机械毕业设计50均布载荷作用下夹层圆板的非线性振动-硕士论文

工学硕士学位论文 均布载荷作用下夹层圆板的非线性振动 燕 山 大 学 2003 年 3 月 国内图书分类号： O322 国际图书分类号： 534 工学硕士学位论文 均布载荷作用下夹层圆板的非线性振动 硕士研究 生 : 导 师 : 申请学位级别 : 工学硕士 学科、专 业 : 工程力学 所 在 单 位 : 建筑工程与力学学院 授予学位单位 : 燕山大学 Classified Index: O322 U.D.C : 534 Dissertation for the Master Degree in Engineering NONLINEAR VIBRATION OF CIRCULAR SANDWITH PLATE UNDER THE UNIFORMED LOAD Candidate: Supervisor: Academic Degree Applied for: Master of Engineering Speciality: Engineering Mechanics University: Yanshan University 摘 要 本文主要研究均布荷载作用下夹层圆板的非线性振动问题。首先， 对夹层圆板在均布载荷作用下的非线性弯曲和大幅度振动问题进行了较详细的介绍。 其次，研究了静载荷作用下夹层圆板的非线性振动问题，应用哈密顿原理导出了均布载荷作用下夹层圆板大幅度振动的基本方程和上述四种边界条件的表达式，并得到了这四种边界条件下的夹层圆板振动的幅频载荷特征关系。文中，基于时间模态假设和变分法，将挠度和应力函数设为时间和空间函数的分离形式，时间函数取谐函数，空间函数未知。所假设的振动模态包含两个未知的内禀量，即振频和一个由于静变形 而使板具有不对称刚度特性的非线性振子的“漂移”的小量，这两个量均与载荷、边界条件和振幅有关。将假定的模态函数代入本问题的变分方程，导出空间模态的控制方程和求解 “ 漂移 ” 的代数方程。采用修正迭代法求出了该问题在四种不同边界条件下的近似解析解。 并讨论了静载荷及剪切参数对夹层圆板振动特性的影响。最后 ，研究了均布载荷 作用下受周边面内压力的 夹层圆板的非线性振动 问题，给出了均布载荷与周边面内压力联合作用下夹层圆板静力问题的精确解，在此基础上，导出了均布载荷与周边面内压力联合作用下夹层圆板非线性振动的基本方程，同时采用修正 迭代法对该问题进行了求解，并对计算结果进行了讨论。 关键词 夹层圆板；非线性；幅频载荷特征关系；均布载荷 Abstract The nonlinear vibration of the circular sandwich plate under uniformed load has been made research on in this paper. First of all, the nonlinear bend and the large amplitude free vibration for circular sandwich plates under uniformed load is specified. Then, the nonlinear vibration of the circular sandwich plate under static load is made research on. The basic equations under four kinds of boundary conditions are got by means of Hamilton principle, and the relation for amplitude frequency-load under these boundary conditions is also provided. During this course, based on the hypothesis of the time mode and the method of calculus of variations, assuming the reflection and the stress functions as the separate forms of the time and space, and the time function is harmonic function, and the space function is unknown. The vibration mode assumed includes two unknown natural values, that is, the amplitude frequency and one small value of drift of nonlinear vibrator that made the plate asymmetrical rigidity property caused by the static reflection. Both of them are related with load, boundary conditions and amplitude. Substituting the assumed mode functions to the calculus equations, then the control equation of the space mode and the algebra equation is derived. The approximate analytical solution of this problem under these boundary conditions is provided in this paper by the modified iteration method, based on which, the nonlinear vibration of the circular sandwich plates under uniformed load and inplane uniform pressure at the outer edges is made research on. Finally, the effect of the static load to the nonlinear amplitude frequency and drift is discussed. Keywords: sandwich plate; nonlinear; amplitude frequency-load characteristic relation; uniformed load 目 录 摘要 Abstract 第 1 章 绪论 1 1.1 课题研究背景 1 1.2 修正幂级数法和修正迭代法 2 1.3 文献综述 3 1.4 本课题研究的内容 7 第 2 章 均布载荷作用下夹层圆板的静平衡问题 9 2.1 基本方程 9 2.2 边界条件 10 2.3 夹层圆板的 精确静态解 12 2.4 本章小结 14 第 3 章 夹层圆板的非线性振动 15 3.1 基本方程 15 3.2 边界条件 19 3.3 边值问题的解析解 21 3.3.1 一阶迭代中的基本方程和边界条件 21 3.3.2 一阶迭代的求解 22 3.3.3 一阶迭代中的 1S 的求解 25 3.3.4 二阶迭代中的基本方程和边界条件 26 3.3.5 二阶迭代解的求解 27 3.4 本章小结 30 第 4 章 均布载荷作用下夹层圆板的非线性振动 31 4.1 基本方程 31 4.1.1 空间模态的控制方程 32 4.1.2 求解漂移的代数方程 36 4.1.3 应变协调方程 38 4.2 边界条件 39 4.3 边值问题的解析解 43 4.3.1 一阶 迭代中的基本方程和边界条件 43 4.3.2 一阶迭代解的求解 44 4.3.3 一阶迭代中 11 TS， 的求解 46 4.3.4 “漂移”的代数方程中系数的求解 49 4.3.5 二阶迭代中的基本方程和边界条件 52 4.3.6 二阶迭代解的求解 53 4.4 数值结果及讨论 58 4.5 本章小结 65 第 5 章 均布载荷与周边面内压力联合作用下 夹层圆板的非线性振动 67 5.1 均布载荷作用下夹层圆板的静平衡问题 67 5.1.1 基本方程和边界条件 67 5.1.2 静平衡问题的精确静态解 68 5.2 静平衡基础上 夹层圆板的自由振动 70 5.3 数值结果及讨论 71 5.4 本章小结 73 结论 74 参考文献 75 攻读硕士学位期间所发表的论文 80 致谢 81 作者简历 82 第 1 章 绪论 1.1 课题研究背景 由于近代科学技术的飞跃发展，板壳已经成为当前固体力学研究的一个最活跃的领域，倍受人们关注。板壳分析是现代固体力学的一个重要分支，这门科学几乎与一切工 程设计都有关联，对航天、航空、航海、机械、石化、建筑、水利、动力、仪表、交通等工业设计尤其具有指导意义。现今，经典的薄板壳线性理论已较成熟，并在各种工程设计中起着指导作用。然而，在薄板壳非线性领域和厚板壳研究领域，还有许多问题未被解决。 板壳是平板和壳体的总称，是最常见的物体形式。其外形特点是厚度比其余两个方向尺寸在数量级上小得多。平分物体厚度的分界面称为中面。若中面是平面，则称此物体为平板；若中面是曲面，则称此物体为壳体。板壳有许多种形式，如波纹板壳、单层板壳、夹层板壳、复合材料层合板壳等等。由于厚度小、 质量轻、耗材少、性能好，使板壳成为具有优良特性的结构元件，不仅广泛应用于各种工程结构作为最基本和最主要的构件，而且在自然界和日常生活中也常常碰见，它们与每个人的生活休戚相关，与人类的生存紧密相连。 板壳结构分析包括板壳静力学和板壳动力学两大部分：板壳静力学是研究板壳在静荷载作用下所产生的应力和变形，亦即通常所说的刚度、强度和稳定问题，通过分析计算，使板壳设计即美观大方，又安全经济；板壳动力学是研究板壳在动载荷作用下结构的反应，其中一个重要问题是板壳的振动问题。 按照厚度的大小，可将板壳分为薄板壳和厚板壳两大 类，而大多数板壳属于薄板壳范畴。按照隶属的理论范畴，当板壳弯曲变形时，若其挠度相对于厚度是小量，所建立的微分方程属线性性质，则纳入板壳线性理论范畴；反之，若挠度不是小量，所建立的微分方程属非线性的，则纳入板壳非线性理论范畴。 板结构分析随着工业的发展起源于 18 世纪， Euler 最先探索板的弯曲问题 1 。但是，直到 1850 年， Kirchoff 2 才给出第一个完善的板的弯曲理论。接着， Aron 3 做了薄壳的分析工作。此后，特别是在 20 世纪，由于工业的飞跃发展，极大地推动了板壳结构分析的发展与应用。上世纪六十年代以来，由于航空、航天等工程中结构元件设计的需要，高强、轻质的复合材料得到广泛的应用，复合材料板壳的非线性问题的分析由此成为研究者们关心的一个热点。 近 30 年来复合材料在航空、航天、船舶、能源、交通、建筑、机械、生物医学和体育等部门已有广泛的应用。可以预言， 21 世纪将进入复合材料的时代。随着复合材料的开发和应用，复合材料层合板壳的力学分析提到了日程，但目前的这些研究大多属于线性理论，少数 非线性分析也仅限于圆柱壳等，这样将需要更精确的力学理论和方法，用来正确反映该类材料的力学性能。 到目前为止，板的非线性问题的研究主要基于小应变条件。对大应变材料的分析，由于数学非线性的困难而仅有少数人进行研究过。这一领域的问题相信会受到国内外研究者们的重视。另一方面，人们对一般 (各向同性 )板的非线性问题的分析也在不断深入。尤其是具有非对称边界条件的单层、双层和多层板的复杂载荷作用下的非线性问题将是今后的一个热门课题。在 21 世纪，世界正面临一场新的技术革命。现代国防和现代科技的更大发展，将对板壳结构分析提出更 多更高的要求 73 。显然，目前的理论与方法不能满足这些要求。因此，紧密结合工程需要，推动我国板壳结构分析与应用事业继续向前发展是一项重要任务。 从本质上讲，板壳理论作为精确解理论而言，应该是非线性的。板壳力学的奠基者是 20 世纪杰出的科学家 VonKarman。他 4 于 1910 年最先提出了著名的薄板大挠度理论的微分方程。由于工程上未提出应用精确理论的迫切要求，加之数学问题求解的巨大困难，所以此后的发展是缓慢的。直到 20 世纪 60 年代 ，随着工业的发展工程上大量提出了非线性现象与问题，它比线性情形更复杂，描述的现象更丰富，更具有挑战性，板壳非线性理论的研究蓬勃兴起，直到今天，它仍然是固体力学研究的一个最活跃的领域而备受人们关注，并推动非线性科学的发展。目前研究的中心课题是板壳的几何非线性弯曲、稳定和振动问题。 1.2 修正幂级数法和修正迭代法 由于几何非线性关系的引入，导致板壳弯曲问题理论的微分方程是非线性的，这在数学研究上存在极大的困难，因而在VonKarman 提出板的大挠度方程后，研究进展十分缓慢，寻求其解法便成为解决问题的关键。人 们将解法分为两类：解析法和数值法。数值法常见的有：有限元法、边界元法和有限差分法等；解析法有精确解法和近似解法，常见的精确解法为幂级数法和三角级数法等，常见的近似解法有摄动法、奇异摄动法、逐次逼近法、 Ritz 法等。 寻求精确解一直是人们的希望，因为它不仅使问题得到圆满解决，为工程设计提供最可靠的依据，而且为近似解提供一个检验标准。 1934 年， Way 最先使用幂级数方法求解了板壳非线性力学的经典问题：圆板大挠度问题，给出了精确解的计算结果 5 。1989 年，刘人怀 6 发展了 Way 的方法，提出修正幂级数法，求解了计及表层抗弯刚度的夹层圆板的大挠度方程。在近似求解方面，代表性的工作为 Vincent 7 和钱伟长 8 在求解圆板大挠度问题中分别提出的以荷载和中心挠度为摄动参数的摄动法。然而若使用此法去处理壳体非线性问题中的经典问题，即扁球壳的非线性稳定问题，则异常困难。 1965 年，刘人怀和叶开沅等 119 创立了修正迭代法， 克服了求解困难。这一方法结合了钱伟长摄动法和逐次逼近法的优点，不仅程序简单、计算量小，而且收敛快、所获解析解的精度高，而且经过证明，这一方法是收敛的。 1.3 论文综述 板壳方面的文献可以说是浩如烟海。据统计，近年来仅壳体的文章就以每年数百篇甚至上千篇的速度递增，内容涉及静态和动态的各个方面。要对其作全面的评述是很困难的。刘人怀 13,12 对这方面做了一定的概述，本节主要对板壳的研究进展作一个简要的介绍。 对圆板、椭圆板和环板的分析，近年来也受到重视。 1980 年， Y.Nath 14 考虑了正交各向异性圆板承受步函数、正弦函数和 N 型脉冲三种形式的载荷作用而引起的动力响应。取 Chebyshev 技术展开的前五项，就得到了问题的较精确结果，这是运用幂级数和三角级数展开所不及的。同年， G.V.Rao 和 K.K.Raju 15 用有限元法分析了具有转动约束的正交各向异性圆板的非线性振动。次年，M.Sthyamoorthy 16 利用 Berger假设分析了横向剪切和转动惯量对振动的影响，计算较用 Karman 理论更简单且结果更好。 王晋莹 17等研究了具有初挠度柔韧圆板的非线性振动问题，基于空间模态假设，利用 Galerkin 法导出了时间模态的控制方程，最后利用Lindstedt-Poincare 摄动法求出了非线性振动的周期解，但文中忽略了静荷载作用下的薄膜力。周又和 18 讨论了中心集中力作用下圆薄板的微幅自由振动问题，基于空间、时间模态假设，利用Galekin 法获得了最低固有频率与载荷的特征关系。 叶开沅 、郑晓静等 20,19 在研究集中载荷作用下圆板的大挠度问题时，通过先将无量纲的 Karman 方程用格林函数法化为积分方程，引入解空间，选取迭代格式后，最后分析得到该问题的精确解，并给出了解的收敛性证明。对集中和均布载荷联合作用的圆板，郑晓静和周又和 21 找到了大挠度问题的精确解。叶开沅等人 23,22 还用修正迭代法和摄动法分别考虑了变厚度圆板和矩形板的大挠度问题。文献25,24 也讨论了类似的问题。对设定参数的选取和摄动法、修正迭代法收敛性的分析参见 2926 。此外，杜国君 30 讨论了均布载荷作用下圆薄板在非线性弯曲静平衡构形附近的微幅自由振动，利用修正迭代法进行了求解。 杜国君和胡宇达 31 利用修正迭代法求出了具有多个阶梯厚度圆形和环形薄板轴对称大幅度自由振动的一种解析解，导出了振幅和非线性振动基频的解析关系式。王京 32考虑到板的非线性大挠度效应，研究了一个周边固支圆板的自由振动问题，计及静载变形对板动力特征的影响，得到了板的关于时间的非线性动力方程。武兰河等 33 针对周边固定层合复合材料椭圆板的自由振动问题 ,用伽辽金法求出板弯曲时的格林函数 ,并用之推出自由振动的频率方程，并采用了一阶剪切变形理论，研究了方法的收敛性和精度，数值结果表明，所用方法思路清晰，程序简单，具有很好的收敛性和计算精度。树学锋和张晓晴 34 对温度场中周边简支圆板的轴对 称非线性热弹耦合自由振动问题，运用伽辽金法求解，得到了一个关于时间的非线性常微分方程组，求出了振幅随时间变化的数值解。盛宏玉 35 从三维弹性力学基本方程出发，建立了弹性地基上周边自由的横观各向同性层合圆板轴对称弯曲问题的状态方程，并将板面的法向载荷展成傅里叶贝塞尔级数，从而给出问题的解析解，而且此解满足弹性力学全部方程，计及了所有独立的弹性常数，并满足层间连续性条件。杨平和许高翔 36 采用样条有限点方法分析加筋壳体的动态稳定性 问题，基于能量原理，对离散的 Mathieu-Hill 方程作了推导 ,从而得到加筋壳体在周期性外载荷作用下的参数共振控制方程，并且通过选用适当方法获得了临界频率方程并予以求解，从而确定了结构的动态不稳定性区域。王卫东等 37 推导出一种研究含振子及弹性支承圆板振动特性的新方法，根据积分方程和富里叶贝塞尔级数理论，首先用第一类贝塞尔函数构造圆板的格林函数，然后由叠加原理将圆板的自由振动问题转化为积分方程的特征值问题，进而将积分方程形式的特征值问题转化为无穷阶矩阵的标准特征值 问题，计算时根据精度的要求，截取无穷阶矩阵的标准特征值为有限阶矩阵的标准特征值问题，采用 Q-R 算法 ,此方法具有运算简捷、精度高、适用性强的特点 ,而且能从整体上对系统的动态特性加以研究，为这类系统的优化设计提供有力的工具。席丰等 38 以有限变形连续体的最小加速度原理为基础，得到了在任意横向动力载荷作用下各类典型工程边界条件下的梁以及在任意轴对称横向动力载荷作用下各类典型工程边界条件下的圆板的有限变形运动方程。 夹层板壳是由三层材料组合而成，上、下两块表面层很薄，中间是一 块软而轻的厚夹心。这是一种新型的结构元件，具有较高的强度、较轻的质量和较大的刚度等许多突出的优点，在航空、宇航、船舶工业和包装等工程中起了重要的作用。 夹层板的研究主要是对夹层矩形板和夹层圆板的研究。对于夹层矩形板的研究，已经取得了一定的成果，自从 1940 年开始，已经发表了一些关于夹层矩形板的论文。早在 50 年前， Reissner 39 首先建立了具有软夹心和极薄表层的夹层矩形板的大挠度理论。此时，视表层如薄膜一样，而且忽略了表层的抗弯刚度。然而由于非线性数学的困难，直到 1967 年，才有Kan和 Huang 40 用摄动法讨论了在均布荷载作用下的夹层矩形板的大挠度问题。除此之外， Hoff 41 、 Libore 和 Batdorf 42 提出的著名理论以及Bhimataddi 和 Chan drasheknara 43 等人所获得的解，都是对夹层矩形板进行研究所取得的成果。刘人怀 45,44 等人在这方面 也进行了一定的研究， 文献 44中，应用了 Hamilton 原理建立了具有软夹心和薄表层的夹层矩形板的非线性理论，之后对简支和铰支两种边界条件下的夹层矩形板的非线性自由振动问题进行了研究，且获得了非线性周期与振幅的关系式。文献 45中，应用变分法导出了具有软夹心的夹层矩形板的非线性弯曲理论的基本方程和边界条件，并且使用摄动法研究了均布横向载荷作用下的简支夹层矩形板的非线性弯曲问题，得到了相当精确的解。 研究夹层矩形板的同时，对于夹层圆板的研究同样引起了一些人的兴趣 4946 ，但大多数均局限于线性分析，仅有很少几篇涉及到夹层圆板的大挠度问题。中国科学院力学研究所板壳组 50 对夹层圆板的非线性弯曲问题用摄动法进行了分析。刘人怀、 Alwan 51 和 Kamiya 52 等人也先后讨论了夹层圆板的非线性弯曲和振动问题。在 1980 年和 1981 年，刘人怀 54,53 进一步在这方面做了一些工作，首次建立了均布荷载和边缘力矩作用下的夹层圆板 的非线性弯曲的基本方程，并且用叶开沅和刘人怀 5755 在 1965 年提出的修正迭代法进行了求解。文献 53中，刘人怀建立了计及表板抗弯刚度的具有软夹心的夹层圆板的更精确的非线性弯曲理论，并且给出了忽略表层抗弯刚度的简化理论。接着，刘人怀和施云方 58 应用幂级数方法得到了承受均布荷载的夹层圆板的精确解，验证了文献 48中用修正迭代法所得的解析解的精度，并得知解析解的精确性是十分令人满意的。刘人怀59 还用摄动法讨论了更困难的承受同心圆载荷的夹层圆板。然而这些工作均将夹层板的表板视为薄膜，即忽略了表板的抗弯刚度。对于不同类型的大挠度的夹层板而言，这一近似的适用性便成为一个疑问。为此，在文献54中，刘人怀导出了计及表板抗弯刚度的夹层圆板非线性弯曲的一般方程。由于数学的复杂性，此时尚未得到这些方程的解。于是，刘人怀和朱高秋 60 提出了幂级数法，得到了均布荷载作用下的具有滑动固定边界条件的夹层圆板的解。并且与文献 58中的结果进行了比较，最后可知此解在工程应 用中可用作更精确的基础。 杜国君 61 对夹层圆板的轴对称大幅度自由振动加以探讨，利用哈密顿原理导出了夹层圆板轴对称大幅度自由振动的基本方程，并且给出了表板很薄情况下的简化形式，利用修正迭代法求出了具有滑动固定边界条件的夹层圆板轴对称大幅度自由振动的一种解析解。在此基础上，杜国君和陈英杰 62 对夹层圆板大幅度振动问题做了进一步的研究，使用修正迭代法给出了具有滑动固定边界条件并计及表板抗弯刚度的夹层圆板的轴对称大幅度自由振动问题的解 。杜国君和田雨宝 63 讨论了均布荷载作用下夹层圆板在非线性弯曲静平衡构形附近的微幅自由振动，并利用修正迭代法进行了求解，给出了其固有频率和载荷的特征关系。 杨静宁等 64 研究了夹层圆板的非线性轴对称弯曲问题，采用打靶法和解析延拓法对周边滑动固定和周边固定两种边界条件下圆板的弯曲进行求解，获得了有意义的数值解，并与采用修正迭代法得到的解析解和采用幂级数方法得到的精确解进行了比较，结果非常令人满意。李跃军等 65 根据 Hoff 提出的夹层板理论和胡海昌、柳春图对该理论的简化理论，提出了矩形夹层板弯曲问题解析解的一般格式，它可以用于求解各种边界条件下矩形夹层板弯曲问题的 Hoff 理论的解析解，从而使得考虑表层抗弯刚度的夹层矩形板弯曲问题求解格式化。吴建成等 6866 还建立了多夹层壳体小应变状态下的中转动二阶大挠度的理论，接着进行适当的简化，获得了中转动、中小转动的一阶大挠度的理论，并将这一理论具体地运用到多夹层扁壳中去，给出了正交异性材料的多夹层扁壳的大挠度问题平衡方程 和边界条件及宏观各向异性材料多夹层扁壳的大挠度方程，同时求解了各种载荷及边界条件下矩形底面多夹层扁壳的非线性弯曲问题和多夹层板、扁柱壳在轴向压力作用下的稳定问题以及一般形状的板壳在边界作用力下的变形。徐加初、王乘和刘人怀 69 研究了均布载荷作用下边缘可移夹支具有正交异性复合材料表层和软夹心的夹层圆锥壳非线性轴对称屈曲问题，利用变分原理导出具有正交各向异性表层夹层圆锥壳在均匀外压作用下的非线性轴对称屈曲问题的基本方程，采用修正迭代法求得了可移夹支边界条件下壳体临界屈曲载 荷的解析表达式，对几种典型的纤维增强复合材料表层夹层圆锥壳给出了数值结果和图表。王志伟和刘人怀 70 考虑面层横向剪切变形以及横向剪应力在面层和芯层粘结处连续，应用 Hamilton 原理建立了正交铺设复合材料面层夹层扁壳新的非线性精化理论，在静力问题情形，控制方程和边界条件化简为用四个基本未知函数表述，而且分析了简支边界条件下正交铺设复合材料面层夹层圆柱壳和夹层球壳的非线性弯曲，得到了其挠度响应和层间应力响应。吴晖等 71 给出了一种 把具有波纹型夹心的正交各向异性夹层板的控制方程组化为仅包含一个位移函数的单一方程的简单方法，获得了在四边简支条件下其自由振动固有频率的精确解，并且还对两种具有重要实际意义的特殊情况进行了讨论。徐加初等 72 研究了夹层椭圆形板的非线性自由振动问题，在以五个位移分量表示的夹层椭圆板的运动方程的基础上，采用伽辽金方法得到非线性振动周期与振幅关系的解析表达式。 1.4 本课题研究的内容 近年来，随着航天、航空和航海等工业部门的飞跃发展，作为其重要结构元件而且具有刚度高、质量 轻等优良特性的夹层板得到了更广泛的应用和更大的关注。因此，近年来，许多研究者对这种板进行了研究。但是面临非线性微分方程和夹层结构复杂的巨大困难，以往人们大多数研究较简单的夹层板的线性力学问题，仅有少数人研究了夹层板的非线性问题。显然，这种研究状况还不能满足工程实际的需要。因此，对其进一步的研 究具有一定的理论和实际意义。 本文采用一种解析法来研究静荷载作用下夹层圆板非线性振动问题。首先给出了夹层圆板的静力平衡问题基本方程及各种边界条件和该问题的精确解。其次，在静平衡基础上，考虑其大幅度的非线性振动，应用哈密顿原理给出其基本方程和夹层圆板周边为固定、滑动固定、简支、铰支时的边界条件的表达式，并得到了各种边界条件下的夹层圆板振动的幅频 载荷特征关系。在此过程中，基于时间模态假设和变分法，将挠度和应力函数设为时间和空间函数的分离形式，时间函数取谐函数，空间函数未知。所假设的振动模态包含两个未知的内禀量，即振频和一个由于静变形而使板具有不对称刚度特性的非线性振子的“漂移” 75,74 的小量，这两个量均与载荷、边界条件和振幅有关。将假定的模态函数代入本问题的变分方程，导出空间模态的控制 方程和求解“漂移”的代数方程。采用修正迭代法求出了该问题在固定、滑动固定、简支、铰支不同边界条件的近似解析解。然后，给出了夹层圆板在周边滑动固定且受面内压力作用时该问题的解。讨论了静荷载对非线性振频及“漂移”的影响。 第 2 章 均布载荷作用下夹层圆板的静平衡问题 夹层板是航空、宇航和船舶制造等工业中的重要元件，由于这种板具有较高的刚度和较轻的质量，所以在工业中应用十分广泛。但是，对于夹层板壳的大挠度问题，由于数学上非线性的困难而仅有少数人进行过研究。刘人怀等 60,58,45,6 对 夹层板问题作了许多有益的研究工作。 本章参考文献58，对均布载荷作用下夹层圆板大挠度问题做一简单的介绍，文献中，作者运用幂级数方法，求解了在均布载荷作用下具有不同边界条件的夹层圆板大挠度问题，获得了精确解，所处理的边界条件是： (1)固定； (2)滑动固定； (3)简支； (4) 铰支。 2.1 基本方程 图 2-1 夹层圆板的坐标和几何尺寸 Fig.2-1 Dimensions and coordinate of circular sandwich plate 今考虑图 2-1 所示夹层圆板，半径为 a ，承受横向均布载荷0q的夹层圆板。应用文献 65所给的简化方程，即可得到以夹层圆板中面上的挠度0w 和径向应力 0r 为基本未知量的非线性微分方程组 021021212120020001000210drdwrErdrdrdrdrqdrdwhdrdwrdrdrdrdhGDhdrdwrdrdrdrdDrrr(2-1) 式中 0h夹层圆板上下表板中面间的距离 1h 夹层圆板的表板厚度 2G 夹层圆板中夹心的剪切模量 E 夹层圆板表板的杨氏模量 D 夹层圆板的抗弯刚度 220112 vhEhD 为了将微分方程组 (2-1)转化成无量纲的形式，我们引入下列符号 004202020210r0r210r0000202122212qDhavPahGDKDahSDahSdWdhwvWar，(2-2) 其中 0夹层圆板中 面内的环向应力 v 夹层圆板的表板的泊松比 将 (2-2)中的各式代入 (2-1)，并对其进行化简，则得到均布载荷作用下夹层圆板的无量纲非线性静平衡方程组 010000002002PSSKLSLrrr (2-3) 式中 ddddL 1 2.2 边界条件 非线性方程组 (2-1)是在固定、滑动固定、简支、铰支四种常用边界条件下进行求解，这四种边界条件可以表示为 1. 固定 有限，时，时，0000000000rruwar (2-4) 2. 滑动固定 有限，时，时，0000000000rrrwar (2-5) 3. 简支 有限，时，时，0000000000rrrrMwar (2-6) 4. 铰支 有限，时，时，0000000000rrruMwar(2-7) 其中 0u 夹层圆板中面上点的径向位移 000 rvEru (2-8a) 0 夹层圆板中面法线在径向平面内的转角 0200000210 22 hG rqdrdwdrdwhG h r (2-8b) 0rM 夹层圆板的径向弯矩 rvdrdDM r000 (2-8c) 且径向应力 0r 与环向应力 0之间满足 00 rrdrd (2-8d) 现将 (2-8a) (2-8d)转化为无量纲形式，将 (2-8d)和 (2-2)代入 (2-8a)， (2-2)代入 (2-8b), (2-2)代入 (2-8c),则有 00210 2 rr SvSdpdaEhDu (2-9a) 0000200 12 KPSKva h r (2-9b) 0000000220012 KPSKvKPSKddavDhMrrr(2-9c) 将 (2-2)、 (2-9a) (2-9c)代入 (2-4) (2-7)，则 (2-4) (2-7)可以转化为 1. 固定 有限，时，时，00000000001000101rrrrrSSKSvSd dKPSKW (2-10) 2. 滑动固定 有限，时，时，0000000001000101rrrrSSKSKPSKW (2-11) 3. 简支 有限，时，时，00000000000100011101rrrrrSSKSPvKSKvSKddW(2-12) 4. 铰支 有限，时，时，000000000000100111,001rrrrrrSSKPvKSKvSKddSvSddW(2-13) 2.3 夹层圆板的 精确静态解 由上一节可知，只要有了 0rS 和 0 ，就能得到所有应力和位移的计算公式，其中无量纲环向应力 0S 可以由式 (2-8d)求得。积分 0 ，并且注意到1 时的边界条件 00 W ，则可得到无量纲挠度 0W 的表达式。即 10000dWSddSr(2-14) 现在应用幂级数方法来求得上述非线性方程组 (2-3)和边界条件(2-10) (2-13)下的静态精确解。假定 0rS 和 0 分别是 的对称函数和反对称函数，用幂级数表示为 0121202020iiiiiirbaS(2-15a,b) 其中122 ii ba 和( i 0,1,2,3, )是待定常数。显然，这些级数已经满足夹层圆板的两个中心条件。 将 (2-15a,b)代入 (2-14)，则有 022120202011212iiiiiiibWaiS(2-16a,b) 这说明：如果知道了常数122 ii ba 和( i 0,1,2,3, )，则夹层圆板的所有应力和位移都能够被确定。 将级数 (2-15a,b)代入 (2-3)，并注意到方程组对任何 都成立，于是得到常数122 ii ba 和之间的关系式 0120031