北京市七中高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

北京七中2015届高三上学期期中 数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1（5分）设全集u=r，集合a=x|x22x0，b=x|x1，则集合aub=（）ax|1x2bx|1x2cx|0x1dx|0x12（5分）设，则（）acbabcabcabcdbca3（5分）设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn 若m，n，则mn若，则 若，m，则m其中正确命题的序号是（）a和b和c和d和4（5分）设等比数列an的公比为q，前n项和为sn，且a10若s22a3，则q的取值范围是（）abcd5（5分）已知命题p：xr，sin（x）=sinx；命题q：，均是第一象限的角，且，则sinsin下列命题是真命题的是（）apqbpqcpqdpq6（5分）在约束条件下，当3s5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（）abcd7（5分）已知函数f（x）=（x+a）（xb）（其中ab0）的图象如右图所示，则函数g（x）=axb的图象大致为（）abcd8（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元 设该设备使用了n（nn*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）a6b5c4d3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9（5分）已知直线l1：x3y+1=0，l2：2x+my1=0若l1l2，则实数m=10（5分）已知向量，满足=3，=2，a与b的夹角为60，则ab=若（amb）a，则实数m=11（5分）若直线l与圆x2+（y+1）2=4相交于a，b两点，且线段ab的中点坐标是（1，2），则直线l的方程为12（5分）在abc中，c为钝角，则角c=，sinb=13（5分）正三棱柱的左视图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为 14（5分）已知函数f（x）=，则f（f（x）=下面三个命题中，所有真命题的序号是函数f（x）是偶函数；任取一个不为零的有理数t，f（x+t）=f（x）对xr恒成立；存在三个点a（x1，f（x1），b（x2，f（x2），c（x3，f（x3），使得abc为等边三角形三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）abc的内角a，b，c的对边a，b，c满足b2+c2a2=bc（1）求角a的大小；（2）设函数f（x）=sincos+cos2，求f（b）的最大值16（13分）已知数列an是等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列（ i）求等差数列an的通项公式；（ii）如果数列bn是等比数列，且b1=a2，b2=a4，求bn的前n项和sn17（13分）如图，正方形adef与梯形abcd所在的平面互相垂直，adcd，abcd，ab=ad=2，cd=4，m为ce的中点（） 求证：edbc；（） 求证：平面bde平面bec；（）判断直线bm和平面adef的位置关系，并加以证明18（13分）设a0且a0，函数（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在（3，f（3）处切线的斜率；（2）求函数f（x）的极值点19（14分）已知椭圆c：+=1（ab0）的一个顶点为a（2，0），离心率为，直线y=k（x1）与椭圆c交于不同的两点m，n，（）求椭圆c的方程；（）当amn的面积为时，求k的值20（14分）设正数数列an的前n项之和为sn满足sn=（）2（） 求a1，a2，a3，a4；（）推测数列an的通项公式，并进行证明；（）设bn=，数列bn的前n项和为tn，若tn对一切nn*成立，求最小正整数m北京七中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1（5分）设全集u=r，集合a=x|x22x0，b=x|x1，则集合aub=（）ax|1x2bx|1x2cx|0x1dx|0x1考点：交、并、补集的混合运算 专题：计算题分析：解二次不等式我们可以求出集合a，进而由集合b，由补集的运算方法，我们可以求出cub，结合集合交集的运算方法，我们易求出答案解答：解：集合a=x|x22x0=x|0x2，又b=x|x1，cub=x|x1，则集合acub=x|0x1故选d点评：本题考查的知识点是集合交、并、补集的混合运算，其中根据已知条件求出集合a和cub，是解答本题的关键2（5分）设，则（）acbabcabcabcdbca考点：对数值大小的比较；三角函数值的符号 专题：计算题分析：首先根据所给的三个数字，按照对数函数和指数函数的性质进行比较，第一个数字第一个数字30.530=1，第二个数字=log31log3 2log33=1，第三个数字求出结果小于0，最后总结最后结果解答：解：在，三个数字中，第一个数字30.530=1，第二个数字0=log31log3 2log33=1第三个数字cos=0故选a点评：本题考查对数值大小的比较，考查对数函数与指数函数对于底数不同时的单调性不同，比较三个数字与1，0 的关系，对于底数不同的对数或指数一般找一个中间量进行比较大小3（5分）设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn 若m，n，则mn若，则 若，m，则m其中正确命题的序号是（）a和b和c和d和考点：平面的基本性质及推论 专题：计算题分析：本题是一个研究空间中线面之间位置关系的问题，选项由线面垂直与线面平行判断线线垂直，选项根据平行于同一个平面的两条直线不一定平行进行判断，选项由垂直于同一个平面的两个平面不一定平行进行判断，选项由当一条直线垂直于两平行平面中的一个时，则它必垂直于另一个进行判断，从而得到正确选项解答：解：选项正确，因为由m，n，可得出mn；选项不正确，因为在“m，n，则mn，”条件中缺少条件线m，线n在同一个平面，故不满足面面平行的性质定理，不能得mn；选项不正确，因为当“，”，两平面与的关系可以是平行或者相交；选项正确，因为当一条直线垂直于两平行平面中的一个时，则它必垂直于另一个综上知选项正确故选d点评：本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握理解空间中线与线，线与面，面与面的位置关系及判定定理及较好的空间想像能力是准确解答本题的关键，本题是一个知识性较强的题，解题的难点是对空间中线面位置关系的正确感知4（5分）设等比数列an的公比为q，前n项和为sn，且a10若s22a3，则q的取值范围是（）abcd考点：等比数列的性质；数列的函数特性 专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得a10，且 a1+a1q2a1q2，解一元二次不等式求得q的取值范围，注意 q0这个隐藏条件解答：解：由题意可得a10，且 a1+a1q2a1q2，即 2q2q10，即 （2q+1）（q1）0解得q1，又 q0，q的取值范围是 ，故选b点评：本题主要考查数列的函数特性，等比数列的通项公式，一元二次不等式的解法，注意 q0这个隐藏条件，这是解题的易错点，属于中档题5（5分）已知命题p：xr，sin（x）=sinx；命题q：，均是第一象限的角，且，则sinsin下列命题是真命题的是（）apqbpqcpqdpq考点：全称命题；复合命题的真假 专题：三角函数的图像与性质分析：我们先判断命题p：xr，sin（x）=sinx与命题q：，均是第一象限的角，且，则sinsin的真假，进而根据复合命题的真值表，易判断四个结论的真假，最后得到结论解答：解：由三角函数的诱导公式知sin（x）=sinx，得命题p：xr，sin（x）=sinx为真命题，又取=420，=60，但sinsin不成立，q为假命题，故非p是假命题，非q是真命题；所以a：pq是真命题，b：pq是假命题，c：pq假命题，d：命题pq是假命题，故选a点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，其中根据三角函数的诱导公式及三角函数的性质，判断命题p与命题q的真假是解答的关键6（5分）在约束条件下，当3s5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（）abcd考点：简单线性规划的应用 专题：计算题；压轴题分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y过区域内边界上的某些点时，z最大值即可解答：解：由交点为a（2，0），b（4s，2s4），c（0，s），c（0，4），当3s4时可行域是四边形oabc，此时，7z8当4s5时可行域是oac此时，zmax=8故选d点评：本题主要考查了简单的线性规划由于线性规划的介入，借助于平面区域，可以研究函数的最值或最优解；借助于平面区域特性，我们还可以优化数学解题，借助于规划思想，巧妙应用平面区域，为我们的数学解题增添了活力7（5分）已知函数f（x）=（x+a）（xb）（其中ab0）的图象如右图所示，则函数g（x）=axb的图象大致为（）abcd考点：函数的图象；指数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用分析：根据二次函数的图象判断a，b的值，判断函数g（x）=axb的图象特征，推出结果即可解答：解：二次函数的图象开口向上，ab0，二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，a1b0，函数g（x）=axb的是增函数，与y轴的交点为（0，1b）函数的图象如图：c故选：c点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系，注意：二次函数的图象开口向上决定a的正负；二次函数的图象与y轴的交点的位置决定c的正负，指数函数的图象的特征，考查基本知识的应用8（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元 设该设备使用了n（nn*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）a6b5c4d3考点：函数模型的选择与应用 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论解答：解：设该设备第n年的营运费为an，万元，则数列an是以2为首项，2为公差的等差数列，则an=2n，则该设备使用了n年的营运费用总和为tn=n2+n，设第n年的盈利总额为sn，则sn=11n（n2+n）9=n2+10n9=（n5）2+16，当n=5时，sn取得最大值16，故选：b点评：本题主要考查与数列有关的应用问题，根据条件利用等差数列的通项公式求出盈利总额的表达式是解决本题的关键二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9（5分）已知直线l1：x3y+1=0，l2：2x+my1=0若l1l2，则实数m=6考点：直线的一般式方程与直线的平行关系 专题：计算题分析：求出已知直线的斜率，利用两条直线的平行斜率相等，求出m的值即可解答：解：直线l1：x3y+1=0的斜率为：，因为直线l1：x3y+1=0，l2：2x+my1=0l1l2，所以=，解得m=6；故答案为：6点评：不考查直线与直线平行的充要条件的应用，考查计算能力10（5分）已知向量，满足=3，=2，a与b的夹角为60，则ab=3若（amb）a，则实数m=3考点：平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：计算题分析：（1）直接代入向量数量积公式易求答案（2）根据向量垂直的充要条件构造方程，解方程即可求出未知参数m的值解答：解：（1）|=3，|=2，与的夹角为60=32=3又（m）2m=0即93m=0解m=3故答案为：3，3点评：本题考查的知识点为平面向量的数量积运算，x1x2+y1y2=0即：“两个向量若平行，交叉相乘差为0，两个向量若垂直，对应相乘和为011（5分）若直线l与圆x2+（y+1）2=4相交于a，b两点，且线段ab的中点坐标是（1，2），则直线l的方程为xy3=0考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：设圆心为c，ab的中点为d，由直线和圆相交的性质可得，直线lcd，求出直线l的斜率为 的值，再用点斜式求得直线l的方程解答：解：设圆c：x2+（y+1）2=4的圆心c（0，1），弦ab的中点坐标是d（1，2），由直线和圆相交的性质可得 直线lcd，直线l的斜率为=1，故直线l的方程为 y+2=x1，即 xy3=0，故答案为 xy3=0点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，用点斜式求直线的方程，属于中档题12（5分）在abc中，c为钝角，则角c=150，sinb=考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数 专题：计算题分析：先根据正弦定理求得sinc的值，进而求得c，进而根据sinb=sin（a+c）利用两角和公式求得答案解答：解：由正弦定理可知=sinc=sina=c为钝角，c=150cosa=sinb=sin（a+c）=+=故答案为150，点评：本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系的应用，和利用两角和公式化简求值考查了学生分析问题和基本的运算能力13（5分）正三棱柱的左视图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为12 考点：简单空间图形的三视图 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由题意，正三棱柱的底面边长为2，即可求出该正三棱柱的侧面积解答：解：由题意，正三棱柱的底面边长为2，所以该正三棱柱的侧面积为223=12故答案为：12点评：本题考查求正三棱柱的侧面积，考查学生的计算能力，比较基础14（5分）已知函数f（x）=，则f（f（x）=1下面三个命题中，所有真命题的序号是函数f（x）是偶函数；任取一个不为零的有理数t，f（x+t）=f（x）对xr恒成立；存在三个点a（x1，f（x1），b（x2，f（x2），c（x3，f（x3），使得abc为等边三角形考点：命题的真假判断与应用；函数的值 专题：计算题；压轴题分析：根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x）=1根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数，正确；根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，得正确；取x1=，x2=0，x3=，可得a（，0）、b（0，1）、c（，0）三点恰好构成等边三角形，得正确解答：解：当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0当x为有理数时，ff（x）=f（1）=1；当x为无理数时，ff（x）=f（0）=1即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x）=1接下来判断三个命题的真假对于，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以对任意xr，都有f（x）=f（x），故正确； 对于，若x是有理数，则x+t也是有理数； 若x是无理数，则x+t也是无理数根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数t，f（x+t）=f（x）对xr恒成立，故正确； 对于，取x1=，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0a（，0），b（0，1），c（，0），恰好abc为等边三角形，故正确故答案为：1 点评：本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于基础题三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）abc的内角a，b，c的对边a，b，c满足b2+c2a2=bc（1）求角a的大小；（2）设函数f（x）=sincos+cos2，求f（b）的最大值考点：三角函数的最值；余弦定理 专题：计算题分析：（）观察已知，自然想到余弦定理，然后求角a的大小；（）通过函数f（x）=，化为一个解答一个三角函数的形式，根据a的值确定b是范围，结合函数表达式，求f（b）的最大值解答：解：（）在abc中，因为b2+c2a2=bc，由余弦定理a2=b2+c22bccosa可得cosa=（余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分）（3分）0a（或写成a是三角形内角）（4分）a=（5分）（）函数f（x）= （7分）=sin（x+）+，（9分）a=b（0，）（没讨论，扣1分）（10分）当，即b=时，f（b）有最大值是（13分）点评：本题是基础题，考查三角形中的基本计算问题，考查余弦定理的应用，注意b的范围是确定函数最值的关键，也是易错点16（13分）已知数列an是等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列（ i）求等差数列an的通项公式；（ii）如果数列bn是等比数列，且b1=a2，b2=a4，求bn的前n项和sn考点：等差数列与等比数列的综合；等比数列的前n项和 专题：综合题分析：（i）已知数列an是等差数列，设出公差d，又a1=2，由a2，a4，a8成等比数列得到关于d的一元二次方程，求出d有两解，分别就两个d求出两个通项公式；（ii）由（i）可得a2，a4，有两组解，又b1=a2，b2=a4，可得两组b1，b2，又知数列bn是等比数列，可求出两个公比q，选择含有首项和公比的等比数列的前n项和公式，就两种情况分别求出即可解答：解：（i）因为数列an是等差数列，设其公差为d，a1=2，则a2=2+d，a4=2+3d，a8=2+7d由a2，a4，a8成等比数列，得a42=a2a8，即（2+3d）2=（2+d）（2+7d）解得d=0或d=2，所以an=2或an=2n（ii）当an=2时，b1=a2=2，b2=a4=2，公比q=1，bn的前n项和sn=nb1=2n；当an=2n时，b1=a2=4，b2=a4=8，公比q=2，bn的前n项和点评：本题主要考查等差数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，已知数列为等差数列，求通项公式，求首项和公差即可，本题公差有两个，所以有两个通项公式；求等比数列的前n项和时，由已知准确选择公式17（13分）如图，正方形adef与梯形abcd所在的平面互相垂直，adcd，abcd，ab=ad=2，cd=4，m为ce的中点（） 求证：edbc；（） 求证：平面bde平面bec；（）判断直线bm和平面adef的位置关系，并加以证明考点：平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：（）根据线面垂直的性质定理证明ed平面abcd即可；（） 根据面面垂直的判定定理即可证明平面bde平面bec；（）根据线面平行的判定定理进行证明即可解答：证明：（）adef为正方形，edad （1分）又平面adef平面abcd，且平面adef平面abcd=ad又ed平面adef，ed平面abcd （2分）又bc平面abcdedbc （3分）（）在直角梯形abcd中，ab=ad=2，cd=4，可得（4分）在bcd中，bcbd（5分）又edbd=dbc平面bde（6分）又bc平面bce，平面bde平面bec （7分）（ iii）直线bm平面adef8 分取de中点n，连结mn，an在edc中，m，n分别为ec，ed的中点，mncd，且abcd，mnab，且mn=ab四边形abmn为平行四边形11 分bman12 分又an平面adef，且bm平面adef，bm平面adef13分点评：本题主要考查空间直线和平面之间平行和垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键18（13分）设a0且a0，函数（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在（3，f（3）处切线的斜率；（2）求函数f（x）的极值点考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值 专题：综合题分析：（1）由已知中函数 ，根据a=2，我们易求出f（3）及f（3）的值，代入即可得到切线的斜率k=f（3）（2）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数的零点，根据m0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数函数f（x）的极值点解答：解：（1）由已知x0（2分）当a=2时，（4分）所以，曲线y=f（x）在（3，f（3）处切线的斜率为，（6分）（2）（8分）由f（x）=0得x=1或x=a，（9分）当0a1时，当x（0，a）时，f（x）0，函数f（x）单调递增；当x（a，1）时，f（x）0，函数f（x）单调递减；当x（1，+）时，f（x）0，函数f（x）单调递增此时x=a是f（x）的极大值点，x=1是f（x）的极小值点（10分）当a1时，当x（0，1）时，f（x）0，函数f（x）单调递增；当x（a，1）时，f（x）0，函数f（x）单调递减；当x（a，+）时，f（x）0，函数f（x）单调递增此时x=1是f（x）的极大值点，x=a是f（x）的极小值点（13分）综上，当0a1时，x=a是f（x）的极大值点，x=1是f（x）的极小值点；当a=1时，f（x）没有极值点；当a1时，x=1是f（x）的极大值点，x=a是f（x）的极小值点点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知函数的解析式求出导函数的解析式是解答本题的关键，还考查利用导函数来研究函数的极值在利用导函数来研究函数的极值时，分三步求导函数，求导函数为0的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值19（14分）已知椭圆c：+=1（ab0）的一个顶点为a（