.如图1，由题意得：badmafadbafm又dmnamf，adbdmnafmamf90dnm90，bdmf2分（2）的度数为60或15（答对一个得1分）4分（3）如图2，由题意知四边形pna2a为矩形，设a2ax，则pnx在rta2m2f2中，m2f2mfbd8，a2f2m2afmadb30dmabf图2nf2pa2m2m2a24，a2f2. .5分af2x在rtpaf2中，pf2a30apaf230(x)4xpdadap4x .6分 npab，解得x6即平移的距离是(6)cm.7分2.（西城区24）如图，在rtabc中，c=90，ac=6，bc=8动点p从点a开始沿折线accbba运动，点p在ac，cb，ba边上运动的面四民数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为每秒3，4，5 个单位直线l从与ac重合的位置开始，以每秒个单位的速度沿cb方向平行移动，即移动过程中保持lac，且分别与cb，ab边交于e，f两点，点p与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点p第一次回到点a时，点p和直线l同时停止运动 (1)当t = 5秒时，点p走过的路径长为 ；当t = 秒时，点p与点e重合； (2)当点p在ac边上运动时，将pef绕点e逆时针旋转，使得点p的对应点m落在ef上，点f的对应点记为点n，当enab时，求t的值； (3)当点p在折线accbba上运动时，作点p关于直线ef的对称点，记为点q在点p与直线l运动的过程中，若形成的四边形peqf为菱形，请直接写出t的值24解:(1) 当t =5秒时，点p走过的路径长为 19 ；当t = 3 秒时，点p与点e重合2分 (2) 如图9，由点p的对应点m落在ef上，点f的对应点为点n，可知pef=men，都等于pe