北京市高三数学12月第六次考试试题 理 新人教A版.doc

命题人 于凤军北京十一学校2013届月考数学试卷（理）（时间120分钟 满分150分） 2012.12.15一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.答案请填涂在答题卡中.1. 设全集r，若集合，则为（ c ）abcd2.设，则“”是“直线：与直线：平行”的( a )a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充分必要条件 d既不充分也不必要条件解析：当时，直线：与直线：显然平行；若直线与直线平行，则有，解之得或，所以选a。3设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题正确的是（ b）a.b.c. d.4.如图所示，阴影部分的面积是的函数则该函数的图像是（a）5.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）a b c d解：.由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则又,所以6.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( d )a. b. c. d. 7在正四棱锥中，点是的中点，动点在侧面内运动，且总有，则动点的轨迹是 （ ）a的中点 b点与中点的连线c线段 d的中点与的中点的连线7解析：设的中点为m，的中点为n，则mnsd。acbd，acmn，又acne，则有ac平面mne，不论p在线段mn的何处总有peac.故选d。8. 函数的图像恒过定点，若点在直线，则的最小值为 （ ）a. 13 b. 16 c. d. 28.8.解析：当时，即点，所以当且仅当时等号成立，所以的最小值为16.故选b。二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且经过点，则抛物线的准线方程为 解：抛物线方程为，其准线方程为 9.已知实数满足，若恒成立，则的最小值为 答案：4 10. 设、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，且，到直线的距离等于双曲线的实轴长，该双曲线的渐近线方程为 10.解析：因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为11. 已知函数（其中，）若函数的图像关于直线对称，则的值为_13.首项为正数的等比数列，满足且。对满足的任意正整数，函数的最小值是 13.解析：由，得，即。从而有，则，故，又首项为正数，故数列为正项数列，从而公比。由，得。，由，得的最小值为。14.函数在区间上恰有一个零点，则实数取值范围是 14.解析： 函数的定义域为，在上递减，在上递增，要使在上恰有一个零点，结合其图像和性质，需要或解得或.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知曲线是动点到两个定点、距离之比为的点的轨迹。（1）求曲线的方程；（2）求过点与曲线相切的直线方程。解：（1）在给定的坐标系里，设点。由及两点间的距离公式，得 ， 4分将式两边平方整理得：即所求曲线方程为： 6分（2）由（1）得，其圆心为，半径为。i)当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，显然与圆相切；8分ii) 当过点的直线的斜率存在时，设其方程为即 9分由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径，得，解得， 11分此时直线方程为 12分所以过点与曲线相切的直线方程为，。13分16.（本小题满分13分）已知等比数列中，.若，数列前项的和为.（）若，求的值；（）求不等式的解集.16. 解：（）得3分 5分6分是以为首项，为公差的等差数列. 8分由，得，解得 9分（）因为 即所求不等式的解集为 13分17. (本小题满分13分) 已知函数（1）求函数在区间上的值域；（2）在中，角所对的边分别是若角为锐角，且，求面积的最大值。17.解：（1），4分由 ，有，得函数的值域为。6分（2）由，有，又角为锐角，则，从而，得。9分由余弦定理得：，又，故。从而，故当，即为正三角形时， 的面积有最大值。13分18(本小题满分13分) 如图，四边形是矩形，平面，点在线段上移动。（1）若点为的中点时，求直线与平面所成角的正弦值；（2）当等于何值时，二面角的大小为。18解：以为轴，建立空间直角坐标系。有，。（1）依题意有，设平面的法向量为，则有，取，得。设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为。6分（2）设，则，设平面的法向量为，则有，取，得。设平面的法向量为，由， 则有，取，得。从而有，即有，得，解得，即当时，二面角的大小为135。13分19 (本小题满分14分)已知函数，（为自然对数的底数）。（1）当时，求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围。19解：（1）当时，2分则函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，4分又，则，5分。6分（2），则函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，则函数的值域为。8分则转化为：当时，在区间上有两个不同的根。9分而。当时，函数在区间上为减函数，不符合题意。10分当时，有，函数在区间上为减函数，不符合题意。11分当时，有，此时函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，而当趋于零时，趋于正无穷，且最小值为。要使在区间上有两个不同的根，则。又，且，故只要，得。f1f2qayx而，从而有。14分20. (本小题满分14分)设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且， （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由20.