北京市东城区高三数学下学期综合练习（二）理（东城二模）（含解析）北师大版.doc

北京市东城区2013届高三5月综合练习（二）数学（理）试题一、本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）（2013东城区二模）已知集合a=x|x（x1）0，xr，b=x|2x2，xr，那么集合ab是（）abx|0x1，xrcx|2x2，xrdx|2x1，xr考点：交集及其运算专题：计算题分析：先求解一元二次不等式化简集合a，然后直接利用交集的运算求解解答：解：由x（x1）0，得0x1所以a=x|x（x1）0，xr=x|0x1，又b=x|2x2，xr，所以ab=x|0x1，xrx|2x2，xr=x|0x1，xr故选b点评：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题2（5分）（2013东城区二模）如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90）90，100），则图中x的值等于（）a0.754b0.048c0.018d0.012考点：频率分布直方图专题：图表型分析：根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；解答：解：由图得300.006+100.01+100.054+10x=1，解得x=0.018故选c点评：本题主要考查了频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图中各组累积频率和为1是解答的关键3（5分）（2013东城区二模）已知圆的极坐标方程是=2cos，那么该圆的直角坐标方程是（）a（x1）2+y2=1bx2+（y1）2=1c（x+1）2+y2=1dx2+y2=2考点：点的极坐标和直角坐标的互化专题：计算题分析：利用x=cos，2=x2+y2，将曲线c的极坐标方程是=2cos，两边同乘，化成直角坐标方程解答：解：曲线c的极坐标方程是=2cos，所以2=2cos，它的直角坐标方程是：x2+y2=2x，即：（x1）2+y2=1故选a点评：本题是基础题，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，送分题4（5分）（2013东城区二模）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（）a1b2c3d4考点：由三视图还原实物图专题：空间位置关系与距离分析：由题意可知，几何体为三棱锥，将其放置在长方体模型中即可得出正确答案解答：解：由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示（图中红色部分），利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形故选d点评：本题考查学生的空间想象能力，由三视图还原实物图，是基础题5（5分）（2013东城区二模）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为25时，输出x的值为（）a1b2c3d4考点：程序框图专题：图表型分析：根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x|1时跳出循环，输出结果解答：解：当输入x=25时，|x|1，执行循环，x=1=4；|x|=41，执行循环，x=1=1，|x|=1，退出循环，输出的结果为x=31+1=4故选d点评：本题考查循环结构的程序框图，搞清程序框图的算法功能是解决本题的关键，按照程序框图的顺序进行执行求解，属于基础题6（5分）（2013东城区二模）已知sin（）=，那么sin2x的值为（）abcd考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦专题：三角函数的求值分析：利用诱导公式把啊哟球的式子化为cos（2x），再利用二倍角公式求得它的值解答：解：已知sin（）=，sin2x=cos（2x）=12 =12=，故选b点评：本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题7（5分）（2013东城区二模）过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于a，b两点，若|ab|=10，则ab的中点到y轴的距离等于（）a1b2c3d4考点：抛物线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设ab的中点为 e，过 a、e、b 分别作准线的垂线，垂足分别为 c、f、d，如图所示，由ef为直角梯形的中位线及抛物线的定义求出 ef，则 eh=ef1 为所求解答：解：抛物线y2=4x焦点（1，0），准线为 l：x=1，设ab的中点为 e，过 a、e、b 分别作准线的垂线，垂足分别为 c、f、d，ef交纵轴于点h，如图所示：则由ef为直角梯形的中位线知，ef=5，eh=ef1=4，则ab的中点到y轴的距离等于4故选d点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想8（5分）（2013东城区二模）已知函数y=f（x）是定义在r上的奇函数，且当x（，0）时，f（x）+xf（x）0（其中f（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）f（30.3），b=（log3）f（log3），c=（log3）f（log3），则a，b，c的大小关系是（）aabcbcbaccabdacb考点：导数的运算；函数单调性的性质；不等关系与不等式专题：函数的性质及应用分析：构造辅助函数f（x）=xf（x），由导函数判断出其在（，0）上的单调性，而函数f（x）为实数集上的偶函数，则有在（0，+）上的单调性，再分析出，30.3，log3的大小，即可得到答案解答：解：令f（x）=xf（x），则f（x）=f（x）xf（x）因为f（x）+xf（x）0，所以函数f（x）在x（，0）上为减函数因为函数y=x与y=f（x）都是定义在r上的奇函数，所以函数f（x）为定义在实数上的偶函数所以函数f（x）在x（0，+）上为增函数又30.330=1，0=log1log3log=1，则f（|）f（30.3）f（log3）所以（log3）f（log3）（30.3）f（30.3）（log3）f（log3），即cab故选c点评：本题考查了导数的运算，考查了函数的单调性与奇偶性，考查了不等式的大小比较，解答此题的关键是构造出函数f（x），同时运用了偶函数中有f（x）=f（|x|），此题是中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）（2013东城区二模）已知向量=（2，3），=（1，），若，则=考点：平行向量与共线向量专题：平面向量及应用分析：由向量共线可得231=0，解之即可解答：解：=（2，3），=（1，），若，2（3）1=0，解得=故答案为：点评：本题考查向量共线的充要条件，属基础题10（5分）（2013东城区二模）若复数是纯虚数，则实数a的值为1考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z的值，再根据它是纯虚数，求得实数a的值解答：解：复数= 为纯虚数，故有 a1=0，且 a+10，解得 a=1，故答案为 1点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题11（5分）（2013东城区二模）各项均为正数的等比数列an的前n项和为sn，若a3=2，s4=5s2，则a1的值为，s4的值为考点：等比数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程组求出a1和q的值，则s4的值可求解答：解：若等比数列的公比等于1，由a3=2，则s4=4a3=42=8，5s2=52s3=522=20，与题意不符设等比数列的公比为q（q1），由a3=2，s4=5s2，得：，整理得，解得，q=2因为数列an的各项均为正数，所以q=2则故答案为；点评：本题考查了等比数列的前n项和，考查了分类讨论过的数学思想，在利用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比的讨论，此题是基础题12（5分）（2013东城区二模）如图，ab为o的直径，ac切o于点a，且过点c的割线cmn交ab的延长线于点d，若cm=mn=nd，ac=2，则cm=2，ad=2考点：与圆有关的比例线段专题：选作题分析：利用掌握圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理即可得出解答：解：ac切o于点a，cm=mn，ac2=cmcn，cm=2cd=3cm=6ab为o的直径，ac切o于点a，acad在rtacd中，由勾股定理可得=故答案分别为2，点评：熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键13（5分）（2013东城区二模）5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有150种考点：排列、组合及简单计数问题专题：概率与统计分析：根据题意，分2步分析：先将5名志愿者分为3组，有2种分组方法，分为2、2、1的三组，分为3、1、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的地方，由排列数公式可得其对应方法数目；由分步计数原理计算可得答案解答：解：根据题意，先将5名志愿者分为3组，有2种分组方法，分为2、2、1的三组，有=15种方法，分为3、1、1的三组，有=10种方法，则共有10+15=25种分组方法，再将分好的三组对应3个不同的地方，有a33=6种情况，则共有256=150种不同的分配方案；故答案为：150点评：本题考查排列、组合及分步乘法原理的应用，注意本题的分组涉及平均分组与不平均分组，要用对公式14（5分）（2013东城区二模）在数列an中，若对任意的nn*，都有=t（t为常数），则称数列an为比等差数列，t称为比公差现给出以下命题：等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；若数列an满足an=，则数列an是比等差数列，且比公差t=；若数列cn满足c1=1，c2=1，cn=cn1+cn2（n3），则该数列不是比等差数列；若an是等差数列，bn是等比数列，则数列anbn是比等差数列其中所有真命题的序号是考点：命题的真假判断与应用专题：等差数列与等比数列分析：由等比数列的特点，代入可知满足新定义，若等差数列的公差d=0时满足题意，当d0时，不是比等差数列，可知正确；代入新定义验证可知，不满足；由递推公式计算数列的前4项，可得，故该数列不是比等差数列；可举an为0列，则数列anbn为0列，显然不满足定义解答：解：若数列an为等比数列，且公比为q，则=qq=0，为常数，故等比数列一定是比等差数列，若数列an为等差数列，且公差为d，当d=0时，=11=0，为常数，是比等差数列，当d0时，不为常数，故不是比等差数列，故等差数列不一定是比等差数列，故正确；若数列an满足an=，则=不为常数，故数列an不是比等差数列，故错误；若数列cn满足c1=1，c2=1，cn=cn1+cn2（n3），可得c3=2，c4=3，故=1，=，显然，故该数列不是比等差数列，故正确；若an是等差数列，bn是等比数列，可举an为0列，则数列anbn为0列，显然不满足定义，即数列anbn不是比等差数列，故错误故答案为：点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及等差数列和等比数列以及新定义，属基础题三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）（2013东城区二模）已知函数f（x）=sinx（cosxsinx）（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x（0，）时，求f（x）的取值范围考点：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性专题：三角函数的图像与性质分析：（）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x+），由此求得f（x）的最小正周期（） 因为 0x，根据正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的取值范围解答：解：（）因为函数f（x）=sinx（cosxsinx）=sinxcosxsin2x=sin2x=sin2x+cod2x=sin（2x+），所以，f（x）的最小正周期 t=（） 因为 0x，所以，2x+，1sin（2x+）1，sin（2x+），所以，f（x）的取值范围是 （，点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题16（13分）（2013东城区二模）某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级测试结果如下表：（单位：人）优秀良好合格男1807020女120a30按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人（1）求a的值；（2）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记x为抽取女生的人数，求x的分布列及数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率专题：概率与统计分析：（i）利用分层抽样的计算公式即可得出，进而求出a的值；（ii）由题意，x所有取值0，1，2在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生数=，抽取的女生数=52=3根据古典概型的概率计算公式分别计算出概率，即可得到分布列及数学期望解答：解：（）设该年级共n人，由题意得，解得n=500则a=500（180+120+70+20+30）=80（）依题意，x所有取值0，1，2在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生数=，抽取的女生数=52=3p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=2）=x的分布列为：x012pex=点评：熟练掌握分层抽样的意义及其计算公式、古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望是解题的关键17（14分）（2013东城区二模）如图，bcd是等边三角形，ab=ad，bad=90，将bcd沿bd折叠到bcd的位置，使得adcb（1）求证：adac；（2）若m，n分别是bd，cb的中点，求二面角namb的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质专题：空间向量及应用分析：（1）根据题目给出的条件，bad=90，adcb，利用线面垂直的判定得到线面垂直，从而得到线线垂直；（2）由（1）得到ab，ad，ac两两互相垂直，以a点为坐标原点建立空间直角坐标系后，解出相应点的坐标，求出两个平面amn和abm的法向量，利用平面法向量求二面角namb的余弦值解答：（1）证明：因为bad=90，所以adab，又因为cbad，且abcb=b，所以ad平面cab，因为ac平面cab，所以adac（2）因为bcd是等边三角形，ab=ad，bad=90，不防设ab=1，则bc=cd=bd=，又因为m，n分别为bd，cb的中点，由此以a为原点，ab，ad，ac所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系axyz则有a（0，0，0），b（1，0，0），d（0，1，0），c（0，0，1），所以，设平面amn的法向量为则，即，令x=1，则y=z=1所以又平面abm的一个法向量为所以所以二面角namb的余弦值为点评：本题考查了直线与平面垂直的判定及性质，考查了利用空间向量求解二面角的问题，解答的关键是建立正确的空间坐标系，即符合右手系，同时注意两平面法向量所成的角与二面角的关系，是中档题18（14分）（2013东城区二模）已知函数f（x）=lnx+（a0）（1）求f（x）的单调区间；（2）如果p（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以p（x0，y0）为切点的切线的斜率k恒成立，求实数a的最小值；（3）讨论关于x的方程f（x）=的实根情况考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：（1）求出原函数的定义域，求出函数的导函数，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数的符号得原函数的单调区间；（2）把原函数求导后直接得到斜率的表达式，代入k后把参数a分离出来，然后利用二次函数求最值得到实数a的最小值；（3）把f（x）=lnx+代入f（x）=，整理后得，讨论原方程的根的情况，即讨论方程的根的情况，引入辅助函数，求导得到函数在（0，+）上的最大值，由最大值大于0，等于0，小于0分析b的取值情况解答：解：（）函数f（x）=lnx+（a0）的定义域为（0，+），则因为a0，由f（x）0得x（a，+），由f（x）0得x（0，a），所以f（x）的单调递增区间为（a，+），单调递减区间为（0，a）（）由题意，以p（x0，y0）为切点的切线的斜率k满足（x00），所以对x00恒成立又当x00时，所以a的最小值为（）由f（x）=，即化简得（x（0，+）令，则当x（0，1）时，h（x）0，当x（1，+）时，h（x）0，所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减所以h（x）在x=1处取得极大值即最大值，最大值为所以 当b0，即b0时，y=h（x） 的图象与x轴恰有两个交点，方程f（x）=有两个实根，当b=0时，y=h（x） 的图象与x轴恰有一个交点，方程f（x）=有一个实根，当b0时，y=h（x） 的图象与x轴无交点，方程f（x）=无实根点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在求最值中的应用，训练了分离变量法求参数的取值范围，考查了数学转化思想和分类讨论的数学思想，属难度稍大的题型19（13分）（2013东城区二模）已知椭圆c：（ab0）的离心率e=，原点到过点a（a，0），b（0，b）的直线的距离是（1）求椭圆c的方程；（2）若椭圆c上一动点p（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为p1（x1，y1），求x12+y12的取值范围（3）如果直线y=kx+1（k0）交椭圆c于不同的两点e，f，且e，f都在以b为圆心的圆上，求k的值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）利用椭圆的离心率，a2=b2+c2，及其点到直线的距离公式即可得到a，b；（2）利用轴对称即可得到点p（x0，y0）与其对称点p1（x1，y1）的坐标之间的关系，再利用点p（x0，y0）满足椭圆c的方程：得到关系式，进而即可求出；（3）设e（x2，y2），f（x3，y3），ef的中点是m（xm，ym），则bmef得到关系式，把直线ef的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系即可解答：解：（1），a2=b2+c2，a=2b原点到直线ab：的距离，解得a=4，b=2故所求椭圆c的方程为（2）点p（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为点p1（x1，y1），解得 ，点p（x0，y0）在椭圆c：上，4x04，的取值范围为4，16（3）由题意消去y，整理得（1+4k2）x2+8kx12=0可知0设e（x2，y2），f（x3，y3），ef的中点是m（xm，ym），则，则，ym=kxm+1=xm+kym+2k=0即又k0，点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式等知识与方法，熟悉解题模式是解题的关键20（13分）（2013东城区二模）已知数列an，a1=1，a2n=an，a4