北京市丰台区高三数学下学期统一练习试题（二） 理（含解析）北师大版.doc

2013年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）（2013丰台区二模）复数i（3+4i）的虚部为（）a3b3ic4d4i考点：复数的基本概念专题：计算题分析：利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出解答：解：i（3+4i）=3i+4i2=4+3i，复数i（3+4i）的虚部为3故选a点评：熟练掌握复数的运算法则和虚部的定义是解题的关键2（5分）（2013丰台区二模）设向量=（x，1），=（4，x），且，方向相反，则x的值是（）a2b2c2d0考点：相等向量与相反向量专题：平面向量及应用分析：由，方向相反，可得 =，0，即 （x，1）= （4，x），由此求得x的值解答：解：向量=（x，1），=（4，x），且，方向相反，则 =，0，即 （x，1）= （4，x），解得x=2，故选b点评：本题主要考查相反的向量的定义，属于基础题3（5分）（2013丰台区二模）展开式中的常数项是（）a6b4c4d6考点：二项式系数的性质专题：计算题分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项解答：解：的展开式中的通项公式为 tr+1=x4r（1）rxr=（1）rx42r，令42r=0，解得 r=2，故展开式中的常数项是 =6，故选a点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题4（5分）（2013丰台区二模）已知数列an，则“an为等差数列”是“a1+a3=2a2”的（）a充要条件b必要而不充分条件c充分而不必要条件d既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：计算题分析：前者可推后者，而后者需满足对任何的nn*，都有2an+1=an+an+2成立才可以，由充要条件的定义可判解答：解：若“an为等差数列”成立，必有“a1+a3=2a2”成立，而仅有“a1+a3=2a2”成立，不能断定“an为等差数列”成立，必须满足对任何的nn*，都有2an+1=an+an+2成立才可以，故“an为等差数列”是“a1+a3=2a2”的充分不必要条件，故选c点评：本题考查充要条件的判断，涉及等差数列的判定，属基础题5（5分）（2013丰台区二模）下列四个函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（）abcd考点：正弦函数的对称性专题：三角函数的图像与性质分析：由于a、b中的函数的最小正周期都是=4，故排除a、b；把代入c中的函数，函数值取得最大值1，满足条件；把代入d中的函数，函数值为，不满足条件，排除d，从而得出结论解答：解：由于a、b中的函数的最小正周期都是=4，故不满足条件，排除a、b把代入c中的函数，函数值取得最大值1，故此函数的图象关于直线对称，故满足条件把代入d中的函数，函数值为，没有取得最值，故不满足条件，排除d，故选c点评：本题主要考查利用y=asin（x+）的最小正周期，以及它的对称性，属于中档题6（5分）（2013丰台区二模）在平面区域内任取一点p（x，y），若（x，y）满足2x+yb的概率大于，则b的取值范围是（）a（，2）b（0，2）c（1，3）d（1，+）考点：几何概型专题：不等式的解法及应用分析：本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和满足2x+yb的点构成的区域的面积后再求它们的比值，最后利用此比值大于即可得到b的取值范围解答：解：其构成的区域d如图所示的边长为1的正方形，面积为s1=1，满足2x+yb所表示的平面区域是以原点为直角坐标顶点，以b为直角边长的直角三角形，其面积为s2=b=，在区域d内随机取一个点，则此点满足2x+yb的概率p=，由题意令，解得b1故选d点评：本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使满足2x+yb的概率大于时b的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题7（5分）（2013丰台区二模）用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是（）a18b36c54d72考点：排列、组合及简单计数问题专题：概率与统计分析：从5、7、9三个奇数中任选一个放在6与8之间，可用中选法，而6与8可以交换位置有种方法，把6与8及之间的一个奇数“捆绑”一个整体与剩下的两个奇数全排列共有种方法，再利用乘法原理即可得出解答：解：如图所示：从5、7、9三个奇数中任选一个放在6与8之间，可用中选法，而6与8可以交换位置有种方法，把6与8及之间的一个奇数看做一个整体与剩下的两个奇数全排列共有种方法，利用乘法原理可得两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是=36故选b点评：熟练掌握当要求元素相邻时用“捆绑法”及排列与组合的意义及计算公式是解题的关键8（5分）（2013丰台区二模）已知偶函数f（x）（xr），当x（2，0时，f（x）=x（2+x），当x2，+）时，f（x）=（x2）（ax）（ar）关于偶函数f（x）的图象g和直线l：y=m（mr）的3个命题如下：当a=4时，存在直线l与图象g恰有5个公共点；若对于m0，1，直线l与图象g的公共点不超过4个，则a2；m（1，+），a（4，+），使得直线l与图象g交于4个点，且相邻点之间的距离相等其中正确命题的序号是（）abcd考点：命题的真假判断与应用专题：函数的性质及应用分析：根据偶函数的图象关于y轴对称，利用已知中的条件作出偶函数f（x）（xr）的图象，利用图象对各个选项进行判断即可解答：解：根据偶函数的图象关于y轴对称，利用已知中的条件作出偶函数f（x）（xr）的图象，利用图象得出：当a=4时，偶函数f（x）（xr）的图象如下：存在直线l，如y=0，与图象g恰有5个公共点；故正确；若对于m0，1，由于偶函数f（x）（xr）的图象如下：直线l与图象g的公共点不超过4个，则a2；故正确；m（1，+），偶函数f（x）（xr）的图象如下：a（4，+），使得直线l与图象g交于4个点，且相邻点之间的距离相等故正确；其中正确命题的序号是故选d点评：本小题主要考查命题的真假判断与应用、函数奇偶性的应用、图象的对称性等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）（2013丰台区二模）圆=2cos的半径是1考点：简单曲线的极坐标方程专题：直线与圆分析：将极坐标方程为=2cos，化为一般方程，然后再判断解答：解：圆的极坐标方程为=2cos，x=cos，y=sin，消去和得，（x1）2+y2=1，圆心的直角坐标是（1，0），半径长为1故答案为：1点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题10（5分）（2013丰台区二模）已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为，则a的值等于0.9考点：线性回归方程专题：应用题分析：求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可解答：解：=1.5，=3，这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，3=1.41.5+a，a=0.9故答案为：0.9点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一11（5分）（2013丰台区二模）如图，已知o的弦ab交半径oc于点d，若ad=4，bd=3，oc=4，则cd的长为2考点：与圆有关的比例线段专题：选作题；直线与圆分析：由相交弦定理可得addb=cdde，代入解出即可解答：解：延长co交o于点e，由相交弦定理可得addb=cdde，43=cd（8cd），解得cd=2或6cd4，故cd=2cd的长为2故答案为2点评：熟练掌握相交弦定理是解题的关键12（5分）（2013丰台区二模）若双曲线c：的离心率为，则抛物线y2=8x的焦点到c的渐近线距离是考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过双曲线的离心率求出a，然后求出渐近线方程，求出抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离求解即可解答：解：因为双曲线c：的离心率为，所以，又b=，所以a=，双曲线的渐近线方程为：y=x，抛物线y2=8x的焦点坐标为：（2，0），由点到直线的距离公式可得：故答案为：点评：本题考查双曲线与抛物线的基本性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力13（5分）（2013丰台区二模）曲线在处的切线方程是3x+y4=0，在x=x0处的切线与直线y=x和y轴围成三角形的面积为2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：求导数可得切线的斜率，代值可得点的坐标，由点斜式可得方程；写出x=x0处的切线方程，求得与直线y=x和y轴的交点坐标，进而可得面积解答：解：由题意可得，f（）=故曲线在x=处的切线的斜率k=3，故切线方程为y=3（x），即3x+y4=0；可得在x=x0处的切线斜率为，故方程为：y（）=（）（xx0），令y=x可得x=y=2x0，令x=0可得y=，故三角形的面积为s=2，故答案为：3x+y4=0；2点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，涉及三角形面积的求解，属中档题14（5分）（2013丰台区二模）在圆x2+y2=25上有一点p（4，3），点e，f是y轴上两点，且满足|pe|=|pf|，直线pe，pf与圆交于c，d，则直线cd的斜率是考点：直线与圆的位置关系；直线的斜率专题：直线与圆分析：过p点作x轴平行线，交圆弧于g，则g点坐标为（4，3），可得g就是圆弧cd的中点，ogcd，设cd与y轴交于点a，pg与cd交与点m，pg与y轴交与点n，由dao+goa=90，amp+dao=90，可得cmp=goa直线cd的斜率等于tancmp=tangoa，再根据直角三角形中的边角关系求得tangoa的值解答：解：过p点作x轴平行线，交圆弧于g，连接og，则：g点坐标为（4，3），pgefpef是以p为顶点的等腰三角形，pg就是角dpc的平分线，g就是圆弧cd的中点，ogcd设cd与y轴交于点a，pg与cd交与点m，pg与y轴交与点n，dao+goa=90，又amp+dao=90，cmp=goa直线cd的斜率等于tancmp=tangoa直角三角形gon中，tangoa=，故答案为 点评：本题考查的知识点是三角函数求值，其中利用腰三角形性质及垂径定理，结合同角或等角的余角相等，求得cmp=goa 是解答本题的关键，属于中档题三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（13分）（2013丰台区二模）已知abc的三个内角分别为a，b，c，且（）求a的度数；（）若bc=7，ac=5，求abc的面积s考点：余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦专题：解三角形分析：（）利用二倍角公式、诱导公式化简已知的等式求得，可得a=60（）在abc中，利用余弦定理求得ab的值，再由，运算求得结果解答：解：（），（2分）sina0，（4分）0a180，a=60（6分）（）在abc中，bc2=ab2+ac22abaccos60，bc=7，ac=5，49=ab2+255ab，ab25ab24=0，解得ab=8或ab=3（舍），（10分）（13分）点评：本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理的应用，属于中档题16（13分）（2013丰台区二模）国家对空气质量的分级规定如下表：污染指数05051100101150151200201300300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：3414018731212104045782365792078160421013816315422273615149103135201648根据以上信息，解决下列问题：（）写出下面频率分布表中a，b，x，y的值；（）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用x表示，求x的分布列和均值ex频率分布表分组频数频率0，5014（50，100ax（100，1505（150，200by（200，2502合计301考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：（i）某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据，即可得到频率分布表中a，b，x，y的值；（ii）确定x的可能取值，再利用组合数确定相应的频率，即可求x的分布列和数学期望ex解答：解：（i）由某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据表知，（4分）（）由题意，该市4月份空气质量为优或良的概率为p=，.（5分），（10分）x的分布列为：x01234p（11分）xb（4，），（13分）点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题17（13分）（2013丰台区二模）如图（1），等腰直角三角形abc的底边ab=4，点d在线段ac上，deab于e，现将ade沿de折起到pde的位置（如图（2）（）求证：pbde；（）若pebe，直线pd与平面pbc所成的角为30，求pe长考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角专题：计算题；空间角分析：（i）根据翻折后de仍然与be、pe垂直，结合线面垂直的判定定理可得de平面peb，再由线面垂直的性质可得pbde；（ii）分别以de、be、pe所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系设pe=a，可得点b、d、c、p关于a的坐标形式，从而得到向量、坐标，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出平面pcd的一个法向量为=（1，1，），由pd与平面pbc所成的角为30和向量的坐标，建立关于参数a的方程，解之即可得到线段pe的长解答：解：（）deab，debe，depe，（2分）bepe=e，de平面peb，又pb平面peb，bpde； （4分）（）pebe，pede，debe，分别以de、be、pe所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），（5分）设pe=a，则b（0，4a，0），d（a，0，0），c（2，2a，0），p（0，0，a），（7分）可得，（8分）设面pbc的法向量，令y=1，可得x=1，z=因此是面pbc的一个法向量，（10分） ，pd与平面pbc所成角为30，（12分），即，（11分）解之得：a=，或a=4（舍），因此可得pe的长为（13分）点评：本题给出平面图形的翻折，求证线面垂直并在已知线面角的情况下求线段pe的长，着重考查了线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题18（13分）（2013丰台区二模）已知函数 （）当时，求函数f（x）在1，e上的最大值和最小值；（）若a0，讨论f（x）的单调性考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性专题：综合题；导数的综合应用分析：（）当a=时，可求得f（x），令f（x）=0，可求得极值点，将x的取值情况，f（x）正负情况及f（x）的增减情况列表，可求得函数f（x）在1，e上的最大值和最小值；（）由于2=，对0a，a=及a时分类讨论，根据f（x）的正负情况即可得到函数的单调区间解答：解：（）f（x）的定义域为x|x0，（1分）当a=时，f（x）=，（2分）令f（x）=0，在1，e上得极值点x=2，x1，2）2（2，ef（x）+0f（x）增2ln21减（4分）f（1）=，f（e）=2，（5分）f（1）f（e），f（x）max=f（2）=2ln21，f（x）min=f（1）=（7分）（）f（x）=，（8分）0a时，由f（x）0得0x2或x，所以f（x）的单调增区间是（0，2），（，+），由f（x）0得2x，所以f（x）的单调减区间是（2，）； （10分）a=时，f（x）0在（0，+）上恒成立，且当且仅当f（2）=0，f（x）在（0，+）单调递增； （11分）当a时，由f（x）0得0x或x2，所以f（x）的单调增区间是（0，），（2，+），由f（x）0得x2，所以f（x）的单调减区间是（，2）（13分）点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，突出考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与分析推理能力，属于难题19（14分）（2013丰台区二模）已知椭圆c：的短轴的端点分别为a，b，直线am，bm分别与椭圆c交于e，f两点，其中点m （m，） 满足m0，且（）求椭圆c的离心率e；（）用m表示点e，f的坐标；（）若bme面积是amf面积的5倍，求m的值考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）利用椭圆的离心率计算公式；（）利用点斜式分别写出直线am、bm的方程，与椭圆的方程联立即可得到点e、f的坐标；（）利用三角形的面积公式及其关系得到，再利用坐标表示出即可得到m的值解答：解：（）依题意知a=2，； （）a（0，1），b（0，1），m （m，），且m0，直线am的斜率为k1=，直线bm斜率为k2=，直线am的方程为y=，直线bm的方程为y=，由得（m2+1）x24mx=0，由得（9+m2）x212mx=0，； （），amf=bme，5samf=sbme，5|ma|mf|=|mb|me|，m0，整理方程得，即（m23）（m21）=0，又，m230，m2=1，m=1为所求点评：熟练掌握椭圆的离心率、点斜式、直线与椭圆的相交问题的解题模式、三角形的面积计算公式、比例式如何用坐标表示是解题的关键20（14分）（2013丰台区二模）已知等差数列an的通项公式为an=3n2，等比数列bn中，b1=a1，b4=a3+1记集合a=x|x=an，nn*，b=x|x=bn，nn*，u=ab，把集合u中的元素按从小到大依次排列，构成数列cn（）求数列bn的通项公式，并写出数列cn的前4项；（）把集合ua中的元素从小到大依次排列构成数列dn，求数列dn的通项公式，并说明理由；（）求数列cn的前n项和sn考点：等差数列与等比数列的综合专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（i）根据等比数列的通项公式，算出bn=2n1，从而得到数列bn的前4项，再与an的前4项加以对照即可得到数列cn的前4项；（ii）根据补集定义，得到数列dn前4项分别为2、8、32、128，从而猜测dn的通项公式为dn=22n1然后加以证明：注意到dn=b2n，所以只需证明数列bn中b2n1a且b2na一方面b2n+1b2n1=4n4n1=34n1，从而b2n+1=b2n1+34n1，结合整数的整除理论证出“若b2n1a，则b2n+1a”，由此结合b1a实施递推可得b2n1a；另一方面通过作差，证出b2n+2=b2n+324n1，根据“324n1”等于an的公差3k（kz）倍，结合整数的整除理论可得b2n 与b2n+2要么同时属于a，要么同时不属于a，结合b2=2a可得b2na由以上两方面相综合，即可得到数列dn的通项公式为dn=22n1；（iii）分两种情况：当n=1时，根据cn的定义易得s1=1；当n2时由（）的结论可得：bn中的奇数项b2n1a，而偶数项b2na，因此发现存在整数kn使成立，再讨论整数k与