北京市东城区高三数学综合练习一试题 理（详细解析）.doc

北京市东城区2013届高三理科数学综合练习一试题详细解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1. 已知全集，集合，则为a. b. c. d. 2. 是的a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件3. 若，则下列各式正确的是15、 b. c. d. 4.在等差数列中，且，则的最大值是23正视图俯视图侧视图2a. b. c. d. 5.如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为a. b. c. d. 6. 下列命题中，真命题是a. b. c. d. 7. 已知为双曲线：的左、右焦点，点在上，则到轴的距离为17、 b. c. d. 8. 设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是a. b. c. d. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填写在答题卡相应位置。9. 已知，则 .10. 函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是 .11. 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 .12. 正三角形边长为，设，则 .13. 已知命题：是奇函数；。下列函数：，中能使都成立的是 .（写出符合要求的所有函数的序号）14. 有如下两个集合：集合，集合，设集合是所有的并集，则的面积为 .3、 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、演算过程和步骤。15. （本小题满分13分）已知函数.（）求函数的最小正周期和单调递增区间；（）函数的图像经过怎样的变换可以得到的图像？16. （本小题满分13分）已知数列的前项和为，数列满足（）求数列的通项公式；aosfbce（）求数列的前项和17. （本小题满分14分）如图，在三棱锥中，侧面与底面垂直，分别是的中点，（）求证：平面；（）若点在线段上，问：无论在的何处，是否都有？请证明你的结论；（）求二面角的平面角的余弦值.18. （本小题满分13分）椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为（）求椭圆的方程；（）设的三条边所在直线的斜率分别为，且若直线的斜率之和为0，求证：为定值.19. （本小题满分13分）已知函数（）求函数的单调区间；（）对，不等式恒成立，求的取值范围.20. （本小题满分14分）将所有平面向量组成的集合记作，是从到的映射，记作或，其中都是实数.定义映射的模为：在的条件下的最大值，记作若存在非零向量及实数使得，则称为的一个特征值.（）若，求；（）若，计算的特征值，并求相应的；（）若，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：有唯一的特征值，并验证满足这两个条件.【试题答案】1.c【解析】,所以.2.a【解析】当时，恒成立，当时，由得，所以是成立的充分不必要条件.3.c【解析】幂函数在时，单调递减，所以a错误。在定义域上不单调，错误。对数函数在定义域上单调递增，所以c正确。指数函数在定义域上单调递减，不正确.4.c【解析】在等差数列中，得，即，由，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最大值为9.5.b【解析】由三视图可知这是一个底面矩形的斜四棱柱，其中四棱柱的高为，底面矩形的长为3底面宽为，所以该几何体的体积为.6.d【解析】因为，所以a错误。当时有，所以b错误。，所以c错误。当时，有.7.b【解析】由双曲线的方程可知，在中，根据余弦定理可得,即，所以，所以，所以的面积为,又的面积也等于，所以高，即点p到轴的距离为.8.d【解析】，所以对称轴为，当时，所以要使互不相等的实数满足，则有，不妨设，则有，所以，即，所以的取值范围是， 。9.【解析】等式两边平方得，即，所以，因为，所以，所以，所以。10. 【解析】当时，函数在上没有零点，所以，所以根据根的存在定理可得，即，所以，解得，所以实数的取值范围是。11. 【解析】由，解得，即，所以所求面积为。12. 【解析】因为，,所以。13.【解析】若，所以为奇函数。成立，所以满足条件。若，则为奇函数。，所以成立。若，则不是奇函数，所以不满足条件，所以使都成立的是。14 集合，集合,，设集合是所有的并集，则的面积为_.14. 【解析】,所以抛物线的顶点坐标为，即顶点在直线上，与平行的直线和抛物线相切，不妨设切线为，代入得，即，判别式为，解得，所以所有抛物线的公切线为，所以集合的面积为弓形区域。直线方程为，圆心到直线的距离为,所以,所以,.扇形的面积为。三角形的面积为,所以弓形区域的面积为。15.【解析】(1) = = = 。 最小正周期 单调递增区间 ，。 (2) 向左平移个单位；向下平移个单位 。16【解析】（1） 。 +3 ， +3，两式作差：3-=2 。 (2) = 。17【解析】（1）分别是的中点 / 又平面 /平面 。(2) 在中，/, 平面平面， 平面，平面 平面 平面 所以无论在的何处，都有 。(3) 由（2）平面又平面 是二面角的平面角在中所以二面角的平面角的余弦值为 。法二：（2） 是的中点， 又平面平面平面同理可得平面在平面内，过作 以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则， ，设，则， 恒成立，所以无论在的何处，都有（3）由（2）知平面的法向量为= 设平面的法向量为 则，即 令，则，所以二面角的平面角的余弦值为 。18【解析】（1）设椭圆的方程为，由题意知：左焦点为所以，解得， 故椭圆的方程为（方法2、待定系数法）（2）设，由：，两式相减，得到所以，即， 同理，所以，又因为直线的斜率之和为0，所以。方法2：设直线：，代入椭圆，得到，化简得以下同。 19【解析】（1）。当时，0-0+递增极大递减极小递增所以，在和上单调递增；在上单调递减。当时，在上单调递增。当时，+0-0+递增极大递减极小递增所以，在和上单调递增；在上单调递减。（2）法一、因为，所以由得，即函数对恒成立由（）可知，当时，在单调递增，则，成立，故。当，则在上单调递增，恒成立，符合要求。当，在上单调递减，上单调递增，则，即，。综上所述，。 法二、当时，；当时，由得，对恒成立。设，则由，得或-0+递减极小递增，所以，。20【解析】（1）由于此时，又因为是在的条件下，有 （时取最大值），所以此时有。（2）由，可得：，解此方程组可得：，从而。当时，解方程 此时这两个方程是同一个方程，所以此时方程