北京市临川学校高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年北京市临川学校高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知（1+i）z=2i，则复数z=（）a1+ib1ic1+id1i2在单调递减等比数列an中，若a3=1，a2+a4=，则a1=（）a2b4cd23设命题p：“若，则”，命题q：“若ab，则”，则（）a“pq”为真命题b“pq”为假命题c“q”为假命题d以上都不对4一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（） abcd5执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）abcd6已知函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期是，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）a关于直线x=对称b关于直线x=对称c关于点（，0）对称d关于直线（，0）7设d为abc所在平面内一点，则（）abcd8函数f（x）=cos（x+）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）a（k，k+，），kzb（2k，2k+），kzc（k，k+），kzd（，2k+），kz9已知在圆x2+y24x+2y=0内，过点e（1，0）的最长弦和最短弦分别是ac和bd，则四边形abcd的面积为（）ab6cd210已知函数f（x）=log2x，若在1，8上任取一个实数x0，则不等式1f（x0）2成立的概率是（）abcd11设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（）abcd12若函数y=sin2x+acosx在区间（0，）上是增函数，则实数a的取值范围是（）a（，lb1，+）c（，0）d（0，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c若a=b，a=3，c=2，则cosc=14双曲线c：的渐近线方程为；设f1，f2为双曲线c的左、右焦点，p为c上一点，且|pf1|=4，则|pf2|=15（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为16已知在直角梯形abcd中，abad，cdad，ab=2ad=2cd=2，将直角梯形abcd沿ac折叠成三棱锥dabc，当三棱锥dabc的体积取最大值时，其外接球的体积为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知数列an前n项和为sn，满足sn=2an2n（nn*）（i）证明：an+2是等比数列，并求an的通项公式；（）数列bn满足bn=log2（an+2），tn为数列的前n项和，若tna对正整数a都成立，求a的取值范围18甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分两人4局的得分情况如下：甲6699乙79xy（）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（）如果x=y=7，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为x，求x的分布列和数学期望；（）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值（结论不要求证明）19如图，已知四棱锥pabcd，底面abcd为边长为2对的菱形，pa平面abcd，abc=60，e，f分别是bc，pc的中点（1）判定ae与pd是否垂直，并说明理由；（2）若pa=2，求二面角eafc的余弦值20已知椭圆c：的离心率为，点在椭圆c上（）求椭圆c的方程；（）设动直线l与椭圆c有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点o为圆心的圆，满足此圆与l相交两点p1，p2（两点均不在坐标轴上），且使得直线op1，op2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由21已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），ar（）若当a=1时，求f（x）的单调区间；（）若f（x）（e+1）a，求a的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分.选修4-1几何证明选讲22如图，ab是圆o的直径，弦cdab于点m，e是cd延长线上一点，ab=10，cd=8，3ed=4om，ef切圆o于f，bf交cd于g（1）求证：efg为等腰三角形；（2）求线段mg的长选修4-4：坐标系与参数方程23（）在平面直角坐标系中，求曲线（t为参数）的普通方程（）在极坐标系中，求点（2，）到直线sin=2的距离选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x1|+|xa|（1）若a=2，解不等式f（x）2；（2）若a1，xr，f（x）+|x1|1，求实数a的取值范围2015-2016学年北京市临川学校高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知（1+i）z=2i，则复数z=（）a1+ib1ic1+id1i【考点】复数代数形式的乘除运算 【专题】数系的扩充和复数【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可【解答】解：（1+i）z=2i，可得z=1+i故选：a【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查2在单调递减等比数列an中，若a3=1，a2+a4=，则a1=（）a2b4cd2【考点】等比数列的性质 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】根据等比数列的通项，得到+q=，进利用数列an为递减数列，求出公比q的值，即可求出a1的值【解答】解：a3=1，a2+a4=，+q=，数列an为递减数列，q=a1=4，故选：b【点评】此题考查了等比数列的性质，通项公式，考查学生的计算能力，比较基础3设命题p：“若，则”，命题q：“若ab，则”，则（）a“pq”为真命题b“pq”为假命题c“q”为假命题d以上都不对【考点】复合命题的真假 【专题】对应思想；综合法；简易逻辑【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可【解答】解：命题p：“若，则”是假命题，命题q：“若ab，则”如：a=1，b=1，故命题q是假命题，故pq是假命题，故选：b【点评】本题考察了复合命题的判断，是一道基础题4一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（） abcd【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，结合柱体表面积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，其底面面积为：（1+2）2=3，底面周长为：2+2+1+=5+，高为：2，故四棱柱的表面积s=23+（5+）2=，故选：b【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键5执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）abcd【考点】程序框图 【专题】转化思想；综合法；算法和程序框图【分析】根据程序框图，它的作用是求+ 的值，用裂项法进行求和，可得结果【解答】解：该程序框图的作用是求+ 的值，而 +=（1）+（）+（）+（）=，故选：c【点评】本题主要考查程序框图，用裂项法进行求和，属于基础题6已知函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期是，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）a关于直线x=对称b关于直线x=对称c关于点（，0）对称d关于直线（，0）【考点】函数y=asin（x+）的图象变换 【专题】三角函数的图像与性质【分析】根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可【解答】解：函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期是，t=，解得=2，即f（x）=sin（2x+），将其图象向右平移个单位后得到y=sin2（x）+=sin（2x+），若此时函数关于原点对称，则=k，即=+k，kz，|，当k=1时，=即f（x）=sin（2x）由2x=，解得x=+，kz，故当k=0时，函数的对称轴为x=，故选：b【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键7设d为abc所在平面内一点，则（）abcd【考点】平行向量与共线向量 【专题】平面向量及应用【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式【解答】解：由已知得到如图由=；故选：a【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为8函数f（x）=cos（x+）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）a（k，k+，），kzb（2k，2k+），kzc（k，k+），kzd（，2k+），kz【考点】余弦函数的单调性 【专题】三角函数的图像与性质【分析】由周期求出，由五点法作图求出，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间【解答】解：由函数f（x）=cos（x+）的部分图象，可得函数的周期为=2（）=2，=，f（x）=cos（x+）再根据函数的图象以及五点法作图，可得+=，kz，即=，f（x）=cos（x+）由2kx+2k+，求得 2kx2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），kz，故选：d【点评】本题主要考查由函数y=asin（x+）的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题9已知在圆x2+y24x+2y=0内，过点e（1，0）的最长弦和最短弦分别是ac和bd，则四边形abcd的面积为（）ab6cd2【考点】直线与圆的位置关系 【专题】计算题；直线与圆【分析】圆x2+y24x+2y=0即（x2）2+（y+1）2=5，圆心m（2，1），半径r=，最长弦ac为圆的直径bd为最短弦，ac与bd相垂直，求出bd，由此能求出四边形abcd的面积【解答】解：圆x2+y24x+2y=0即（x2）2+（y+1）2=5，圆心m（2，1），半径r=，最长弦ac为圆的直径为2，bd为最短弦ac与bd相垂直，me=d=，bd=2be=2=2，s四边形abcd=sabd+sbdc=bdea+bdec=bd（ea+ec）=bdac=2故选：d【点评】本题考查四边形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用10已知函数f（x）=log2x，若在1，8上任取一个实数x0，则不等式1f（x0）2成立的概率是（）abcd【考点】几何概型 【专题】计算题；函数思想；定义法；概率与统计【分析】根据对数不等式的解法求出不等式的等价条件，根据几何概型的概率公式进行计算即可【解答】解：由1f（x0）2得1log2x02，2x04，则不等式1f（x0）2成立的概率是p=，故选：c【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，求出不等式的等价条件是解决本题的关键11设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（）abcd【考点】简单线性规划 【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为7求得实数m的值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得a（1，2），联立，解得b（m1，m），化z=x+3y，得由图可知，当直线过a时，z有最大值为7，当直线过b时，z有最大值为4m1，由题意，7（4m1）=7，解得：m=故选：c【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题12若函数y=sin2x+acosx在区间（0，）上是增函数，则实数a的取值范围是（）a（，lb1，+）c（，0）d（0，+）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【专题】导数的概念及应用；三角函数的求值【分析】首先利用函数的导数求函数的单调区间，进一步分离参数法求出函数中a的取值范围【解答】解：解：y=sin2x+acosx在区间（0，）上是增函数，y=cos2xasinx0，12sinx2asinx0，即2x2ax+10，x（0，1），a2x+，令g（x）=2x+，则g（x）=20，g（x）在（0，1）递减，ag（1）=1，故答案为：a1故选：a【点评】本题考查的知识要点：利用函数的导数求函数的单调区间，参数的取值范围的确定，主要考查学生的应用能力二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c若a=b，a=3，c=2，则cosc=【考点】余弦定理 【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】由已知可求b的值，利用余弦定理即可求值得解【解答】解：a=b，a=3，c=2，可得：b=3，cosc=故答案为：【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，考查了余弦定理的应用，属于基础题14双曲线c：的渐近线方程为；设f1，f2为双曲线c的左、右焦点，p为c上一点，且|pf1|=4，则|pf2|=12【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】双曲线c：中a=4，b=2，可得渐近线方程为，由题意p在双曲线的左支上，则|pf2|pf1|=2a=8，即可得出结论【解答】解：双曲线c：中a=4，b=2，则渐近线方程为，由题意p在双曲线的左支上，则|pf2|pf1|=2a=8，|pf2|=12故答案为：，12【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查双曲线的定义，比较基础15（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为30【考点】二项式系数的性质 【专题】计算题；二项式定理【分析】法一：利用分部相乘原理，可以得出x5y2的系数；法二：利用二项式展开式的通项公式，先确定y的次数，再确定x的次数也可【解答】解法一：（x2+x+y）5可看作5个（x2+x+y）相乘，从中选2个y，有种选法；再从剩余的三个括号里边选出2个x2，最后一个括号选出x，有种选法；x5y2的系数为=30；解法二：（x2+x+y）5=（x2+x）+y5，其展开式的通项公式为tr+1=（x2+x）5ryr，令r=2，得（x2+x）3的通项公式为（x2）3mxm=x6m，再令6m=5，得m=1，（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30故答案为：30【点评】本题考查了二项式定理的灵活应用问题，也考查了分步相乘原理的应用问题，是基础题目16已知在直角梯形abcd中，abad，cdad，ab=2ad=2cd=2，将直角梯形abcd沿ac折叠成三棱锥dabc，当三棱锥dabc的体积取最大值时，其外接球的体积为【考点】球的体积和表面积 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的体积即可【解答】解：已知直角梯形abcd，abad，cdad，ab=2ad=2cd=2，沿ac折叠成三棱锥，如图：ab=2，ad=1，cd=1，ac=，bc=，bcac，取ac的中点e，ab的中点o，连结de，oe，当三棱锥体积最大时，平面dca平面acb，ob=oa=oc=od，ob=1，就是外接球的半径为1，此时三棱锥外接球的体积：=故答案为：【点评】本题考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知数列an前n项和为sn，满足sn=2an2n（nn*）（i）证明：an+2是等比数列，并求an的通项公式；（）数列bn满足bn=log2（an+2），tn为数列的前n项和，若tna对正整数a都成立，求a的取值范围【考点】数列的求和；数列递推式 【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】（）运用数列的通项和前n项和的关系，变形整理即可得到an+2是等比数列，由等比数列的通项公式，即可求得；（）运用对数的运算性质，化简bn，再由裂项相消求和，即可得到tn，运用不等式恒成立思想即可得到a的范围【解答】（）证明：由题设sn=2an2n（nn*），sn1=2an12（n1），n2，两式相减得an=2an1+2，即an+2=2（an1+2），又a1+2=4，所以an+2是以4为首项，2为公比的等比数列，an+2=42n1，即an=2n+12（n2）又a1=2，所以an=2n+12（nn*）；（）解：因为bn=log2（an+2）=log22n+1=n+1，即有=，故tn=+=，依题意得：a【点评】本题考查等比数列的通项公式和数列求和的方法：裂项相消求和，同时考查不等式恒成立思想转化为最值，属于中档题18甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分两人4局的得分情况如下：甲6699乙79xy（）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（）如果x=y=7，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为x，求x的分布列和数学期望；（）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值（结论不要求证明）【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】（）从甲的4局比赛中，随机选取2局，基本事件总数n=，这2局的得分恰好相等基本数件个数m=2，由此能求出从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率（）x的所有可能取值为13，15，16，18，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列和数学期望（）由已知条件能写出x的可能取值为6，7，8【解答】（本小题满分13分）（）解：记“从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件a，由题意，得，所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为（）解：由题意，x的所有可能取值为13，15，16，18，且，所以x的分布列为：x13151618p所以（）解：x的可能取值为6，7，8【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一19如图，已知四棱锥pabcd，底面abcd为边长为2对的菱形，pa平面abcd，abc=60，e，f分别是bc，pc的中点（1）判定ae与pd是否垂直，并说明理由；（2）若pa=2，求二面角eafc的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质 【专题】计算题；函数思想；转化思想；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）判断垂直证明aebcpaae推出ae平面pad，然后证明aepd（2）由（1）知ae，ad，ap两两垂直，以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面aef的一个法向量，平面afc的一个法向量通过向量的数量积求解二面角的余弦值【解答】解：（1）垂直证明：由四边形abcd为菱形，abc=60，可得abc为正三角形因为e为bc的中点，所以aebc又bcad，因此aead因为pa平面abcd，ae平面abcd，所以paae而pa平面pad，ad平面pad且paad=a，所以ae平面pad，又pd平面pad，所以aepd（2）由（1）知ae，ad，ap两两垂直，以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又e，f分别为bc，pc的中点，a（0，0，0），d（0，2，0），p（0，0，2），所以，设平面aef的一个法向量为，则，因此，取z1=1，则因为bdac，bdpa，paac=a，所以bd平面afc，故为平面afc的一个法向量又，所以因为二面角eafc为锐角，所以所求二面角的余弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力20已知椭圆c：的离心率为，点在椭圆c上（）求椭圆c的方程；（）设动直线l与椭圆c有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点o为圆心的圆，满足此圆与l相交两点p1，p2（两点均不在坐标轴上），且使得直线op1，op2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a，b然后求出椭圆的方程（）当直线l的斜率不存在时，验证直线op1，op2的斜率之积当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m与椭圆联立，利用直线l与椭圆c有且只有一个公共点，推出m2=4k2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设p1（x1，y1），p2（x2，y2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k1k2为定值即可【解答】（本小题满分14分）（）解：由题意，得，a2=b2+c2，又因为点在椭圆c上，所以，解得a=2，b=1，所以椭圆c的方程为（）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2+y2=5证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2+y2=r2（r0）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m由方程组得（4k2+1）x2+8kmx+4m24=0，因为直线l与椭圆c有且仅有一个公共点，所以，即m2=4k2+1由方程组得（k2+1）x2+2kmx+m2r2=0，则设p1（x1，y1），p2（x2，y2），则，设直线op1，op2的斜率分别为k1，k2，所以=，将m2=4k2+1代入上式，得要使得k1k2为定值，则，即r2=5，验证符合题意所以当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点p1，p2满足k1k2为定值当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=2，此时，圆x2+y2=5与l的交点p1，p2也满足综上，当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点p1，p2满足斜率之积k1k2为定值【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力21已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），ar（）若当a=1时，求f（x）的单调区间；（）若f（x）（e+1）a，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用 【专题】导数的综合应用【分析】（）a=1时，求出f（x）=x2xlnx，通过求导，根据导数符号即可判断出f（x）的单调区间；（）讨论a的取值：a=0时，容易得出满足题意；a0时，会发现函数x2+ax在（0，+）上单调递增，让1，便得到f（x）1+a+alnx，从而这种情况不存在；当a0时，通过求导，容易判断出，存在x0（0，+），使f（x0）=0，从而判断出f（x）的最小值f（x0），再由条件f（x）便可得到x0（0，e），并根据f（x0）=0，可求出，从而求出a的取值范围【解答】解：（）由题意得x（0，+）；当a=1时，f（x）=x2xlnx，=；x（0，1）时，f（x）0，x（1，+）时，f（x）0；f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是1，+）；（ii）当a=0时，f（x）=x20，显然符合题意；当a0时，当时；f（x）1+a+alnx，不符合题意；当a0时，则；对于2x2+ax+a=0，=a28a0；该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在x0（0，+），使得；即f（x0）=0；0xx0时，f（x）0，xx0时，f（x）0；f（x）min=f（x0）=；，x0+2lnx0（e+2）0；0x0e；由得，；设y=，y=；函数在（0，e）上单调递减；综上所述，实数a的取值范围【点评】考查根据函数导数符号判断函数单调性，求函数单调区间的方法，判别式的取值和一元二次方程根的关系，由韦达定理判断一元二次方程根的符号，以及根据导数求函数最小值的方法与过程，函数单调性定义的运用请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分.选修4-1几何证明选讲22如图，ab是圆o的直径，弦cdab于点m，e是cd延长线上一点，ab=10，cd=8，3ed=4om，ef切圆o于f，bf交cd于g（1）求证：efg为等腰三角形；（2）求线段mg的长【考点】与圆有关的比例线段 【专题】选作题；推理和证明【分析】（1）连接af，of，则a，f，g，m共圆，fge=baf，证明efg=fge，即可证明：efg为等腰三角形；（2）求出ef=eg=4，连接ad，则bad=bfd，即可求线段mg的长【解答】（1）证明：连接af，of，则a，f，g，m共圆