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建立优化数学模型的有关问题数学模型中的尺度变换多目标函数优化设计关于离散变量的优化设计问题优化方法的选择及评价准则 第七章关于机械优化设计当中的几个问题 1 优化数学模型总体包含 设计变量 目标函数 约束条件 7 1 1关于设计变量的确定 工程设计中总是包含许多各种设计参数 在确定设计变量时 要对各种参数加以分析 以进行取舍 设计变量必须是独立变量 要从优互相依赖关系的变量中剔除非独立变量 7 1建立优化数学模型的有关问题 2 下图所示为汽车前轮转向梯形机构 等腰梯形机构ABCD中 给定机架长度LAD a 常数 当汽车转弯时 为了保证所有车轮都处于纯滚动 要求从动件CD转角与主动件AB转角保持某确定关系 该四杆机构的参数有各杆长度 l1 l2 l3 l4 和初始角其中l4 a为已知 是设计常量 又l1 l3 l3为非独立变量 又 l2是l1与的函数 故l2也为非独立变量 所以只有两个参数是独立变量 3 设计变量愈多 维数愈高 设计的自由度越大 容易得到较理想的优化结果 但维数越高 会使目标函数 约束函数所包含的变量增多 导致计算量增大 并使优化过程更为复杂及降低解题的效率 所以 在建立目标函数时 确定设计变量的原则是在满足设计要求得前提下 将尽可能减少设计变量的个数 即降低维数 按设计问题维数的大小 通常把优化设计问题规模分为三类 小型优化问题 维数2 10中型优化问题 维数10 50大型优化问题 维数50以上 4 7 1 2关于目标函数的建立 优化设计数学模型中的目标函数F x 是以设计变量表示设计问题所追求的某一种或几种性能指标的解析表达式 用它来评价设计方案的优劣程度 通常 设计所追求的性能指标较多 建立目标函数 要针对影响质量和性能最为重要的 最显著的指标作为设计追求的根本目标写入目标函数 所建立的目标函数一般分为 单目标函数 多目标函数 一般的 所包含的分目标函数越多 设计结果越完善 但设计求解的难度增大 因此 在实际设计中 在满足设计性能要求的前提下 应尽量减少分目标函数的个数 5 7 1 3关于约束条件问题 设计约束是在设计中对设计变量所提出的种种限制来确定的 约束条件表达式同常有显性约束与隐性约束 不等式约数与等式约束 边界约束与性能约束等 在设计中应尽量减少约束条件的个数 在众多约束条件中 可能存在消极约束 所谓消极约束是指在某些约束得到满足时 而有另一个或几个约束必然得到满足 其作用被覆盖 被覆盖了作用的约束称为消极约束 如果经分析能确认是消极约束 在建立数学模型时 应将其除掉 在一般情况下 消极约束是不容易识别出来的 所以 在很多时候 仍是将全部约束都列出来 不加区别的代进算法程序中求解计算 6 7 2 1数学模型中的尺度变换 数学模型中的尺度变换问题 是指用过改变在设计空间中个坐标分量的比例 以改善数学性态的一种办法 7 2 1设计变量的尺度变换7 2 2约束条件的尺度变换7 2 3目标函数的尺度变换 7 7 3多目标函数优化问题 在设计中 优化设计方案的好坏仅依赖于一项设计指标 即所建立的目标函数仅含一个目标的函数 这样的目标函数称为单目标函数 属于单目标优化设计问题 在许多实际设计中 一个设计方案又企望有几项设计指标同时都达到最优值 这种在优化设计中同时要求两项极其以上设计指标达到最优值得问题 成为多目标优化设计 目标函数称为多目标函数 8 7 3 1多目标优化设计数学模型 优化设计中 若有m个设计指标表达的目标函数要求同时达到最优 则表示为 上式称为向量目标函数 是多目标函数 式中的f1 x f2 x fm x 称为目标函数中的各分目标函数 9 数学模型的一般表达式 gu x 0 u 1 2 p hv x 0 v 1 2 q n 为了与单目标优化问题相区别 在目标函数前加V 即表示为 10 7 3 2多目标优化设计的概念 在单目标优化设计中 对于各种性态函数 总可以通过对迭代点函数值的比较 找出全局最优解 对任意两个解都能判断其优劣 而多目标函数问题与单目标则有根本区别 任意两个解之间 就不一定能判断出优劣 1绝对最优解 定义一 一般表达式多目标设计优化问题 若包括所有的J 1 2 m对于任意的设计点x D都有fj x fj x 成立 则点x 是多目标优化问题的绝对最优解 11 无约束一维多目标优化设计问题 维数n 1 分目标m 2 x 为绝对最优解得迭代点 绝对最优解 x F 约束一维多目标优化设计解的情况 在可行域 0 1 中 绝对最优解发生在x 1处 存在绝对最优解 x F n 2m 2约束多目标优化设计解的情况 点x 为最优点 12 2有效解 非裂解 与劣解 定义二 对于一般表达式 若有设计点x D 不存在任意的x D 使F x F x 成立 或fj x fj x 对于所有的j 1 2 m成立 则称x 为有效解或非劣解 例7 1一个二维分目标 n 1 m 2 的多目标优化问题为 D 13 见右下图 取x b 该点是有效解 因为在可行域D内 任取另一点X 不存在F x F b 即f1 x f1 b 又同时有f2 x f2 b x b点满足有效解定义 同理 区间 1 2 中的任意一点都满足有效解定义 所以 区间 1 2 组成了有效解 非劣解 集 14 定义三 在可行域D内 除绝对最优解与有效解集以外 部分的设计点均称劣解点 劣解点的全部称为劣解集 例7 2一个二维分目标的多目标优化设计问题 D 见右图 在可行域 0 4 内 区间 1 3 为有效解集 0 1 3 4 为劣解集 15 例7 3二维 n 2 两个分目标 m 2 优化问题 分目标函数为f1 x f2 x 可行域D目标函数等值线见右下图 该优化问题不存在绝对最优解 可行域D边界上一段曲线A1至A2为有效解集 在可行域的其余部分全部构成劣解集 将其映射到目标函数构成空间图 b 曲线A1A2与Q1Q2对应 一些目标函数值比较小的解集在曲线Q1Q2上 为有效集 16 3最终解 选好解 从有效解中选出最终解或称选好解 如无某种要求 一般从有效解集 A1A2曲线或Q1Q2曲线 中任选一点 都可作为最终解 有时 设计者要根据设计问题的不同要求与意愿 从中选出一个符合某种要求 满意 的解作为最终解 17 7 3 3多目标优化问题的求解方法 多目标优化求解方法大体分为两大类 其一是将多目标优化问题化为一系列单目标优化问题求解 另一是将多目标优化问题重新构造成一个新的函数 即评价函数 从而将多目标优化求解转变为求评价目标函数的最优解 一 宽容分层序列法 该方法的基本思想是将 18 中的m个目标函数按工程中某种意义分清主次 按重要程度逐一排队 重要的目标函数排在前面 然后依次对分目标函数求各自的最优解 只是最后一个目标函数求优应在前一个目标最优解的集合域内求优 但由于分目标函数的最优解常常是唯一的 其最优解域的集合只有一个设计点那么求下一个目标函数的最优解就无意义了 为了使分层序列法不是去在有效解中秋最终解 选好解 的功能 则将各目标函数的最优值给与放宽 使在后一个分目标函数求优时 能在前一个最优值附近的某一范围内求优 具体做法如下 19 对一般表达式的多目标优化设计问题 给各分目标函数最优值的宽容量分别是 则宽容分层序列法的步骤如下 m 求解得到最优解 20 上式也可写为 求解得到最优解 i 1 2 m 1 取最后一个目标函数的最优点作为多目标优化问题的最优点x 即 21 二 线形加权法 线形加权法又称线形组合法 它是处理多目标优化问题常用的较简单的一种方法 按各分函数的重要程度 对应的选择一组加权系数 1 2 m 其界线为 j 1 2 m 用fj x 与 j x j 1 2 m 的线形组合构成一个评价函数 22 求新的评价函数最优解 即 gu x 0hv x 0 D x 即将一般式的单多目标优化问题转化成求上式的单目标优化问题 23 关于确定一组合理的加权系数 j j 1 2 m 希望能准确的反映各目标函数在整个多目标优化问题中的重要程度 它是一个困难且较复杂的问题 如果取得合理 则可以达到预期优化的目的 否则有可能造成计算谬误而失败 目前 确定加权系数有的是设计者评设计经验直接给定 也有用试算统计计算 j 1 2 m 其中 j 1 2 m 即分目标在可行域内的最优目标函数值 式中的反映了各分目标函数离开各自最优值得程度 24 三 理想点法 多目标优化问题的一般式中 先求出各分目标函数在可行域D内的最优解 j 1 2 m 最有函数值向量 上式称为理想解 如果在本问题不存在绝对最优解的情况下 对于向量目标函数来说理想解似得不到的 但要力求使各分目标仅可能接近各自的理想值 则可以认为达到有效解中的选好解 25 在实际的设计中 也常常按照设计者的经验与期望制定出一个合理的各分目标函数值构成理想解 将与在写法上统一为 在构造设计方案与理想解之间的离差函数U x U x 函数可取以下形式 相对离差 加权相对离差 26 平方和加权离差 绝对值离差 将式中的多目标函数构造出以上几式的单目标函数作为评价函数 用评价目标函数的解作为原多目标优化问题的最终解 其表达式为 gu x 0hv x 0 D 27 四 乘除法 该方法适于处理下面问题 按分目标函数的性质可分为两类 两类的期望相反 其中的一类是表现目标函数值越小越好 如追求体重轻 结构紧凑 原材料消耗少 加工成本和加工费低 磨损量和应力小等 另外一类表现为目标函数值越大越好 如产品产量 机械效率 零件强度及刚度 利润 承载能力等 建议如下构造评价函数 其中 s s m 为第一类函数 分目标函数期望取小 28 如果有两个分目标函数f1 x f2 x 期望maxf1 x minf2 x 如下图所示 过域Df内的任一通过原点o的直线oA 它的斜率为 当时 即直线oA移到与域Df边界的左方相切 切点为Q 点Q对应的函数值即为乘除法求得的选好解 29 五 协调曲线法 这种方法是用来解决设计目标互相矛盾的多目标设计优化问题 为求最终解须对一般式个分目标函数加以协调 以求在有效解集中求出选好解 作为多目标优化问题的最终解 现以两个分目标函数组成的多目标优化问题为例 30 两分目标的最优点分别在A1及A2 它们的分目标函数值为 A1点 A2点 在可行域D内任取一点B 其分目标函数值为 当固定 极小化f1 x 的可行域边界点C C点的分目标函数值为 当固定 极小化f2 x 的可行域边界点C C点的分目标函数值为 31 可见 C D两点都优于B点 在CD曲线上任选一点代表的方案至少有一个目标函数值的到改善 所以CD曲线上任一点都优于B点 曲线A1CDA2代表着有效解的解集 故称此曲线为协调曲线 选好解 最终解 应从协调曲线上选取 为从协调曲线上确定选好解 再以f1 x f2 x 为坐标建立一个新的坐标系 见前面图2 将图1的协调曲线转换到新的坐标系中 对应关系为A1 Q1 C G D H A2 Q2 则将A1CDA2曲线转换到2图中的Q1GHQ2曲线 为在协调曲线上确定一个选好解 一般需另外一项指标 为此在2图中画出满意曲线 随着满意程度的增加可使分目标函数值均有所下降 直到o点 此点是从协调曲线上得出的最满意设计方案 分目标函数值为 32 如何确定满意函数或满意曲线 要按工程实际情况 很多时候是依设计者的实践经验而设置 也可以根据实验数据而定 必要时对分目标函数实行线形加权 协调曲线法适合分目标追求出现矛盾情况 要在有效解集中找出最满意的设计方案 在优化过程中 有时为了某个具有较差值的分目标也能达到较为理想 则要增大其他分目标函数值为代价 其主要思想是对各分目标函数进行协调 互相之间做出让步 最终取得一个工程实际能认可的满意方案 对于两个以上的分目标的多目标优化问题 所画的协调曲线就变成多维抽象空间的超曲面 不可能用图形来表示 则只能按数学模型由计算机自动处理 33 7 4关于离散变量的优化设计问题 7 4 1离散变量优化设计的基本概念 7 4 2离散变量优化方法简介 凑整法 网格法 离散复合型法 离散型惩罚函数法 34 7 5优化方法的选择及评价准则 7 5 1选择优化方法需考虑的问题 对优化设计问题 在建立了数学模型之后 就要选择一个恰当的方法 来进行最优解得求解 目前 一般的做法是由设计者根据实际优化设计问题的特点 在对各种优化方法按评价准则所作的优缺点介绍 结合已有的一些经验来适当的选取算法 根据优化问题的特点 恰当的选择优化方法是一个很重要的问题 下面就优化问题数学模型方面要考虑的一些因素分述如下 35 数学模型的类型包括以下几个方面 是有约束还是无约束 如有约束是等式约束还是不等式约束或是两者兼有 设计变量是连续的还是离散的或者是混合的 目标函数和约束函数是线形的还是非线性的 即属于现行规划问题还是非线性规划问题 优化设计问题规模的大小主要指设计变量的多少和约束条件的多少 目标函数和约束函数是否连续和有凸性 是否存在一阶和二阶导数等 36 7 5 2优化方法的评价准则 为了比较不同算法的特性以及相应软件的技术水平 就的要一个合理的评价准则来加以衡量 下面简述几个主要的评价准则 1 可靠性算法的可靠性是指在合理的精度要求下 在一定的计算时间或一定的迭代次数内求出最优解得成功率 它表征了算法对各种优化数学模型的解题能力 能够解出的问题越多 可