异面直线所成的角.ppt

异面直线及其夹角 复习提问 1 空间的两条直线的位置关系有哪几种 思考 1 两条直线不相交则平行 2 无公共点的两条直线一定平行 x x 平行相交 异面 共面 1 异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 直线AA 与BC是异面直线 1 定义 2 异面直线的画法 A b a b a b a 证明 反证法 连结平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 3 异面直线判别定理 2 异面直线所成的角 已知两条异面直线a b 经过空间任一点O 分别作直线a a b b 把a 与b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a b所成的角 或夹角 O 特别地 如果两条异面直线所成的角是直角 那么就说两条异面直线互相垂直 b c a 强调 1 范围2 与0的位置无关3 为了方便点O取在a或b上 a b a 线线角抓平移 P 求异面直线所成的角主要思路 异面直线不具有传递性 3 概念判别练习 1 若a b是异面直线 b c也是异面直线 则a c位置关系是 A 相交 平行或异面B 平行C 异面D 平行或异面 A 2 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 3 空间两条不相交的直线一定是异面直线 4 垂直于同一条直线的两条直线必平行 5 过一点能引且只能引一条直线和已知直线垂直 6 若一条直线垂直于两条平行直线中的一条 则它一定与另一条直线垂直 x x x x 例1 在正方体AC1中 求异面直线A1B和B1C所成的角 A1B和B1C所成的角为60 和A1B成角为60 的面对角线共有条 8 A D C B F E 例2 在三棱锥A BCD中AD BC 2a E F分别是AB CD的中点EF 求AD和BC所成的角 M EMF 120 AD和BC所成的角为60 切记 别忘了角的范围 A D C B A1 D1 C1 B1 求异面直线AB1与BD1所成角 例3 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为a 线线角注意90 的特殊情形 A D C B A1 D1 C1 B1 变题 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为a O为底面中心 F为DD1中点E在A1B1上 求AF与OE所成的角 O E F N 例4 如图 在三棱锥D ABC中 DA 平面ABC ACB 90 ABD 30 AC BC 求异面直线AB与CD所成的角的余弦值 A B C D 1 固定CD 移动AB E F AB向前移动 思路一 平移 M AB向上移动 AB还有其他方向可以移动 2 固定AB 移动CD A B C D A B C D 3 同时移动AB CD E M F N 思路二 补形 A B C D P E M N A B C D 如图 在三棱锥A BCD中 E F分别是AB CD的中点 G 练习 且EF 5 AC 6 BD 8 则异面直线AC与BD的夹角为多少 1 平移法 即根据定义 以 运动 的观点 用 平移转化 的方法 使之成为相交直线所成的角 具体地讲是选择 特殊点 作异面直线的平行线 构作含异面直线所成 或其补角 的角的三角形 再求之 归纳小结 2 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 如正方体 平行六面体等 其目的在于易于发现两条异面直线的关系 1 异面直线所成角的范围是 0 90 在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角 常用余弦定理求其大小 当余弦值为负值时 其对应角为钝角 这不符合两条异面直线所成角的定义 故其补角为所求的角 这一点要注意 2 当异面直线垂直时 应用线面垂直的定义或三垂线定理 或逆定理 判定所成的角为90 也是不可忽视的办法 注意点 1 在正方体AC1中 M N分别是A1A和B1B的中点 求异面直线CM和D1N所成的角 M N 巩固练习 A D C B A1 D1 C1 B1 2 若M为A1B1的中点 N为BB1的中点 求异面直线AM与CN所成的角 N M F E P A B C M N 3 空间四边形P ABC中