北京市高三数学 最新模拟试题分类汇编7 立体几何 理.doc

北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编7：立体几何一、选择题 （2013届北京海滨一模理科）设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：，使得是直角三角形；，使得是等边三角形；三条直线上存在四点，使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是（）abcd【答案】b （2013北京海淀二模数学理科试题及答案）某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为（）abcd【答案】b （2013届北京市延庆县一模数学理）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（7题图） （）abcd【答案】d （2013届北京西城区一模理科）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为的正方形，该正三棱柱的表面积是（）abcd【答案】c （2013北京昌平二模数学理科试题及答案）已知四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 （）abcd【答案】c （2013北京朝阳二模数学理科试题）某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为（）abcd1正视图1侧视图俯视图1【答案】（）a （2013届门头沟区一模理科）主视图1左视图1俯视图1一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）abcd【答案】c （2013届房山区一模理科数学）某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）abcd【答案】c （2013届北京大兴区一模理科）已知平面，直线，下列命题中不正确的是（）a若，则 b若，则c若，则d若，则【答案】c（2013届北京西城区一模理科）如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是（）a线段b圆弧c椭圆的一部分d抛物线的一部分【答案】a（2013北京东城高三二模数学理科）已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为（）a1b2c3d4【答案】d（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为正视图侧视图俯视图（）abcd8【答案】d 二、填空题（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92m2,则_m.正(主)视图侧(左)主视图俯视图245h【答案】 4 （北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱长度是_.【答案】 （2013届北京丰台区一模理科）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_.【答案】； 三、解答题（2013届门头沟区一模理科）在等腰梯形abcd中，n是bc的中点将梯形abcd绕ab旋转，得到梯形（如图）（）求证：平面； （）求证：平面；（）求二面角的余弦值acdbn【答案】（）证明：因为，n是bc的中点所以，又所以四边形是平行四边形，所以又因为等腰梯形，xzyacdbn所以 ，所以四边形是菱形，所以所以，即由已知可知 平面平面，因为 平面平面所以平面 4分（）证明：因为， 所以平面平面又因为平面，所以 平面 8分（）因为平面同理平面，建立如图如示坐标系设， 则, ， 9分则，设平面的法向量为，有 ，得 11分因为平面，所以平面平面又，平面平面所以平面与交于点o，o则为an的中点，o所以平面的法向量 12分所以 13分由图形可知二面角为钝角所以二面角的余弦值为14分（2013北京朝阳二模数学理科试题）如图,四边形是正方形,平面, 分别为,的中点.()求证:平面;()求平面与平面所成锐二面角的大小;()在线段上是否存在一点,使直线与直线所成的角为?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.adbcpefgh【答案】()证明:因为,分别为,的中点,所以. 又平面,平面, 所以平面 ()因为平面, 所以平面, 所以,. 又因为四边形是正方形, 所以. 如图,建立空间直角坐标系, 因为, adbcpefghzyx 所以, ,. 因为, 分别为,的中点, 所以,. 所以,. 设为平面的一个法向量,则,即, 再令,得.,. 设为平面的一个法向量,则, 即,令,得.所以=. 所以平面与平面所成锐二面角的大小为 ()假设在线段上存在一点,使直线与直线所成角为. 依题意可设,其中.由,则. 又因为,所以. 因为直线与直线所成角为, 所以=,即,解得. 所以,. 所以在线段上存在一点,使直线与直线所成角为,此时 （2013北京昌平二模数学理科试题及答案）如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,、分别为、的中点.() 求证: /平面;() 求证:面平面; () 在线段上是否存在点使得二面角的余弦值为?说明理由.【答案】()证明:连结,为正方形,为中点, 为中点.在中,/ 且平面,平面 ()证明:因为平面平面, 平面面 为正方形,平面 所以平面. 又,所以是等腰直角三角形, 且 即 ,且、面 面 又面, 面面 () 如图,取的中点, 连结,. , . 侧面底面, , , 而分别为的中点,又是正方形,故. ,. 以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系, 则有,. 若在上存在点使得二面角的余弦值为 ,连结 设. 由()知平面的法向量为. 设平面的法向量为., 由可得,令,则, 故,解得,. 所以,在线段上存在点,使得二面角的余弦值为 （2013届东城区一模理科）如图，已知是直角梯形，且，平面平面， 是的中点（）求证：平面；（）求平面与平面所成锐二面角大小的余弦值【答案】证明（）取的中点，连结， 因为是的中点，所以， 因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形 所以因为平面，平面，所以平面 （）因为，平面平面，所以以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则轴在平面内由已知可得，所以， 设平面的法向量为由所以取，所以 又因为平面的一个法向量为 所以 即平面与平面所成锐二面角大小的余弦值为（2013届北京市延庆县一模数学理） 如图，四棱锥的底面为菱形，侧面是边长为2的正三角形，侧面底面.()设的中点为，求证：平面；（）求斜线与平面所成角的正弦值；（）在侧棱上存在一点，使得二面角的大小为，求的值.【答案】()证明：因为侧面是正三角形，的中点为，所以，因为侧面底面，侧面底面，侧面，所以平面. 3分（）连结，设，建立空间直角坐标系， 则，5分,平面的法向量，设斜线与平面所成角的为，则. 8分（）设，则， 10分设平面的法向量为，则，取，得，又平面的法向量12分所以，所以，解得（舍去）或.所以，此时. 14分（2013届北京丰台区一模理科）如图，四边形abcd是边长为2的正方形，md平面abcd，nbmd，且nb=1，md=2；（）求证：am平面bcn;（）求an与平面mnc所成角的正弦值；（）e为直线mn上一点，且平面ade平面mnc，求的值.【答案】解：（）abcd是正方形,bcad.bc平面amd,ad平面amd,bc平面amd.nbmd,nb平面amd,md平面amd,nb平面amd.nbbc=b,nb平面bcn, bc平面bcn,平面amd平面bcn3分am平面amd,am平面bcn4分(也可建立直角坐标系，证明am垂直平面bcn的法向量，酌情给分)（）平面abcd，abcd是正方形，所以，可选点d为原点，da,dc,dm所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（如图）5分则，,., 6分，,设平面mnc的法向量,则，令，则 7分设an与平面mnc所成角为,. 9分（）设，又，e点的坐标为， 11分面mdc,，欲使平面ade平面mnc，只要， . 14分（2013北京东城高三二模数学理科）如图,是等边三角形, ,将沿折叠到的位置,使得.()求证:; ()若,分别是,的中点,求二面角的余弦值. 【答案】(共14分) ()证明:因为 所以, 又因为,且, 所以 平面, 因为平面, 所以 . ()因为是等边三角形, , 不防设,则 , 又因为,分别为,的中点, 由此以为原点,所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系. 则有,. 所以,. 设平面的法向量为. 则即令,则.所以. 又平面的一个法向量为. 所以 . 所以二面角的余弦值为 （2013北京丰台二模数学理科试题及答案）如图(1),等腰直角三角形abc的底边ab=4,点d在线段ac上,于e,现将ade沿de折起到pde的位置(如图(2). ()求证:pbde;()若pebe,直线pd与平面pbc所成的角为30,求pe长. 图(1) 图(2)【答案】xyz 解: (),depe, , de平面peb, , bp de; ()pebe, pede,所以,可由de,be,pe所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图), 设pe=,则b(0,4- ,0),d(,0,0),c(2,2-,0),p(0,0, ), , 设面pbc的法向量, 令, , , bc与平面pcd所成角为30, , 解得:=,或=4(舍),所以,pe的长为 （2013届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，/，（）求证：平面；（）求与平面所成角的正弦值；（）线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论【答案】（）证明：因为，在中，由余弦定理可得 ，所以 2分又因为 ， 所以平面 4分（）解：因为平面，所以因为，所以平面 5分所以两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系 6分在等腰梯形中，可得 设，所以所以 ，设平面的法向量为，则有所以 取，得 8分设与平面所成的角为，则 ，所以 与平面所成角的正弦值为 9分（）解：线段上不存在点，使平面平面证明如下： 10分假设线段上存在点，设 ，所以 设平面的法向量为，则有 所以 取 ，得 12分要使平面平面，只需， 13分即 ， 此方程无解所以线段上不存在点，使平面平面 14分（2013届北京海滨一模理科）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，点在线段上，且（）求证：；（）求证：平面;（）求二面角的余弦值【答案】证明：(i) 因为是正三角形，是中点，所以,即1分又因为，平面，2分又，所以平面3分又平面，所以4分（）在正三角形中，5分在中，因为为中点，所以，所以，所以6分在等腰直角三角形中，所以，所以8分又平面，平面，所以平面9分（）因为，所以，分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，所以由（）可知，为平面的法向量10分，设平面的一个法向量为,则，即，令则平面的一个法向量为12分设二面角的大小为， 则所以二面角余弦值为14分（2013届房山区一模理科数学）在四棱锥中，侧面底面， 为直角梯形，/，为的中点（）求证：pa/平面bef；（）若pc与ab所成角为，求的长；（）在（）的条件下，求二面角f-be-a的余弦值【答案】（）证明：连接ac交be于o，并连接ec，fo / , 为中点 ae/bc，且ae=bc 四边形abce为平行四边形 o为ac中点 .1分又 f为ad中点 / .2分 .3分 /平面 .4分（）解法一：.6分易知 bcde为正方形 建立如图空间直角坐标系，（）则 ，.8分解得： .9分解法二：由bcde为正方形可得 由abce为平行四边形 可得 /为 即.5分 .7分 .8分 .9分（）为的中点，所以 ，,设是平面bef的法向量则 取，则，得 .11分是平面abe的法向量 .12分 .13分由图可知二面角的平面角是钝角， 所以二面角的余弦值为.14分（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）如图,在四棱锥中,平面平面,且, .四边形满足,.点分别为侧棱上的点,且.()求证:平面;()当时,求异面直线与所成角的余弦值; ()是否存在实数,使得平面平面?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由.pdabcfe【答案】证明:()由已知, 所以 . 因为,所以. 而平面,平面, 所以平面 ()因为平面平面, 平面平面,且, 所以平面. 所以,. 又因为, 所以两两垂直 如图所示,建立空间直角坐标系,pdabcfexyxzx 因为, 所以 . 当时,为中点, 所以, 所以. 设异面直线与所成的角为, 所以, 所以异面直线与所成角的余弦值为 ()设,则. 由已知,所以, 所以 所以. 设平面的一个法向量为,因为, 所以 即 令,得. 设平面的一个法向量为,因为, 所以 即 令,则. 若平面平面,则,所以,解得. 所以当时,平面平面 （2013北京顺义二模数学理科试题及答案）如图,在长方体中,为的中点,为的中点.(i)求证:平面;(ii)求证:平面;(iii)若二面角的大小为,求的长.【答案】(i)证明:在长方体中, 因为平面,所以. 因为,所以四边形为正方形, 因此,又,所以平面. 又,且,所以四边形为平行四边形. 又在上,所以平面 (ii)取的中点为,连接. 因为为的中点,所以且, 因为为的中点,所以,而,且, 所以,且,因此四边形为平行四边形, 所以,而平面,所以平面 (iii)如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,设, xyz 则, 故. 由(i)可知平面, 所以是平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为, 则, 所以 令,则, 所以. 设与所成的角为,则. 因为二面角的大小为,所以,即, 解得,即的长为1 （2013北京房山二模数学理科试题及答案）如图, 是正方形, 平面,.() 求证:;() 求二面角的余弦值;()设点是线段上一个动点,试确定点的位置,使得平面,证明你的结论.【答案】()证明: 因为平面, 所以 因为是正方形, 所以, 所以平面, 从而 ()解:因为两两垂直, 所以建立空间直角坐标系如图所示 设,可知 则 , 所以, 设平面的法向量为,则,即, 令,则 因为平面,所以为平面的法向量, , 所以 因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为 ()解:点是线段上一个动点,设. 则,因为平面,所以, 即,解得 此时,点坐标为,符合题意 （2013北京海淀二模数学理科试题及答案）如图1,在直角梯形中,. 把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上,连接,点分别为线段的中点. (i) 求证:平面平面;(ii)求直线与平面所成角的正弦值;(iii)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等?请说明理由.若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是12图2是一个有.层的六边形点阵它的中心是一个点，算作 第一层第2层每边有2个点第3层每边有3个点，第层 每边有个点，则这个点阵的点数共有个13已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3， 则该展开式中的系数为(二) 选做题 (1415题考生只能从中选做一题)14(坐标系与参数方程选做题) 已知直线的参数方程为 (参数)， 圆的参数方程为 (参数)，则直线被圆所截得的弦长为15(几何证明选讲选做题) 如图3，半径为5的圆的两条弦和相交于点，为的中点， ，则弦的长度为三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16(本小题满分12分) 已知， (1) 求值；(2) 求的值17(本小题满分12分) 如图4，在直角梯形中，把沿对角线折起后如图5所示 (点记为点)点在平面上的正投影落在线段上，连接 (1) 求直线与平面所成的角的大小；(2) 求二面角的大小的余弦值【答案】解:(i)因为点在平面上的正投影恰好落在线段上 所以平面,所以 因为在直角梯形中, , 所以,所以是等边三角形, 所以是中点, 所以 同理可证 又 所以平面 (ii)在平面内过作的垂线 如图建立空间直角坐标系, 则, 因为, 设平面的法向量为 因为, 所以有,即, 令则 所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 (iii)存在,事实上记点为即可 因为在直角三角形中, 在直角三角形中,点 所以点到四个点的距离相等 （2013北京西城高三二模数学理科）如图1,四棱锥中,底面,面是直角梯形,为侧棱上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示. ()证明:平面; ()证明:平面; ()线段上是否存在点,使与所成角的余弦值为?若存在,找到所有符合要求的点,并求的长;若不存在,说明理由. 【答案】【方法一】 ()证明:由俯视图可得, 所以 又因为 平面, 所以 , 所以 平面 ()证明:取上一点,使,连结, 由左视图知 ,所以 , 在中,易得,所以 .又 , 所以, . 又因为 ,所以 ,. 所以四边形为平行四边形,所以 因为 平面,平面, 所以 直线平面 ()解:线段上存在点,使与所成角的余弦值为.证明如下