北京市东城区普通示范校高三数学下学期模拟试卷 理（含解析）.doc

北京市东城区普通示范校2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设u=r，集合a=x|x0，b=xz|x240，则下列结论正确的是( )a（ua）b=2，1，0b（ua）b=（，0c（ua）b=1，2dab=（0，+）2双曲线=1（0m3）的焦距为( )a6b12c36d23设二项式（x）4的展开式中常数项为a，则a=( )a6b4c4d64如图所示的程序框图表示求算式“235917”之值，则判断框内不能填入( )ak17？bk23ck28？dk33？5已知f（x）=4|x|+x2+a有唯一的零点，则实数a的值为( )a0b1c2d36设a，b，c，a，b，c为非零常数，则“ax2+bx+c0与ax2+bx+c0解集相同”是“”的( )a既不充分也不必要条件b充分必要条件c必要而不充分条件d充分而不必要条件7设集合p=（x，y）|，集合q=（x，y）|x2y2，若pq，则实数m的取值范围是( )a（，）b（，+）c，）d，+）8已知f（x）=不等式f（x+a）f（2ax）在a，a+1上恒成立，则实数a的取值范围是( )a（2，0）b（，0）c（0，2）d（，2）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9复数的虚部为_10已知某个几何体的三视图如图所示（正视图弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是_cm311如图，abc内接于o，点d在oc的延长线上，ad与o相切，割线dm与o相交于点m，n，若b=30，ac=1，则dmdn=_12某市电信宽带私人用户月收费标准如下表：假定每月初可以和电信部门约定上网方案方案类别基本费用超时费用甲包月制70元乙有限包月制（限60小时）50元0.05元/分钟（无上限）丙有限包月制（限30小时）30元0.05元/分钟（无上限）若某用户每月上网时间为66小时，应选择_方案最合算13数列an的前n项和记为sn，若a1=，2an+1+sn=0，n=1，2，则数列an的通项公式为an=_14圆o的半径为1，p为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点a与点p重合）沿圆周逆时针滚动，点a第一次回到点p的位置，则点a走过的路径的长度为_三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤）15在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosbsinc+（asinb）cos（a+b）=0（1）求c的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角a，b的值16如图，四棱锥pabcd中，pa平面abcd，abc=bad=90，ad=2pa=2ab=2bc=2（）求三棱锥pacd的外接球的体积；（）求二面角bpca与二面角apcd的正弦值之比17设集合s=1，2，3，4，5，从5的所有非空子集中，等可能的取出一个（1）设as，若xa，则6xa，就称子集a满足性质p，求所取出的非空子集满足性质p的概率；（2）所取出的非空子集的最大元素为，求的分布列和数学期望e（）18如图，已知椭圆w：+=1的左焦点为f（m，0），过点m（3，0）作一条斜率大于0的直线l与椭圆w交于不同的两点a、b，延长bf交椭圆w于点c（1）求椭圆w的离心率；（2）若mac=60，求直线l的斜率19已知定义在（1，+）上的函数f（x）=xlnx2，g（x）=xlnx+x（1）求证：f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（2）若kz，且g（x）k（x1）对任意的x1恒成立，求k的最大值20给定正奇数n（n5），数列an：a1，a2，an是1，2，n的一个排列，定义e（a1，a2，an）=|a11|+|a22|+|ann|为数列an：a1，a2，an的位差和（）当n=5时，求数列an：1，3，4，2，5的位差和；（）若位差和e（a1，a2，an）=4，求满足条件的数列an：a1，a2，an的个数；（）若位差和e（a1，a2，an）=，求满足条件的数列an：a1，a2，an的个数北京市东城区普通示范校2015届高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设u=r，集合a=x|x0，b=xz|x240，则下列结论正确的是( )a（ua）b=2，1，0b（ua）b=（，0c（ua）b=1，2dab=（0，+）考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：由集合a得ua=x|x0，集合b=xz|x240=2，1，0，1，2，即得结论解答：解：由题意可得ua=x|x0，b=2，1，0，1，2，所以（ua）b=2，1，0，（ua）b=x|x0或x=1或x=2，ab=x|x0或x=1或x=2，故选：a点评：本题考查集合的运算，解题时要认真解题，属基础题2双曲线=1（0m3）的焦距为( )a6b12c36d2考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：判断双曲线的焦点在x轴上，求得a，b，再由a，b，c的关系，求得c=6，再由焦距2c即可得到解答：解：双曲线=1（0m3）的焦点在x轴上，即有a=，b=m，c=6，则焦距2c=12故选b点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦距，运用双曲线的a，b，c的关系是解题的关键3设二项式（x）4的展开式中常数项为a，则a=( )a6b4c4d6考点：二项式定理的应用 专题：计算题；二项式定理分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值解答：解：由二项式定理可知，展开式的第r+1项为tr+1=，令=0，则r=3，a=4故选：b点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题4如图所示的程序框图表示求算式“235917”之值，则判断框内不能填入( )ak17？bk23ck28？dk33？考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知235917五个数的积故程序只需运行5次运行5次后，k值变为33，即可得答案解答：解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“235917”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，235917五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k33，或者k22故选：d点评：本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果5已知f（x）=4|x|+x2+a有唯一的零点，则实数a的值为( )a0b1c2d3考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：根据解析式得出x0时，f（x）=4x+x2+a，可知f（x）此时为增函数，x0时，f（x）=4|x|+x2+a此时为减函数，可判断：f（x）=4|x|+x2+a，在x=0时，取最小值f（0）=1+a，求解即可得出答案解答：解；f（x）=4|x|+x2+a，f（x）=f（x）f（x）=4|x|+x2+a为偶函数，x0时，f（x）=4x+x2+a，根据函数解析式判断f（x）此时为增函数，x0时，f（x）=4|x|+x2+a此时为减函数，可判断：f（x）=4|x|+x2+a，在x=0时，取最小值f（0）=1+a，f（x）=4|x|+x2+a有唯一的零点，只能是f（0）=0，a+1=0，a=1，故选：b点评：本题考查了函数的对称，单调性，奇偶性，根据最小值，判断零点问题，综合性大，但是计算难度不大6设a，b，c，a，b，c为非零常数，则“ax2+bx+c0与ax2+bx+c0解集相同”是“”的( )a既不充分也不必要条件b充分必要条件c必要而不充分条件d充分而不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可解答：解：若=m，（m0），则a=ma，b=mb，c=mc，不等式ax2+bx+c0等价为m（ax2+bx+c）0，若m0，则m（ax2+bx+c）0，等价为ax2+bx+c0，此时两个不等式的解集相同，若m0，m（ax2+bx+c）0，等价为ax2+bx+c0，此时两个不等式的解集不相同若两个不等式的解集为时，则两个不等式的系数之间没有关系，“ax2+bx+c0与ax2+bx+c0解集相同”是“”的既不充分也不必要条件故选：a点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的解法与系数之间的关系是解决本题的关键，比较基础7设集合p=（x，y）|，集合q=（x，y）|x2y2，若pq，则实数m的取值范围是( )a（，）b（，+）c，）d，+）考点：集合的包含关系判断及应用 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用；集合分析：作集合p=（x，y）|与集合q=（x，y）|x2y2的平面区域，从而由pq及p可解得m解答：解：由题意，作集合p=（x，y）|与集合q=（x，y）|x2y2的平面区域如下，由解得，x=，y=；由解得，x=，y=；故m；故选：c点评：本题考查了线性规划的应用及集合间相互关系的应用，属于基础题8已知f（x）=不等式f（x+a）f（2ax）在a，a+1上恒成立，则实数a的取值范围是( )a（2，0）b（，0）c（0，2）d（，2）考点：分段函数的应用；函数恒成立问题 专题：函数的性质及应用分析：由分段函数知，分两部分讨论函数的单调性，从而可得f（x）在r上是减函数，化恒成立问题为x+a2ax在a，a+1上恒成立；从而化为最值问题即可解答：解：当x0时，f（x）=x24x+3=（x2）21，故f（x）在（，0上是减函数；当x0时，f（x）=x22x+3=（x+1）2+4，故f（x）在（0，+）上是减函数；又（02）21=（0+1）2+4，f（x）在r上是减函数，不等式f（x+a）f（2ax）在a，a+1上恒成立可化为x+a2ax在a，a+1上恒成立；即2xa在a，a+1上恒成立，故2（a+1）a，解得，a2；故选d点评：本题考查了分段函数的性质应用及分段函数的单调性的判断，同时考查了恒成立问题化为最值问题，属于中档题二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9复数的虚部为1考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案解答：解：=，复数的虚部为1故答案为：1点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题10已知某个几何体的三视图如图所示（正视图弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是8+cm3考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：三视图复原几何体是一个组合体，上部是圆柱的一半，下部是正方体，根据三视图的数据，求出几何体的体积解答：解：三视图复原几何体是一个组合体，上部是圆柱的一半，底面是一个半圆，半径为1，高为2的半圆柱；下部是正方体，棱长为2，；正方体体积是：8；半圆柱的体积为：；所以组合体的体积：8+；故答案为8+点评：本题考查由三视图求组合体的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题11如图，abc内接于o，点d在oc的延长线上，ad与o相切，割线dm与o相交于点m，n，若b=30，ac=1，则dmdn=3考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；立体几何分析：根据同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系，得到aoc=60，根据含有60角的等腰三角形是一个等边三角形，可得aoc是等边三角形，从而得到oa=ac=1，利用勾股定理求得ad的长，利用切割线定理求dmdn解答：解：b=30，aoc与b同时对应着弧ac，aoc=60oa=oc，aoc是等边三角形，oa=ac=1，oad=90，d=30ad=ao=，ad与o相切，割线dm与o相交于点m，n，ad2=dmdn=3故答案为：3点评：本题考查和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，考查切割线定理，本题解题的关键是应用含有30角的直角三角形的性质做出有关的数据，是一个基础题12某市电信宽带私人用户月收费标准如下表：假定每月初可以和电信部门约定上网方案方案类别基本费用超时费用甲包月制70元乙有限包月制（限60小时）50元0.05元/分钟（无上限）丙有限包月制（限30小时）30元0.05元/分钟（无上限）若某用户每月上网时间为66小时，应选择乙方案最合算考点：函数模型的选择与应用 专题：应用题；函数的性质及应用分析：由题意，分别求方案甲，乙，丙的每月收费，从而比较可得解答：解：由题意，假定按方案甲收费，则每月收费70元；假定按方案乙收费，则每月收费50+0.05660=68（元）；假定按方案丙收费，则每月收费30+0.053660=138（元）；故应选择乙方案最合算；故答案为：乙点评：本题考查了函数的模型的应用，属于基础题13数列an的前n项和记为sn，若a1=，2an+1+sn=0，n=1，2，则数列an的通项公式为an=an=考点：数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：根据数列的递推关系结合an，sn之间的关系，利用作差法即可得到结论解答：解：由a1=，2an+1+sn=0得当n2时，2an+sn1=0，两式相减得2an+1+sn2ansn1=0，即2an+1+an2an=0，则2an+1=an，则=，（n2）当n=1时，2a2+s1=0，即a2=，则=，不满足=，（n2）当n2时，an=a2=（）n，综上an=故答案为：an=点评：本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列的递推关系，利用作差法是解决本题的关键14圆o的半径为1，p为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点a与点p重合）沿圆周逆时针滚动，点a第一次回到点p的位置，则点a走过的路径的长度为考点：弧长公式 专题：三角函数的求值分析：由图可知：圆o的半径r=1，正方形abcd的边长a=1，以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点a首次回到点p的位置时，正方形滚动了3圈共12次，分别算出转4次的长度，即可得出解答：解：由图可知：圆o的半径r=1，正方形abcd的边长a=1，以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点a首次回到点p的位置时，正方形滚动了3圈共12次，设第i次滚动，点a的路程为ai，则a1=|ab|=，a2=|ac|=，a3=|da|=，a4=0，点a所走过的路径的长度为3（a1+a2+a3+a4）=故答案为：点评：本题考查了正方形与圆的性质、旋转的性质、弧长的计算公式，考查了数形结合、分类讨论的思想方法，考查了分析问题与解决问题的能力，属于难题三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤）15在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosbsinc+（asinb）cos（a+b）=0（1）求c的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角a，b的值考点：余弦定理的应用 专题：三角函数的求值；解三角形分析：（1）利用三角形的内角转化为a的三角函数，利用两角和的正弦函数求解结合正弦定理求出表达式，求出结合即可（2）由余弦定理以及基本不等式求解最值即可解答：解：（1）cosbsinc+（asinb）cos（a+b）=0可得：cosbsinc（asinb）cosc=0即：sinaacosc=0由正弦定理可知：，asincacosc=0，sinccosc=0，可得sin（c）=0，c是三角形内角，c=（2）由余弦定理可知：c2=a2+b22abcosc，得1=a2+b2ab又，即：当时，a2+b2取到最大值为2+点评：本题考查三角形的最值，余弦定理的应用，正弦定理的应用，考查计算能力16如图，四棱锥pabcd中，pa平面abcd，abc=bad=90，ad=2pa=2ab=2bc=2（）求三棱锥pacd的外接球的体积；（）求二面角bpca与二面角apcd的正弦值之比考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（i）连接ac，通过已知条件及勾股定理可得accd，进而可得三棱锥pacd外接球的球心为pd中点e，利用球的体积公式计算即可；（ii）以点a为坐标原点，分别为x、y、z轴正方向建立坐标系，二面角bpca的余弦值即为平面pbc的法向量与平面pac的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，通过cd平面pac可得二面角apcd为直二面角，计算即可解答：解：（i）连接ac，abc=bad=90，ad=2pa=2ab=2bc=2，cd=，ac=，accd，又pa平面abcd，pacd，cd平面pac，又pc平面pac，pcd=90，而pad=90，从而三棱锥pacd外接球的球心为pd中点e，直径，三棱锥pacd外接球的体积；（ii）建立坐标系，以点a为坐标原点，分别为x、y、z轴正方向，则b（1，0，0），c（1，1，0），d（0，2，0），p（0，0，1），设平面pbc的法向量=（x，y，z），则，即，可取=（1，0，1），由（i）知cd平面pac，故平面pac的一个法向量为=（1，1，0），所以=二面角bpca的大小为，其正弦值为，由cd平面pac，得平面pcd平面pac，二面角apcd为直二面角，其正弦值为1，综上，二面角bpca与二面角apcd的正弦值之比为点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的计算，勾股定理，球的体积的计算，考查空间想象能力，计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题17设集合s=1，2，3，4，5，从5的所有非空子集中，等可能的取出一个（1）设as，若xa，则6xa，就称子集a满足性质p，求所取出的非空子集满足性质p的概率；（2）所取出的非空子集的最大元素为，求的分布列和数学期望e（）考点：离散型随机变量的期望与方差；元素与集合关系的判断 专题：概率与统计分析：（1）基本事件总数n=31，满足条件的a的集合共有m=7个，由此能求出所取出的非空子集满足性质p的概率（2）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望e（）解答：解：（1）基本事件总数n=31，设as，若xa，则6xa，a的集合为：1，5，2，4，3，1，3，5，2，3，4，1，2，4，5，1，2，3，4，5，共有m=7个，所取出的非空子集满足性质p的概率p=（2）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4，5则p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=，p（=4）=，p（=5）=，故的分布列为： 1 2 3 45 p从而e=点评：本题考查等可能事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题18如图，已知椭圆w：+=1的左焦点为f（m，0），过点m（3，0）作一条斜率大于0的直线l与椭圆w交于不同的两点a、b，延长bf交椭圆w于点c（1）求椭圆w的离心率；（2）若mac=60，求直线l的斜率考点：直线与圆锥曲线的关系 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：对第（1）问，由左焦点f（m，0）知，焦点在x轴上，再根据a2=b2+c2，得m的等量关系，于是得m的值，从而解得a，c的值，再由，可得离心率对第（2）问，设直线l的方程为y=kx+b，a，b的坐标分别为（x1，k（x1+3），（x2，k（x2+3），先证a关于x轴对称的点为c，即得mac为等腰三角形，由mac=60知，mac为正三角形，最后由k=tanamo，得直线l的斜率解答：解：（1）由左焦点f（m，0）知，焦点在x轴上，且a2=2m+100，b2=m220，a2c2，a2b2，m0，由a2=b2+c2，得2m+10=m22+m2，解得m=3（舍去），或m=2，从而，c=m=2，故椭圆w离心率（2）设直线l的方程为y=kx+b，a（x1，k（x1+3），b（x2，k（x2+3），则点a关于x轴对称的点为c（x1，k（x1+3）下面证明b，f，c三点共线：只需证bf的斜率kbf等于fc的斜率kfc，即证，化简、整理，得2x1x2+5（x1+x2）+12=0由，消去y，整理得（3k2+1）x2+18k2x+27k26=0，由韦达定理，得，将代入式左边，得=，即式成立，故b，f，c三点共线，c与c重合，am=cm，又mac=60，mac为正三角形，k=，即直线l的斜率为点评：本题考查了椭圆方程的求法，对直线与椭圆相交问题的处理方法等，常见思路是：1、设直线方程及交点坐标；2、联立直线与椭圆的方程消元，利用韦达定理进行整体代入，得到含参数的表达式或方程；3、确定参数的值或范围19已知定义在（1，+）上的函数f（x）=xlnx2，g（x）=xlnx+x（1）求证：f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（2）若kz，且g（x）k（x1）对任意的x1恒成立，求k的最大值考点：函数零点的判定定理；函数恒成立问题 专题：函数的性质及应用分析：（1）令f（x）=0，得：x2=lnx，画出函数y=x2，y=lnx的图象，读出即可；（2）将问题转化为k在x1上恒成立，令h（x）=，求出最小值即可解答：（1）证明：令f（x）=0，得：x2=lnx，画出函数y=x2，y=lnx的图象，如图示：f（x）存在唯一的零点，又f（3）=1ln30，f（4）=2ln4=2（1ln2）0，零点属于（3，4）；（2）解：由g（x）k（x1）对任意的x1恒成立，得：k，（x1），令h（x）=，（x1），则h（x）=，设f（x0）=0，则由（1）得：3x04，h（x）在（1，x0）递减，在（x0，+）递增，而3h（3）=4，h（4）=4，h（x0）4，k的最大值是3点评：本题考查了函数的零点问题，考查了函数恒成立问题，是一道中档题20给定正奇数n（n5），数列an：a1，a2，an是1，2，n的一个排列，定义e（a1，a2，an）=|a11|+|a22|+|ann|为数列an：a1，a2，an的位差和（）当n=5时，求数列an：1，3，4，2，5的位差和；（）若位差和e（a1，a2，an）=4，求满足条件的数列an：a1，a2，an的个数；（）若位差和e（a1，a2，an）=，求满足条件的数列an：a1，a2，an的个数考点：数列的应用 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（）把a1，a3，a4，a2，a5分别代入e（a1，a2，an）=|a11|+|a22|+|ann|进行解答即可；（）分两种情况进行讨论：当ai=i+1，ai+1=i，aj=j+1，aj+1=j，且ai，ai+1aj，aj+1=，其他项ak=k（其中ki，i+1，j，j+1）时和当ai，ai+1，ai+2分别等于i+2，i+1，i或i+1，i+2，i或i+2，i+1，其他项ak=k（其中ki，i+1，i+2）；（）此题实际上求位差和e（a1，a2，an）最大值为，且给出取得最大值时，数列an：a1，a2，an的情况解答：解：（i）e（1，3，4，2，5）=|11|+|32|+|43|+|24|+|55|=4；（ii）若数列an：a1，a2，an的位差和e（a1，a2，an）=4，有如下两种情况：情况一：当ai=i+1，ai+1=i，aj=j+1，aj+1=j，且ai，ai+1aj，aj+1=，其他项ak=k（其中ki，i+1，j，j+1）时，有种可能；情况二：当ai，ai+1，ai+2分别等于i+2，i+1，i或i+1，i+2，i或i+2，i+1，其他项ak=k（其中ki，i+1，i+2）时，有3（n2）种可能；综上，满足条件的数列an：a1，a2，an的个数为例如：n=5时，情况一：形如2，1，4，3，5，共有2+1=3种：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4；情况二：形如3，2，1，4，5，共有52=3种：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3；形如2，3，1，4，5，共有52=3种：2，3，1，4，5；1，3，4，2，