第3章 波动模型.doc

第三章 波动模型 有许多经济时间序列，可能在某一段时间内呈现出相对平稳性，接着可能会呈现出剧烈的波动性。条件方差在变化， 但无条件方差可能是个常数。因为资产持有者总是关注持有期内收益的波动，而不是整个历史期间内的波动。能够估计、预测某种特定资产的风险十分重要的。 本章将介绍条件异方差模型（ARCH）的建模方法。 3.1 经济时间序列：典型化特征 图形3.1到3.6说明了重要的宏观经济变量的变化行径。当然需要有正式的检验来证实这些第一印象。在视觉上，这些序列是非平稳的，样本均值不是常量，有很强的异方差性等重要的典型化特征： （1）大多数序列都包含有明显的趋势。虽然实际GDP中的实际投资、政府支出比实际GDP和消费波动性更大，实际GDP和消费有一个明显向上趋势。 （2）对序列的冲击显示很强的持久性 短期利率和长期利率都没有明显的向上或向下的随机趋势。但都有很强的持久性。 （联邦基金利率） （某种债券收益） (3) 许多时间序列的波动性并不是常量（上证指数） (取对数再差分)可以看出，平静的期间内也伴随着不同的波动程度。虽然无条件（或长期）方差是常量，但也有方差变化较大的期间，这样的序列称为条件异方差。（4）一些序列似乎是随机游走 没有特别增加或减少的趋势，没有返到长期均值的趋势。这种随机游动类型是典型的非平稳序列。 (上证指数收盘价)（5）一些序列与其它序列有着“公共趋势” 联邦基金利率和10年期美国政府债券收益没有返回到长期均值的趋势。但两个序列从未分离开太远，对联邦基金利率的冲击也同样出现在10年政府债券收益。这种“共同运动”不足奇怪，因为推动短期、长期利益的原因是相同的。这些增长率趋势之间是否统计上有显著差别，都需要正式的统计检验。3.2 ARCH过程在传统的计量经济模型中，扰动项的方差都被假设为常数。但上一节我们看到，许多经济时间序列都显示了非常的大波动期之后又显示了一段相对平缓期，在这样情况下，常量方差的假设是不适当的。在实践中，经常需要预测一个序列的条件方差。一个资产持有者总是对持有这种资产的持有期内预测其收益率与方差。如果你计划在t期买一种资产，在t+1期卖出这种资产，那么无条件方差（方差的长期预测）就不是很重要了。另外，条件预测要优于无条件预测。对一个平稳ARMA模型, 预测的值。这时的条件均值是 如果利用这个条件均值预测，预测误差方差是。如果使用无条件预测，无条件预测是的长期均值。无条件预测误差方差是 因为，无条件预测方差比条件预测方差更大。因而，条件预测更好些。ARCH过程Engle(1982)提出可以同时对一个序列的均值和方差建模方法。的条件方差是 现在假设这个条件方差不是常量，预测这个条件方差的最简单办法是把估计的残差的平方看作为AR(q)过程 （3.2.1）这里是白噪声过程。由此可以预测t+1时的条件方差方程（3.2.1）被称为自回归条件异方差(ARCH)模型。 由Engle (1982) 提出的一类乘积条件异方差模型：设定白噪声扰动项为乘积扰动形式。如 （3.2.2）这里是白噪声过程且与不相关，。为了保证条件方差不为负，必须假设都为正。为了保证过程的稳定性，还必须限制。下面先分析的性质：1）有零均值且是无关的。 = （3.2.3）由于，则有 （3.2.4）2）的无条件方差是因此，无条件均值、无条件方差不受误差过程（3.2.2）的影响。3）的条件均值是 4）的条件方差是 （3.2.5）这个条件方差依赖于的值，如果值较大，在t处的条件方差将也较大。因此，ARCH模型能捕捉到的平缓期和波动期。现在可以分析的无条件均值、无条件方差：由于 可求出1）的无条件均值 2）的无条件方差为 再由的无条件方差是常量（），则有 3）的条件均值 4）的条件方差 方程（3.2.2）形式的ARCH过程可以多种形式扩展。Engle(1982)考虑了高阶ARCH(q)过程 GARCH模型Bollerslev(1986)扩充了Engle(1982)的工作，假设条件方差服从ARMA过程： ， ， （3.2.6）因为是白噪声过程，的条件均值、无条件均值都为零。（）。重要的是的条件方差为。因此，的条件方差是（3.2.6）中给出的ARMA过程。 这个推广的ARCH(p,q)模型称为 GARCH(p,q)。如果所有都等于零， GARCH(p,q) 过程等价于ARCH(q)模型。GARCH模型的好处在于：一个高阶的 ARCH模型可以有一个更节俭的GARCH表示（更容易识别和估计）。因为（3.2.6）中所有系数必须是正的，且为了保证方差有限，（3.2.6）的所有特征根必须在单位园外。 令和是滞后算子L多项式，将可写成 表示在L=1时值，。Bollerslev(1986)证明了GARCH过程是平稳的条件是。这时，。 GARCH模型的关键特征是的扰动项的条件方差是ARMA过程，所以，如果拟合的ARMA模型是充分的，ARMA模型的残差的ACF和PACF应当是白噪声过程。而且，残差平方的 ACF可识别 GARCH的阶。方程（3.2.6）很像一个标准的 ARMA(p,q)过程，如果有条件异方差，相关图应显示出来，残差平方的相关图可构造如下： 步1：利用ARMA模型来估计，得到残差，计算残差的样本方差 T是残差数。 步2：计算残差平方的样本自相关 = 步3：在大样本中，的标准差能用来近似。如果值显著异于零，说明了序列具有GARCH误差。Ljung-Box的Q统计量可用来联合检验多个系数的显著性：如果是序列无关的，则 有渐近-分布，自由度为n，拒绝序列无关的零假设等价于拒绝没有ARCH或GARCH误差的零假设。在实践中，n值设为T/4。对于ARCH误差的Lagrange乘数检验 (Engle(1982)方法有下面两步：步1：利用OLS估计最适合的回归方程或ARMA模型，并令表示拟合误差的平方。步2：把残差平方对常数及q阶滞后进行回归： 如果没有ARCH或GARCH效应，的估计值应为零。因此，这些回归有较小的解释能力，将非常低。在没有ARCH误差的假设下，检验统计量渐近（q）-分布。如果充分大，拒绝都为零的零假设等价于拒绝没有ARCH效应的零假设。如果充分小，可能没有ARCH效应。在小样本中，对零假设的F-检验要优于-检验。分子是自由度为q的F值，分母是自由度为T-q的F值。3通货膨胀的ARCH和GARCH估计 由于ARCH和GARCH模型能估计一个序列在特殊点处的方差，因而ARCH和GARCH模型得到了广泛的应用。Engle(1982)考虑了英国1958：21977：2的工资/价格的简单模型的残差。令表示英国消费价格指数的对数，表示名义工资指数的对数。所以，通货膨胀率是，实际工资是，Engle选择了下面模型 （0.0057） （0.103） (0.110) (0.114) (0.0136) 这里是的方差。 模型说明：前一期实际工资的增加提高了现期通货膨胀率。在t-4, t-5处的滞后通货膨胀率是想捕捉季节因素。所有系数的t-统计量都大于3.0，诊断检验(Q检验)并没有说明存在序列相关。估计的方差是常数8.9E-5。在ARCH误差检验中，对ARCH(1)误差的 Lagrange乘数检验并不显著，但对ARCH(4)误差的检验是显著的（的值为15.2，在1%的显著水平下，的临界值是13.28）。因此，Engle得出有ARCH误差的结论。现在许多软件包都包含非线性最大似然估计，现在同时估计这两个方程： (0.0049) (0.108) (0.089) (0.099) (0.0115)(8.5) (0.298)的估计值是一步向前预测误差方差，除了滞后1阶通胀率的系数以外，其余系数都是显著的（通常水平）。 对于给定的实际工资，通胀率方程的点估计说明通胀率是收敛的过程。方差方程中0.955的点估计说明条件方差具有“极强的持久性”。 Bollerslev的美国通胀率的估计 Bollerlev(1986)利用1948:21983:2的季度数据，计算了美国GNP平减指数的对数变化通货膨胀率，估计了自回归： （0.080）（0.083） (0.089) (0.090) (0.080) 所有系数都是显著的，自回归系数的值说明了平稳性。ACF和PACF在5%的显著水平下，均不显著。但残差平方的ACF、PACF显示了显著相关。对ARCH(1), ARCH(4), ARCH(8)误差的Lagrange乘数检验高度显著。下面 Bollerslev估计了一个带有限制的 ARCH(8)模型 （0.059）（0.081） （0.108） （0.078） （0.104） （0.003） （0.265）注意，两个均值方程的系数估计值很相近，但方差的模型是非常不同的。因此，这两个模型对通货膨胀率的预测应该是相同的，但预测的置信区间是不同的。一个置信区间是固定的，区间大小不变。一个置信区间在通胀波动期间变大，在通胀相对平缓期间变小。Bollerslev(1986)利用更简单的Lagrange乘数(LM)检验，有分布，求得，在5%的显著水平上，不能拒绝存在1阶ARCH过程。然后，他估计了GARCH(1.1)模型： （0.060）（0.081） （0.110）（0.077） （0.104） （0.006）（0.070） （0.068）诊断检验说明：方差方程的残差平方的ACF和PACF的系数都没有超过。检验和的其它滞后项是否存在，可用LM检验。结果显示：在5%的显著水平下不是显著的。ARCH-M模型 Engle, Lilien和 Robins(1987)扩展了基本的ARCH框架，允许序列的平均值依赖于条件方差。这类模型称为ARCH-M模型，适合于研究资本市场。 风险厌恶代理人对持有资产要求有补偿。资产的风险可由收益的方差来度量。Engle, Lilien和 Robins把持有一种资产的超额收益表示为持有这种资产的风险溢价加上收益的不可预测的冲击 （3.5.1）这里=持有一种长期资产所得的超额收益（相对持有短期国库券） =风险厌恶代理人持有长期资产的风险溢价 =对长期资产超额收益的不可预测的冲击方程（3.5.1）说明，持有长期资产的预期超额收益等于风险溢价： （3.5.2） 风险溢价是收益的条件方差的增函数。收益的条件方差越大，吸引代理人持有长期资产的补偿越大。如果是的条件方差，风险溢价可被表示为 ， （3.5.3）这里是ARCH(q)过程 （3.5.4）方程（3.5.2），（3.5.3），（3.5.4）构成了一个基本的ARCH-M模型。由（3.5.2）和（3.5.3）可知，的条件均值依赖于条件方差。由（3.5.4）知，条件方差是一个ARCH(q)过程。应当指出：如果条件方差是常量（），ARCH-M模型退化成常量风险溢价的情况。利用1960：11984：2的季度数据构造了六个月国库券的超额收益如下：令表示从t期到(t+1)期持有的三个月国库券的季度收益。在t期开始时投资1美元，下个季度后，会得到美元。同样，令表示六个月国库券的季度收益，买入并持有这国库券二个季度，将得到美元。超额收益 把这个超额收益对常数回归，得 (3.5.5) （4.04） 每季度0.142%的超额收益有4个标准差异于零。这个估计方法的问题在于：1979年后的波动性高于1979年前，为了检验ARCH误差的存在性，将残差平方对过去残差平方的“加权平均”回归。对进行LM检验，的临界值是6.635。因此，有较强的ARCH误差证据。所以（3.5.5）被错误设定。ARCH-M模型的最大似然估计结果为 （-1.29） （5.15） （1.08） （6.30）由估计到的系数说明有时变风险溢价。GARCH模型的最大似然估计 考虑线性回归模型： 假设服从均值为零、方差为常数的正态分布。的联合似然函数为 即， 为了求参数和的最大似然估计，令 得到估计值 ， 现在要估计GARCH模型，若，则的条件方差为，所以的联合似然函数为 现在假设，则联合似然函数为 用代入上式，就可以求出的最大似然估计。条件方差的其它模型 金融分析师总是希望得到资产价格的条件方差的精确估计。由GARCH模型能预测条件方差，因而能够利用该模型测量在持有资产期间的风险。为此，对基本的GARCH模型做了大量推广，以适合估计金融工具的条件方差。IGARCH模型通常，在金融时间序列中，条件波动是持久的。事实上，如果在估计股票收益率的GARCH(1，1)模型时，经常会发现非常接近于1。Nelson(1990)说明：限制=1可以得到资产收益率分布的一个非常节俭的表示。在某些方面，这种限制使条件方差的行为类似于一个单位根过程。这种IGARCH有一些有趣的性质。由于，所以，又由于独立于，且，则。如果=1，则条件方差的一步向前预测是 j步向前预测是 因此，除截距项外，下期的条件方差的预测值是当期的条件方差值。而无条件方差是无限。但是，Nelson(1990)说明了IGARCH与ARIMA并不是完全对应的。如果=1，可将条件方差写成（ 解，得 这里不同于非平稳过程，这个条件方差是的过去值和现值的几何衰减函数。所以，IGARCH模型可像其它GARCH模型一样估计。 具有解释变量的模型正如均值模型可以包含解释变量是一样，的设定也可以包含外生变量。假如你要知道某一事件在某一时刻的发生是否能增加资产收益的波动，一种方法是建立虚拟变量，考虑下面修正的GARCH(1.1)， 如果我们发现，则说明这个事件增加了条件波动的平均值。具有非对称性模型：TARCH和EGARCH资产价格的一个有趣的特征是：“坏”新闻对波动性的影响比“好”新闻对波动的影响要大。新闻信息由度量。如果=0，预期波动()是0a，任何新闻都引起波动性的增加。如果新闻是“好”的（即0），波动性沿着ab而增加。如果新闻是“坏的，波动性沿着ac而增加。因为ac要比ab陡峭一些，正冲击比负冲击对波动的影响效应要小些。ba0c图 杠杆效应 Glosten,Jaganathan 和Runkle(1994)说明了如何描述“好”新闻，“坏”新闻对波动有不同的效应。考虑门限（Threshold）型GARCH 过程-称为TARCH过程 这里是一个虚拟变量，当时，它为1，当时，它为零。显然，TARCH模型的直观理解是：如果，则对的冲击效应是。如果0，则对的冲击效应是。如果，负冲击对波动的影响效应比正冲击对波动的影响效应更大。如果系数显著不为零，则可得出结论：数据中含有门限效应。描述新闻非对称性效应的另一个模型是指数GARCH模型。我们知道，GARCH模型中的一个问题是必须保证估计的系数是正的。Nelson(1991)提出了一个不要求非负性限制的一种模型： （3.7.1）方程（3.7.1）被称为指数型GARCH或EGARCH模型。此模型有3个有趣的特征：1条件方差方程是对数线性的，的值不能为负，系数允许是负的。2EGARCH不使用的值，而是使用的标准化以后的值（即）。Nelson说明：这种标准化可以对冲击的大小、持久性有更多的解释。标准化以后是无量纲的。 3EGARCH有杠杆效应。如果是正的，对条件方差的对数的冲击效应是。如果是负的，对条件方差的对数的冲击效应是。 虽然EGARCH比TARCH有一些优点，但比较难预测EGARCH模型的条件方差。 检验杠杆效应 检验杠杆效应的一种方法是估计TARCH或EGARCH模型并对零假设进行t-检验。也有特殊的诊断检验来确定在残差中是否存在残余的杠杆效应。当估计ARCH或GARCH模型后，得到标准化的残差 为了检验杠杆效应，估计回归 如果没有杠杆效应，平方误差项与水平误差项应是无关的。因此，当检验零假设的F-统计量大于临界值时，可以认为有杠杆效应。 Engle和Ng(1993)给出了另一种方法来检验正、负冲击对条件方差是否有不同效应。令是虚拟变量，如果，=1，如果，=0。检验方法是要确定序列能否预测残差的平方。可利用回归方程 进行检验。这里是回归残差。 如果t-检验说明显著异于零，则现期冲击的符号将有助于预测条件方差。可把这个检验方法一般化，即估计回归式 这里项和项是检验正、负冲击效应是否依赖于冲击的大小。可以利用F-统计量检验零假设。如果得出存在杠杆效应的结论，则可以估计TARCH或EGARCH模型。 非正态误差对大多数金融资产收益率的分布函数是厚尾的。一个厚尾分布在分布尾部比正态分布尾部更大些。一种股票的收益率有大损失（回报）的概率比正态分布给出的概率要大一些。这时不能利用正态分布来进行最大似然估计。 3 NYSE合成指数的估计利用NYSE合成指数来说明拟合金融数据的GARCH模型的过程。可以清晰看到：在某段时期序列有较小变化，在另外时间段有成串的大增和大减。资产价格通常表现为随机游动或具有飘移项的随机游动。所以，有较少信息含在均值方程中。我们的目的是要捕捉条件方差。建立条件方差模型一般需要大量的观测值。 均值模型 建立GARCH模型的第一步是估计均值模型。这个合成指数的水平值是非平稳的，构造每日收益率为 （合成指数/合成指数）序列的均值为0.000353，样本方差0.000101。 序列的自相关非常小。但对大量的观测值来说，前几个统计显著。如因为，在5%的显著水平上，这两个相关系数是显著的。AIC和SBC分别选择了下面两个均值模型： （3.8.1） (1.50) (3.31) (-1.82) （3.8.2）(1.44) (3.31)AIC选择了MA(2)模型，SBC选择了更节俭的MA(1)模型。现在不需要选择“最优”的模型，因为这两个方程每一个都是在方差是常量的假设下估计的。如果方差是时变的，在同时估计均值方程和方差方程时，（3.8.1），（3.8.2）中系数的标准差就会有很大变化。注意，回归方程中的截距项是可以去掉的，因为t-统计量的值较低。但使用包含截距项的回归方程也有其优点，因为当使用不同的条件方差模型时，t-统计量的值会发生变化，截距项也许会保留在均值模型中。GARCH误差的检验我们要检验模型（3.8.1）是否有GARCH误差的存在。为了进行Lagrange乘数检验，令表示(3.8.1)的残差的平方，利用的4阶滞后，得到 （8.93） （6.76） （4.46） （5.20） （1.81）检验零假设“的各阶滞后的系数全为零”的F-统计量的值是37.77（其中，分子的自由度为4，分母的自由度为1921）。概率值是0.00。所以，我们可以认为存在GARCH误差。 其它模型的估计 正如Box-Jenkins方法，我们希望估计一个节俭的模型。我们可以改变GARCH(p, q)的滞后长度、可以分析ARCH-M效应、非对称性。由于存在各种可能模型的设定，容易引起过度拟合(over-fit)，所以，最好是用一个简单的模型开始，来确定此模型是否充足。如果不能通过任何诊断检验，可能需要使用更复杂的模型。下面利用GARCH(1，1)来估计(3.8.1)，最大似然估计的结果是 (3.42) (-4.17) (-0.13) (4.09) (11.58) (83.48)注意，均值模型中的一些含糊之处消失了，项可以从均值模型中去掉。我们可以估计MA(1)-GARCH(1，1)过程 (3.47) (-4.29) (4.09) (12.42) (85.00)因为和的系数之和几乎为1，我们可以估计IGARCH(1，1) (3.50) (-4.27) （6.00） （12.65）由于IGARCH模型加入了系数和的限制，IGARCH模型的拟合优度不如GARCH模型。但IGARCH模型比GARCH(1，1)模型更节俭。一般来说，在模型GARCH(p，q)或IGARCH(p，q)中选择其它的p，q时，会发现：较长的滞后都是统计不显著的。为了检验NYSE合成指数的收益中是否含有风险溢价，下面设定ARCH-M方程来检验。如果使用GARCH(1，1)设定，则均值模型是 （0.189） （-4.26） （1.00）ARCH-M效应的系数是不显著的。下面检验是否条件标准差影响这个合成指数的收益。 （0.116） （-4.25） （1.41）在这种设定中，ARCH-M效应的系数也是不显著的。 诊断检验 现在需要知道IGARCH(1，1)模型是否通过了模型充足性的各种检验。所有诊断检验都是对标准化后的残差序列来进行。 序列相关：序列的自相关非常小。Ljung-Box统计量Q(5), Q(10)和Q(25)分别为6.39，10.36，29.63。它们在传统显著水平上都是不显著的。可以认为标准化后的序列是序列无关的。 GARCH效应：构造标准化的残差平方，然后估计回归方程 若对每个n，都不是统计显著的，则没有GARCH效应。若不能拒绝零假设，则存在GARCH效应。如，回归 检验的F-统计量是1.18，概率值是0.38，接受零假设。所以，可以认为没有GARCH效应。 同样，对序列的Q-统计量Q(5), Q(10), Q(25)分别为3.89，4.57，11.15。都不是统计显著的。所以，可以认为标准化的残差平方也没有序列相关。 杠杆效应：如果没有杠杆效应，应与的滞后值无关。考虑回归 (21.29) (-3.49) (-5.49) (-1.85)的系数是高度显著的，且检验“三个滞后值系数全为零”的F-统计量为15.23，概率值为0.000。由于系数前的符号是负的，我们可以认为负冲击会产生较大的条件方差。利用Engle和Ng符号检验也可得出这样的结论。如果，令，如果，令，下面进行符号检验： （13.04） （2.70）由于的系数是显著的，可以认为负冲击增加的条件方差。这都建议我们考虑TARCH或EGARCH模型。 非对称性模型 为估计TARCH模型，考虑下面条件方差方程，估计结果为 (6.48) (-0.662) (12.33) (96.85)这里的系数为负。要解决此问题的一种可能的办法是限制系数为正, 另一种办法是估计EGARCH模型。估计 (1.45) (5.00) （-9.61）