北京市东城区高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

北京市东城区2015届高三上学期期末数学试卷（理科） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）已知集合a=0，1，b=x|x24，则ab=（）a0，1b0，1，2cx|0x2dx|0x22（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3（5分）（文）若ar，则“a2a”是“a1”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件4（5分）设等差数列an的前n项和为sn，若a3+a9=4，则s11等于（）a12b18c22d445（5分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）a6b8c14d306（5分）已知函数f（x）=，若f（a），则实数a的取值范围是（）abcd7（5分）在空间直角坐标系oxyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）画该四面体三视图中的正视图时，以xoz平面为投影面，则得到正视图可以为（）abcd8（5分）已知圆o：x2+y2=2，直线l：x+2y4=0，点p（x0，y0）在直线l上若存在圆c上的点q，使得opq=45（o为坐标原点），则x0的取值范围是（）abcd二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）若抛物线y2=2px（p0）的焦点到其准线的距离为1，则该抛物线的方程为10（5分）若实数x，y满足则z=3xy的最大值为11（5分）在abc中，a=3，b=60，则c=；abc的面积为12（5分）已知向量，不共线，若（+）（2），则实数=13（5分）已知函数f（x）是r上的奇函数，且f（x+2）为偶函数若f（1）=1，则f（8）+f（9）=14（5分）如图，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，底面abcd为正方形，pd=ad=2，m，n分别为线段ac上的点若mbn=30，则三棱锥mpnb体积的最小值为三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）已知函数部分图象如图所示（）求f（x）的最小正周期及解析式；（）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值16（13分）已知数列an是等差数列，满足a2=3，a5=6，数列bn2an是公比为3等比数列，且b22a2=9（）求数列an和bn的通项公式；（）求数列bn的前n项和sn17（14分）如图，pa平面abc，abbc，ab=pa=2bc=2，m为pb的中点（）求证：am平面pbc；（）求二面角apcb的余弦值；（）证明：在线段pc上存在点d，使得bdac，并求的值18（14分）已知函数f（x）=ax（2a+1）lnx，g（x）=2alnx，其中ar（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）当a0时，求f（x）的单调区间；（3）若存在x，使不等式f（x）g（x）成立，求a的取值范围19（13分）已知椭圆c的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为（）求椭圆c的方程；（）设p是椭圆c长轴上的一个动点，过p作斜率为的直线l交椭圆c于a，b两点，求证：|pa|2+|pb|2为定值20（13分）对于数列a：a1，a2，a3（ain，i=1，2，3），定义“t变换”：t将数列a变换成数列b：b1，b2，b3，其中bi=|aiai+1|（i=1，2），且b3=|a3a1|这种“t变换”记作b=t（a）继续对数列b进行“t变换”，得到数列c：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束（）试问a：2，6，4经过不断的“t变换”能否结束？若能，请依次写出经过“t变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（）设a：a1，a2，a3，b=t（a）若b：b，2，a（ab），且b的各项之和为2012（）求a，b；（）若数列b再经过k次“t变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由北京市东城区2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）已知集合a=0，1，b=x|x24，则ab=（）a0，1b0，1，2cx|0x2dx|0x2考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出b中不等式的解集确定出b，找出a与b的交集即可解答：解：由b中不等式变形得：（x2）（x+2）0，解得：2x2，即b=，a=0，1，ab=0，1故选：a点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：计算题分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限解答：解：复数 =，复数对应的点的坐标是（ ，）复数 在复平面内对应的点位于第一象限，故选a点评：本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在2015届高考题的前几个题目中3（5分）（文）若ar，则“a2a”是“a1”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：运用充分必要条件定义判断求解解答：解：ar，当a2a时，即a1或a0，a1不一定成立当a1时，a2a成立，充分必要条件定义可判断：“a2a”是“a1”的必要不充分条件，故选：b点评：本题考查了充分必要条件定义，很容易判断4（5分）设等差数列an的前n项和为sn，若a3+a9=4，则s11等于（）a12b18c22d44考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的性质结合已知求得a6，再由s11=11a6得答案解答：解：在等差数列an中，由a3+a9=4，得2a6=4，a6=2s11=11a6=112=22故选：c点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题5（5分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）a6b8c14d30考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=54，退出循环，输出s的值为30解答：解：由程序框图可知：k=1，s=2k=2，s=6k=3，s=14k=4，s=30k=54，退出循环，输出s的值为30故选：d点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查6（5分）已知函数f（x）=，若f（a），则实数a的取值范围是（）abcd考点：其他不等式的解法 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：将变量a按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并解答：解：当a0时，2a，解得，1a0；当a0时，解得，0aa（1，0（0，），即为a（1，）故选d点评：本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题7（5分）在空间直角坐标系oxyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）画该四面体三视图中的正视图时，以xoz平面为投影面，则得到正视图可以为（）abcd考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由题意画出几何体的直观图，然后判断以zox平面为投影面，则得到正视图即可解答：解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）几何体的直观图如图，所以以zox平面为投影面，则得到正视图为：故选a点评：本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力8（5分）已知圆o：x2+y2=2，直线l：x+2y4=0，点p（x0，y0）在直线l上若存在圆c上的点q，使得opq=45（o为坐标原点），则x0的取值范围是（）abcd考点：直线与圆相交的性质 专题：直线与圆分析：根据条件若存在圆c上的点q，使得opq=45（o为坐标原点），等价po2即可，求出不等式的解集即可得到x0的范围解答：解：圆o外有一点p，圆上有一动点q，opq在pq与圆相切时取得最大值如果op变长，那么opq可以获得的最大值将变小可以得知，当opq=45，且pq与圆相切时，po=2，而当po2时，q在圆上任意移动，opq45恒成立0因此满足po2，就能保证一定存在点q，使得opq=45，否则，这样的点q是不存在的；点p（x0，y0）在直线x+2y4=0上，x0+2y04=0，即y0=|op|2=x02+y02=x02+（）2=x022x0+44，x022x00，解得，0x0，x0的取值范围是故选：b点评：本题考查点与圆的位置关系，利用数形结合判断出po2，从而得到不等式求出参数的取值范围是解决本题的关键综合性较强，难度较大二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）若抛物线y2=2px（p0）的焦点到其准线的距离为1，则该抛物线的方程为y2=2x考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：首先，写出该抛物线的焦点坐标和准线方程，然后，根据它们之间的距离为为p，根据题意，得p=1，从而得到其方程解答：解：抛物线y2=2px（p0）的焦点为（，0），准线方程为x=，它们之间的距离为p，根据题意，得p=1，所以抛物线的标准方程为：y2=2x故答案为：y2=2x点评：本题重点考查了抛物线的定义、简单几何性质等知识，属于中档题10（5分）若实数x，y满足则z=3xy的最大值为11考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3xy得y=3xz，平移直线y=3xz由图象可知当直线y=3xz经过点a时，直线y=3xz的截距最小，此时z最大，由，解得，即a（3，2），此时z=33（2）=9+2=11，故答案为：11点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键11（5分）在abc中，a=3，b=60，则c=4；abc的面积为3考点：正弦定理；余弦定理 专题：解三角形分析：根据已知和余弦定理可求c的值，从而有三角形的面积公式解得所求解答：解：由余弦定理可得：cosb=，代入已知可得：=，解得c=4，c=1（舍去），sabc=acsinb=3，故答案为：4，3点评：本题主要考察了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查12（5分）已知向量，不共线，若（+）（2），则实数=考点：平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用分析：用向量共线的充要条件是存在实数，及向量相等坐标分别相等列方程求解即可解答：解：向量，不共线，若（+）（2），+=k（2），k=0且1+2k=0解得k=，故答案为：点评：考查向量共线的充要条件的应用考查计算能力13（5分）已知函数f（x）是r上的奇函数，且f（x+2）为偶函数若f（1）=1，则f（8）+f（9）=1考点：函数奇偶性的性质 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由题意可得f（0）=0，f（x）=f（x），f（x+2）=f（x+2）；即f（x）=f（x），f（x）=f（x+4）；从而交替使用以化简解答：解：f（x）是r上的奇函数，且f（x+2）为偶函数，f（0）=0，f（x）=f（x），f（x+2）=f（x+2）；即f（x）=f（x），f（x）=f（x+4）；故f（8）+f（9）=f（8+4）+f（9+4）=f（4）+f（5）=（f（4）+f（5）=（f（0）+f（1）=f（1）=f（1）=1；故答案为：1点评：本题考查了函数的性质的应用，属于基础题14（5分）如图，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，底面abcd为正方形，pd=ad=2，m，n分别为线段ac上的点若mbn=30，则三棱锥mpnb体积的最小值为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：设mbh=，nbh=，根据三角函数关系得到，根据三棱锥的体积公式，结合三角函数的辅助角公式进行求解即可解答：解：由题意值vmpnb=vpmnb=smnb=，过b作bhac于h，如图：易知，当mn取最小值时，m，n一定在点h两边，不妨设mbh=，nbh=，由bh=知，vmpnb=，vmpnb=，当且仅当时，取等号故答案为：点评：本题主要考查空间三棱锥的体积的计算，利用三角函数法，结合三角函数辅助角公式以及三角函数的有界性是解决本题的关键综合性较强，难度较大三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）已知函数部分图象如图所示（）求f（x）的最小正周期及解析式；（）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值考点：函数y=asin（x+）的图象变换；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）由图先求得a，t，的值，当x=时，f（x）=1，可得的值，从而可求f（x）的解析式（2）由函数y=asin（x+）的图象变换可得g（x）=sin（2x），由x，可得2x，即可求函数g（x）在区间上的最大值和最小值解答：解：（1）由图可知，a=1，=，t=，所以=2当x=时，f（x）=1，可得sin（2+）=1|=求f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x+）；（2）由（1）知f（x）=sin（2x+）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）=sin=sin（2x）的图象，故g（x）=sin（2x），x，2x当2x=，即x=时，g（x）有最大值为1；当2x=，即x=0时，g（x）有最小值为；点评：本题主要考察了函数y=asin（x+）的图象变换，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查16（13分）已知数列an是等差数列，满足a2=3，a5=6，数列bn2an是公比为3等比数列，且b22a2=9（）求数列an和bn的通项公式；（）求数列bn的前n项和sn考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（）分解等差数列和等比数列的性质建立方程关系即可求数列an和bn的通项公式；（）利用分组求和法即可求数列bn的前n项和sn解答：解：（）由a2=3，a5=6得，解得a1=2，d=1，则an=2+n1=n+1数列bn2an是公比为3等比数列，且b22a2=9b12a1=b14=3，解得b1=7，则bn2an=33n1=3n，则bn=2an+3n=2（n+1）+3n；（）bn=2an+3n=2（n+1）+3n；数列bn的前n项和sn=+（3+32+33+3n=+=n（3+n）+（3n1）点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列和的求解，利用分组求和法以及等比数列和等差数列的求和公式是解决本题的关键17（14分）如图，pa平面abc，abbc，ab=pa=2bc=2，m为pb的中点（）求证：am平面pbc；（）求二面角apcb的余弦值；（）证明：在线段pc上存在点d，使得bdac，并求的值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）根据线面垂直的判定定理即可证明am平面pbc；（）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角apcb的余弦值；（）根据向量关系，以及直线垂直，利向量法进行求解即可解答：证明：（）因为pa平面abc， bc平面abc，所以pabc因为bcab，paab=a，所以bc平面pab又am平面pab，所以ambc因为pa=ab，m为pb的中点，所以ampb又pbbc=b，所以am平面pbc（）如图，在平面abc内，作azbc，则ap，ab，az两两互相垂直，建立空间直角坐标系axyz则a（0，0，0），p（2，0，0），b（0，2，0），c（0，2，1），m（1，1，0），设平面apc的法向量为，则即令y=1，则z=2所以=（0，1，2）由（）可知=（1，1，0）为平面 的法向量，设，的夹角为，则cos=因为二面角apcb为锐角，所以二面角apcb的余弦值为（）设d（u，v，w）是线段pc上一点，且，（01）即（u2，v，w）=（2，2，1）所以u=22，v=2，w=所以由，得因为，所以在线段pc存在点d，使得bdac此时=点评：本题主要考查空间位置关系的判断，以及利用向量法求二面角的大小以及空间线面垂直的判定，考查学生的推理能力18（14分）已知函数f（x）=ax（2a+1）lnx，g（x）=2alnx，其中ar（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）当a0时，求f（x）的单调区间；（3）若存在x，使不等式f（x）g（x）成立，求a的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质 专题：导数的综合应用分析：（1）把a=2代入函数解析式，求导后求得x=1处的导数值，进一步求得f（1），然后利用直线方程的点斜式求得曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求出原函数的导函数=然后分a=，a，0a三种情况求解函数的单调区间；（3）把f（x）g（x）转化为axlnx0，分离参数a得，构造函数，求函数h（x）在上的最小值得a的取值范围解答：解：（1）当a=2时，f（x）=2x5lnx，f（1）=1，又f（1）=0，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y0=1（x1），即x+y1=0；（2）=当a=时，f（x）0恒成立，函数f（x）在（0，+）上为增函数；当a时，当x时，f（x）0，函数f（x）为增函数；当x时，f（x）0，f（x）为减函数；当0a时，当时，f（x）0，函数f（x）为增函数；当x时，f（x）0，f（x）为减函数；（3）f（x）g（x）等价于ax（2a+1）lnx2alnx，即axlnx0，分离参数a得，令，若存在x，使不等式f（x）g（x）成立，即ah（x）min，当x（0，e）时，h（x）0，h（x）为增函数；当x（e，+）时，h（x）0，h（x）为减函数而h（）=e，h（e2）=h（x）在上的最小值为e，ae点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，是压轴题19（13分）已知椭圆c的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为（）求椭圆c的方程；（）设p是椭圆c长轴上的一个动点，过p作斜率为的直线l交椭圆c于a，b两点，求证：|pa|2+|pb|2为定值考点：椭圆的简单性质 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设椭圆方程为+=1（ab0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程即可得到a=2，b=1，即可得到椭圆方程；（）设p（m，0）（2m2），设直线l的方程是y=（xm）与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用两点间的距离公式即可证明解答：解：（）设椭圆方程为+=1（ab0），由短轴长为2，离心率为，则b=1，=，a2b2=c2，解得a=2，c=，即有椭圆方程为+y2=1；（）证明：设p（m，0）（2m2），直线l的方程是y=（xm），联立椭圆x2+4y2=4，2x22mx+m24=0（*）设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，x1+x2=m，x1x2=，|pa|2+|pb|2=（x1m）2+y12+（x2m）2+y22=（x1m）2+（x1m）2+（x2m）2+（x2m）2=5（定值）点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题20（13分）对于数列a：a1，a2，a3（ain，i=1，2，3），定义“t变换”：t将数列a变换成数列b：b1，b2，b3，其中bi=|aiai+1|（i=1，2），且b3=|a3a1|这种“t变换”记作b=t（a）继续对数列b进行“t变换”，得到数列c：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束（）试问a：2，6，4经过不断的“t变换”能否结束？若能，请依次写出经过“t变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（）设a：a1，a2，a3， b=t（a）若b：b，2，a（ab），且b的各项之和为2012（）求a，b；（）若数列b再经过k次“t变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由考点：递归数列及其性质；数列的函数特性；数列的求和 专题：新定义分析：（）首先要弄清“t变换”的特点，其次要尝试着去算几次变换的结果，看一下有什么规律，显然只有当变换到数列的三项都相等时，再经过一次“t变换”才能得到数列的各项均为零，否则“t变换”不可能结束（）中（i）的解答要通过已知条件得出a是b数列的最大项，从而去掉绝对值符号得到数列a是单调数列，得到答案（ii）的解答要抓住b经过6次“t变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列