北京市东城区高二数学上学期期末考试试题 理.doc

北京市东城区2015-2016学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）本试卷共100分，考试时长120分钟。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知，则直线ab的斜率为（ ）a. 2b. 1c. d. 不存在2. 圆心为且过点的圆的方程是（ ）a. b. c. d. 3. 已知直线与直线互相垂直，则（ ）a. 1b. c. 1d. 44. 已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）a. 若，n，则mnb. 若m，则mnc. 若m，mn，则nd. 若m，mn，则n5. 双曲线的实轴长是（ ）a. 2b. c. 4d. 6. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）a. 1b. 2c. 3d. 47. 在平面直角坐标系中，m为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线om斜率的最小值为（ ）a. b. c. 1d. 28. 已知抛物线的焦点为f，是c上一点，则（ ）a. 1b. 2c. 4d. 89. 过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）a. b. c. d. 10. 点p到图形c上每一个点的距离的最小值称为点p到图形c的距离，那么平面内到定圆c的距离与到定点a的距离相等的点的轨迹不可能是（ ）a. 圆b. 椭圆c. 双曲线的一支d. 直线二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 双曲线的两条渐近线的方程为_。12. 以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，若等腰直角三角形的直角边长为1，则所得圆锥的侧面积等于_。13. 已知，则_。14. 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽_米。15. 设椭圆的左、右焦点分别为，p为直线上一点，是底角为30的等腰三角形，则c的离心率为_。16. 如图，在棱长为1的正方体中，点e、f分别是棱bc，的中点，p是侧面内一点，若平面aef，则线段长度的取值范围是_。三、解答题（本大题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）如图，在四棱锥中，底面abcd是菱形，papb，且侧面pab平面abcd，点e是ab的中点。（）求证：cd平面pab；（）求证：pead。18.（本小题满分10分）已知圆c经过两点，且圆心在直线上。（）求圆c的方程；（）设直线经过点（2，2），且与圆c相交所得弦长为，求直线的方程。19.（本小题满分10分）已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为，且它的对角线的交点为，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程。20.（本小题满分11分）如图，pa平面abc，abbc，为pb的中点。（）求证：am平面pbc；（）求二面角的余弦值；（）证明：在线段pc上存在点d，使得bdac，并求的值。21.（本小题满分11分）已知椭圆的中心在坐标原点o，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点f与x轴不垂直的直线交椭圆于p，q两点。（）求椭圆的方程；（）当直线的斜率为1时，求poq的面积；（）在线段of上是否存在点，使得以mp，mq为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。【试题答案】一、选择题1. a2. d3. c4. b5. c6. b7. a8. a9. d10. d二、填空题11. 12. 13. 14. 15. 16. 三、解答题17. 解：（）因为底面abcd是菱形，所以cdab。2分又因为平面pab，4分且平面pab，所以cd平面pab。5分（）因为papb，点e是ab的中点，所以peab。6分因为平面pab平面abcd，平面平面abcdab，平面pab，8分所以pe平面abcd。9分因为平面abcd，所以pead。10分18. 解：（）设圆c的圆心坐标为，依题意，有，即，解得，2分所以，4分所以圆c的方程为。5分（）依题意，圆c的圆心到直线的距离为1，所以直线符合题意。6分设直线方程为，即，则，解得，所以直线的方程为，即。9分综上，直线的方程为或。10分19. 解：联立两条直线的方程，得到方程组解此方程组，得如图，平行四边形abcd的一个顶点是。2分设，由题意，点m（3，3）是线段ac的中点，所以，4分解得。5分由已知，直线ad的斜率，因为直线bcad，所以，直线bc的方程为，即。7分由已知，直线ab的斜率为。因为直线cdab，所以，直线cd的方程为，即。9分因此，其他两边所在直线的方程是。10分20. 解：（）因为pa平面abc，平面abc，所以pabc，因为bcab，所以bc平面pab，又平面pab，所以ambc，因为paab，m为pb的中点，所以ampb，又，所以am平面pbc。3分（）如图，在平面abc内，作azbc，则两两互相垂直，建立空间直角坐标系，则，。，设平面apc的法向量为，则即令，则，所以。5分由（）可知为平面bpc的法向量，设的夹角为，则，因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为。7分（）设是线段pc上一点，且，即，所以，所以，由，得。9分因为，所以在线段pc上存在点d，使得bdac，此时，。11分21. 解：（）由已知，椭圆方程可设为。1分因为两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，所以。所求椭圆方程为。3分（）因为直线过椭圆右焦点，且斜率为1，所以直线的方程为。4分设。由得，解得，所以。6分（）假设