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在两个函数定义域中,存在一个与任意一个对函数值域关系的影响 李玉春 吴远红对两个函数y=f(x)、y=g(x), 若任意一个自变量, 存在一个自变量,使得g()f(). 则隐含着两函数存在关系,对函数值构成的集合是函数y=f(x)的值域; 使得g()f(),说明f()也是y=g(x)值域中的值,即函数y=f(x)的值域是y=g(x)值域的子集.能够从题意中概括总结出两者值域的关系，是解决此类问题的关键，可以从以下例子中体会此类问题的解决方法例1.已知函数f（x）=ax+lnx，x（1，e），且f（x）有极值（1）求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）的值域；（3）函数g（x）=-x-2，证明：（1，e），（1，e），使得g（）=f（）成立分析:（1）由f（x）=ax+lnx求导，再由f（x）有极值知f（x）=0解，且在两侧导函数正负相异求解（2）由（）可知f（x）的极大值为f()=-1+ln( )，再求得端点值f（1）=a，f（e）=ae+1，比较后取最小值和最大值，从而求得值域（3）证明：由：（1，e），（1，e），使得g（）=f（）,即研究：f（x）的值域是g（x）的值域的子集，所以分别求得两函数的值域即可解：（1）由f（x）=ax+lnx求导可得：f(x)=a+ 令f(x)=a+ =0，可得a=-x（1，e），- (-1，- )a(-1，- )又因为x（1，e）所以，f（x）有极值，实数a的取值范围为(-1，-)（2）由（）可知f（x）的极大值为f()=-1+ln( )又f（1）=a，f（e）=ae+1由aae+1，解得a 又-1 -当-1a 时，函数f（x）的值域为（ae+1，-1+ln（）当 a-时，函数f（x）的值域为（a，-1+ln（）（3）证明：由g（x）=-x-2求导可得g（x）=3-1令g（x）=3-1=0，解得x= 令g（x）=3-10，解得x- 或x 又x(1，e)( ，+)g（x）在（1，e）上为单调递增函数g（1）=-2，g（e）=-e-2g（x）在x（1，e）的值域为（-2，-e-2）-e-2-1+ln()，-2ae+1，-2a(ae+1，-1+ln()(-2，-e-2)，(a，-1+ln( )(-2，-e-2)（1，e），（1，e），使得g（）=f（）成立分析:（1）先对函数进行求导，根据函数在x=1，x=取得极值，则f(1)=0，f()=0，代入可求a，b的值(2)由题意得,g(x)的最小值大于或等于f(x)的最小值,从另一角度看,g(x)的值域是f(x)值域的子集. 解：（1）f(x)=2ax- +1nx，f(x)=2a+f（x）在x=1，x= 处取得极值，f(1)=0，f( )=0即 2a+b+1=0 2a+4b+2=0 解得 a=- b=- 所求a、b的值分别为-，-(2)
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