北京市二中通州分校高二数学上学期期中试卷（含解析）.doc

2015-2016学年北京二中通州分校高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知a，b，则直线a与直线b的位置关系是( )a平行b相交或异面c异面d平行或异面2已知直线l的方程为y=x+1，则该直线l的倾斜角为( )a30b45c60d1353直线l1与l2方程分别为y=x，2xy3=0则两直线交点坐标为( )a（1，1）b（2，2）c（1，3）d（3，3）4一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )a垂直b平行c相交不垂直d不确定5若直线a与平面不垂直，那么在平面内与直线a垂直的直线( )a只有一条b无数条c是平面内的所有直线d不存在6若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则体积等于( )a4bc4d27不同直线m，n和不同平面，给出下列命题：，其中假命题有：( )a0个b1个c2个d3个8在正方体abcda1b1c1d1中，点p在侧面bcc1b1及其边界上运动，并且保持apbd1，则动点p的轨迹为( )a线段b1cb线段bc1cbb1的中点与cc1的中点连成的线段dbc的中点与b1c1的中点连成的线段二、填空题（每小题5分，共30分）俯视图侧（左）视图主（正）视图9点m（2，1）到直线的距离是_10过点a（a，4）和b（2，a）的直线的倾斜角等于45，则a的值是_11圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为_12直线l过点（0，1），且与直线3xy+2=0平行，则直线l方程为_13一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于_；表面积等于_14如图，在直四棱柱a1b1c1d1abcd中，当底面四边形abcd满足条件_时，有a1cb1d1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）三、计算题（15、16、17、18每题13分，19、20每题14分，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）如图，在正方体a1b1c1d1abcd中，（1）在正方体的12条棱中，与棱aa1是异面直线的有几条（只要写出结果）（2）证明：ac平面a1bc1；（3）证明：ac平面bdd1b116（13分）如图，已知正四棱锥vabcd中，ac与bd交于点m，vm是棱锥的高，若ac=2，vc=（1）求正四棱锥vabcd的体积（2）求正四棱锥vabcd的表面积17（13分）已知在正方体abcda1b1c1d1中，m、e、f、n分别是a1b1、b1c1、c1d1、d1a1的中点求证：（1）ef平面abcd；（2）平面amn平面efdb18（13分）已知abc三个顶点是a（3，3），b（3，1），c（2，0）（1）求ab边中线cd所在直线方程；（2）求ab边的垂直平分线的方程；（3）求abc的面积19（14分）如图，已知pa矩形abcd所在的平面，m、n分别为ab、pc的中点，pda=45，ab=2，ad=1（）求证：mn平面pad；（）求证：平面pmc平面pcd；（）求三棱锥mpcd的体积20（14分）如图，已知af平面abcd，四边形abef为矩形，四边形abcd为直角梯形，dab=90，abcd，ad=af=cd=2，ab=4（）求证：ac平面bce；（）求三棱锥acde的体积；（）线段ef上是否存在一点m，使得bmce？若存在，确定m点的位置；若不存在，请说明理由2015-2016学年北京二中通州分校高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知a，b，则直线a与直线b的位置关系是( )a平行b相交或异面c异面d平行或异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】计算题【分析】由直线a平面，直线b在平面内，知ab，或a与b异面【解答】解：直线a平面，直线b在平面内，ab，或a与b异面，故答案为：平行或异面，【点评】本题考查平面的基本性质及其推论，解题时要认真审题，仔细解答2已知直线l的方程为y=x+1，则该直线l的倾斜角为( )a30b45c60d135【考点】直线的倾斜角 【专题】转化思想；分析法；直线与圆【分析】利用直线的倾斜角与斜率之间的关系即可得出【解答】解：设此直线的倾斜角为，0，180）直线的斜截式方程是y=x+1，tan=，=60故选：c【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3直线l1与l2方程分别为y=x，2xy3=0则两直线交点坐标为( )a（1，1）b（2，2）c（1，3）d（3，3）【考点】两条直线的交点坐标 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】把两直线方程联立方程组，这个方程组的解就是两直线的交点坐标【解答】解：直线l1与l2方程分别为y=x，2xy3=0，解方程组，得x=3，y=3，两直线交点坐标为（3，3）故选：d【点评】本题考查两直线的交点坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二元一次方程组的性质的合理运用4一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )a垂直b平行c相交不垂直d不确定【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质 【专题】证明题【分析】根据直线与平面的判定定理可知，直线与平面内两相交直线垂直则垂直与这个平面，再根据线面垂直的性质可知，该直线垂直与平面内任意直线，从而得到结论【解答】解：一条直线和三角形的两边同时垂直，根据直线与平面的判定定理可知，该直线垂直与三角形所在平面直线与平面垂直，根据线面垂直的性质可知与平面内任意一直线垂直故这条直线和三角形的第三边的位置关系是垂直故选a【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及线面垂直的性质，同时考查了空间想象能力，属于基础题5若直线a与平面不垂直，那么在平面内与直线a垂直的直线( )a只有一条b无数条c是平面内的所有直线d不存在【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】若直线a与平面不垂直，有三种情况：直线a平面，直线a平面，直线a与平面相交但不垂直，分别研究这三种况下，在平面内与直线a垂直的直线的条数，能够得到结果【解答】解：若直线a与平面不垂直，当直线a平面时，在平面内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当直线a平面时，在平面内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；直线a与平面相交但不垂直，在平面内有无数条平行直线与直线a垂直若直线a与平面不垂直，那么在平面内与直线a垂直的直线有无数条故选b【点评】本题考查在平面内与直线a垂直的直线条数的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间思维能力的培养6若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则体积等于( )a4bc4d2【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题；函数思想；空间位置关系与距离【分析】由已知中底面是正三角形的三棱柱，可得棱柱的底面边长和高，计算出几何体的体积【解答】解：由已知中底面是正三角形的三棱柱，可得棱柱的底面边长为2，棱柱的高为4，故棱柱的底面面积为：=，故棱柱的体积为：=故选：a【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状7不同直线m，n和不同平面，给出下列命题：，其中假命题有：( )a0个b1个c2个d3个【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 【专题】证明题；综合题【分析】不同直线m，n和不同平面，结合平行与垂直的位置关系，分析和举出反例判定，即可得到结果【解答】解：，m与平面没有公共点，所以是正确的，直线n可能在内，所以不正确，可能两条直线相交，所以不正确，m与平面可能平行，不正确故选d【点评】本题考查空间直线与直线，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题8在正方体abcda1b1c1d1中，点p在侧面bcc1b1及其边界上运动，并且保持apbd1，则动点p的轨迹为( )a线段b1cb线段bc1cbb1的中点与cc1的中点连成的线段dbc的中点与b1c1的中点连成的线段【考点】轨迹方程 【专题】计算题【分析】如图，bd1面acb1，又点p在侧面bcc1b1及其边界上运动，故点p的轨迹为面acb1与面bcc1b1的交线段cb1【解答】解：如图，连接ac，ab1，b1c，在正方体abcda1b1c1d1中，有bd1面acb1，又点p在侧面bcc1b1及其边界上运动，故点p的轨迹为面acb1与面bcc1b1的交线段cb1故选a【点评】本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征，对依据图象进行正确分析判断线面的位置关系的能力要求较高其主要功能就是提高答题者对正方体特征的掌握与空间几何体的立体感二、填空题（每小题5分，共30分）俯视图侧（左）视图主（正）视图9点m（2，1）到直线的距离是【考点】点到直线的距离公式 【专题】计算题【分析】利用点到直线的距离公式即可求得答案【解答】解：设点m（2，1）到直线l：xy2=0的距离为d，由点到直线的距离公式得：d=故答案为： 【点评】本题考查点到直线的距离公式，属于基础题10过点a（a，4）和b（2，a）的直线的倾斜角等于45，则a的值是1【考点】直线的倾斜角 【专题】直线与圆【分析】利用斜率计算公式、倾斜角与斜率的关系即可得出【解答】解：过点a（a，4）和b（2，a）的直线的倾斜角等于45，tan45=1，解得a=1故答案为：1【点评】本题考查了斜率计算公式、倾斜角与斜率的关系，属于基础题11圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为或【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】空间位置关系与距离【分析】有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积【解答】解：圆柱的侧面展开图是边长为2a与a的矩形，当母线为a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱体积是（）2a=；当母线为2a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是（）22a=，综上所求圆柱的体积是：或故答案为：或；【点评】本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，容易疏忽一种情况，导致错误12直线l过点（0，1），且与直线3xy+2=0平行，则直线l方程为3xy1=0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆【分析】设与直线3xy+2=0平行的直线方程是3xy+m=0，把点（0，1）代入解得m即可得出【解答】解：设与直线3xy+2=0平行的直线方程是3xy+m=0，把点（0，1）代入可得：0（1）+m=0，解得m=1要求的直线方程为：3xy1=0故答案为：3xy1=0【点评】本题考查了相互平行的直线的斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题13一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于；表面积等于4+【考点】由三视图求面积、体积 【专题】数形结合；分割补形法；空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体长方体的一个角，画出图形，结合图形求出它的体积与表面积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是三棱锥，是长宽高分别为2、1、2的长方体的一个角，如图所示，则其体积为v=122=；表面积为s=sabd+sabc+sacd+sbcd=22+21+21+2=4+故答案为：，4+【点评】本题考查了利用三视图求空间几何体的体积与表面积的应用问题，是基础题目14如图，在直四棱柱a1b1c1d1abcd中，当底面四边形abcd满足条件acbd时，有a1cb1d1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】压轴题；开放型【分析】根据题意，由a1cb1d1，结合直棱柱的性质，分析底面四边形abcd得到bdac，进而验证即可得答案【解答】解：四棱柱a1b1c1d1abcd是直棱柱，b1d1a1a，若a1cb1d1则b1d1平面a1ac1cb1d1ac，又由b1d1bd，则有bdac，反之，由bdac亦可得到a1cb1d1故答案为：bdac【点评】本题主要通过开放的形式来考查线线，线面，面面垂直关系的转化与应用三、计算题（15、16、17、18每题13分，19、20每题14分，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）如图，在正方体a1b1c1d1abcd中，（1）在正方体的12条棱中，与棱aa1是异面直线的有几条（只要写出结果）（2）证明：ac平面a1bc1；（3）证明：ac平面bdd1b1【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】（1）画出正方体abcda1b1c1d1，根据异面直线的概念即可找出与棱aa1异面的棱（2）连接ac，a1c1，则a1c1ac，利用线面平行的判定定理即可证明；（3）由dd1面ac，知dd1ac，由dd1bd，能够证明ac平面bdd1b1【解答】解：（1）与棱aa1异面的棱为：cd，c1d1，bc，b1c1，共4条（2）证明：连接ac，a1c1，则a1c1ac，ac平面a1bc1，a1c1平面a1bc1，ac平面a1bc1；（3）证明：dd1面ac，ac平面ac，dd1ac，acbd，dd1bd=d，bd平面bdd1b1，dd1平面bdd1b1ac平面bdd1b1【点评】考查异面直线的概念，直线与平面垂直的证明，直线与平面平行的判定，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题16（13分）如图，已知正四棱锥vabcd中，ac与bd交于点m，vm是棱锥的高，若ac=2，vc=（1）求正四棱锥vabcd的体积（2）求正四棱锥vabcd的表面积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【专题】综合题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（1）分别求正四棱锥棱锥的底面积和高即可求体积（2）求出斜高，即可求正四棱锥vabcd的表面积【解答】解：（1）正四棱锥vabcd中，底面abcd是正方形，且对角线ac=2，vc=，vm是棱锥的高ab=2，vm=1正四棱锥vabcd的体积为v=sabcdvm=221=；（2）斜高=，正四棱锥vabcd的表面积22+=4+4【点评】本题考查求正四棱锥vabcd的表面积、体积关键是求底面积和高，属于中档题17（13分）已知在正方体abcda1b1c1d1中，m、e、f、n分别是a1b1、b1c1、c1d1、d1a1的中点求证：（1）ef平面abcd；（2）平面amn平面efdb【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定 【专题】证明题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离【分析】（1）由已知得efb1d1，bdb1d1，从而efbd，由此能证明ef平面abcd（2）由已知得efmn，mfad，从而四边形adfm是平行四边形，进而amdf，由此能证明平面amn平面efdb【解答】证明：（1）在正方体abcda1b1c1d1中，m、e、f、n分别是a1b1、b1c1、c1d1、d1a1的中点，efb1d1，bdb1d1，efbd，ef平面abcd，bd平面abcd，ef平面abcd（2）在正方体abcda1b1c1d1中，m、e、f、n分别是a1b1、b1c1、c1d1、d1a1的中点，efb1d1，mnb1d1，mfa1d1，a1d1ad，efmn，mfad，四边形adfm是平行四边形，amdf，ammn=m，dfef=f，平面amn平面efdb【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养18（13分）已知abc三个顶点是a（3，3），b（3，1），c（2，0）（1）求ab边中线cd所在直线方程；（2）求ab边的垂直平分线的方程；（3）求abc的面积【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；三角形的面积公式 【专题】计算题；方程思想；数形结合法；直线与圆【分析】（1）线段ab的中点d（0，2）利用截距式即可得出（2）设p（x，y）为ab边的垂直平分线上的任意一点，则|pa|=|pb|，=，化简即可得出（3）利用点斜式可得直线ac的方程为：3xy9=0，点b到直线ac的距离d利用两点之间的距离公式可得|ac|即可得出abc的面积s=d【解答】解：（1）线段ab的中点d，即d（0，2）直线cd的方程为：=1，即x+y2=0ab边中线cd所在直线方程为x+y2=0（2）设p（x，y）为ab边的垂直平分线上的任意一点，则|pa|=|pb|，=，化为：3x+y2=0（3）直线ac的方程为：y0=（x3），化为3xy9=0，点b到直线ac的距离d=|ac|=abc的面积s=d=【点评】本题考查了点斜式方程、斜率计算公式、中点坐标公式、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（14分）如图，已知pa矩形abcd所在的平面，m、n分别为ab、pc的中点，pda=45，ab=2，ad=1（）求证：mn平面pad；（）求证：平面pmc平面pcd；（）求三棱锥mpcd的体积【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】（1）取pd的中点e，连结ae、en，证明四边形amne是平行四边形，可得mnae，利用线面平行的判定，即可得出结论；（2）证明cd平面pad，可得cdae，利用pda=45，e为pd中点，证明aepd，从而ae平面pcd，利用mnae，可得mn平面pcd，从而平面pmc平面pcd；（3）vmpcd=vpmcd=smcdpa【解答】（1）证明：如图，取pd的中点e，连结ae、en则有encdam，且en=cd=ab=ma四边形amne是平行四边形mnaeae平面pad，mn平面pad，mn平面pad；（2）证明：pa矩形abcd所在的平面，cd，ad矩形abcd所在的平面，pacd，paad，cdad，paad=a，cd平面pad，又ae平面pad，cdae，pda=45，e为pd中点aepd， 又pdcd=d，ae平面pcd，mnae，mn平面p