北京市十三中高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

北京十三中2015届高三上学期期中数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1（5分）已知锐角终边上一点a的坐标是（2sin，2cos），则的弧度数是（）abcd22（5分）若a、b为实数，则“0ab1”是“a”或“b”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件3（5分）已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）aebecd4（5分）若函数，若af（a）0，则实数a的取值范围是（）a（1，0）（0，1）b（，1）（1，+）c（1，0）（1，+）d（，1）（0，1）5（5分）函数y=x2sinx，x，的大致图象是（）abcd6（5分）设函数，的零点分别为x1，x2，则（）a0x1x21bx1x2=1c1x1x22dx1x227（5分）对于函数f（x），若存在区间m=a，b（其中ab），使得y|y=f（x），xm=m，则称区间m为函数f（x）的一个“稳定区间”给出下列4个函数：f（x）=（x1）2；f（x）=|2x1|；f（x）=ex其中存在“稳定区间”的函数有（）abcd8（5分）函数y=f（x）为定义在r上的减函数，函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x22x）+f（2yy2）0，m（1，2），n（x，y），o为坐标原点，则当1x4时，的取值范围为（）a12，+b0，3c3，12d0，12二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9（5分）若复数z=（xr）为纯虚数，则x=10（5分）若+=（2，1），=（4，3），则与的夹角为11（5分）已知i=不超过5的正整数，a=x|x25x+q=0，b=x|x2+px+12=0，且iab=1，3，4，5，则p+q=12（5分）函数f（x）=asin（x+）（a0，0）的图象如图所示，则=，f（1）+f（2）+f（3）+f=13（5分）（文）已知向量，满足=0，|=1，|=2，则|2|=14（5分）如图，在直角梯形abcd中，abcd，abbc，ab=2，cd=1，bc=a（a0），p为线段ad（含端点）上一个动点，设=x，=y，对于函数y=f（x），给出以下三个结论：当a=2时，函数f（x）的值域为1，4；a（0，+），都有f（1）=1成立；a（0，+），函数f（x）的最大值都等于4其中所有正确结论的序号是三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15（13分）在锐角abc中，a=2sina且b=（）求b的大小；（）若a=3c，求c的值16（13分）已知向量=（2cosx，2sinx），=（sinx，sinx），=（1，），其中xr（）当时，求x值的集合；（）当x0，时，求|的最大值17（13分）某工厂生产某种产品，每日的成本c（单位：元）与日产里x（单位：吨）满足函数关系式c=3+x，每日的销售额r（单位：元）与日产量x满足函数关系式，已知每日的利润l=sc，且当x=2时，l=3（）求k的值；（）当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值18（13分）如图，在直角坐标系xoy中，角的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点a，且将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点b记a（x1，y1），b（x2，y2）（）若，求x2；（）分别过a，b作x轴的垂线，垂足依次为c，d记aoc的面积为s1，bod的面积为s2若s1=2s2，求角的值19（14分）已知函数f（x）=xalnx，g（x）=，（ar）（）若a=1，求函数f（x）的极值；（）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间；（）若在1，e（e=2.718）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围20（14分）已知f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在r上的函数，其图象与x轴交于a，b，c三点，若点b的坐标为（2，0），且 f（x）在1，0和4，5上有相同的单调性，在0，2和4，5上有相反的单调性（1）求 的取值范围；（2）在函数f（x）的图象上是否存在一点m（x0，y0），使得 f（x）在点m的切线斜率为3b？求出点m的坐标；若不存在，说明理由；（3）求|ac|的取值范围北京十三中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1（5分）已知锐角终边上一点a的坐标是（2sin，2cos），则的弧度数是（）abcd2考点：任意角的三角函数的定义；弧度制 专题：三角函数的求值分析：利用正切函数的定义求得三角函数的值，再求角的最小正值解答：解：由题意，点在第一象限（2sin，2cos），tan=tan，角的最小正值为故选：a点评：本题重点考查三角函数的定义，考查诱导公式的运用，属于基础题2（5分）若a、b为实数，则“0ab1”是“a”或“b”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式 专题：简易逻辑分析：因为“0ab1”“a”或“b”“a”或“b”不能推出“0ab1”，所以“0ab1”是“a”或“b”的充分而不必要条件解答：解：a、b为实数，0ab1，“0a”或“0b”“0ab1”“a”或“b”“a”或“b”不能推出“0ab1”，所以“0ab1”是“a”或“b”的充分而不必要条件故选a点评：本题考查充分分条件、必要条件和充要条件，解题时要注意基本不等式的合理运用3（5分）已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）aebecd考点：导数的几何意义 专题：计算题分析：欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决解答：解：y=lnx，y=，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为 ，所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：ylnm=（xm）它过原点，lnm=1，m=e，k=故选c点评：本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题4（5分）若函数，若af（a）0，则实数a的取值范围是（）a（1，0）（0，1）b（，1）（1，+）c（1，0）（1，+）d（，1）（0，1）考点：奇偶性与单调性的综合 专题：函数的性质及应用分析：由已知中函数，分别讨论a0时和a0时不等式af（a）0的解集，最后综合讨论结果，可得答案解答：解：当a0时，a0若af（a）0，即f（a）=log2（a）0，解得0a11a0当a0时，a0若af（a）0，即f（a）=0，解得0a1综上实数a的取值范围是（1，0）（0，1）故选a点评：本题是分段函数与对数函数的综合应用，分段函数分段处理是解答分段函数最常用的方法5（5分）函数y=x2sinx，x，的大致图象是（）abcd考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：f（x）=x+2sinx=（x2sinx）=f（x），所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，只有cd适合；由于cd图象中极值点不同，可再求函数的极值点选择答案解答：解：f（x）=x+2sinx=（x2sinx）=f（x），所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，只有cd适合，y=12cosx，由y=0解得x=，当x=时，函数取极值，故d适合，故选：d点评：本题主要考查研究函数的奇偶性，利用导数研究函数的极值点，属于基本题6（5分）设函数，的零点分别为x1，x2，则（）a0x1x21bx1x2=1c1x1x22dx1x22考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质 专题：计算题分析：题目中函数方程中含有对数与指数式，不好直接求解零点，须结合函数的图象解决，故先分别画出对数函数和指数函数的图象考虑，利用函数的图象与性质解决解答：解析：令f1（x）=0得：log2x=，令f2（x）=0得：logx=，分别画出左右两边函数的图象，如图所示由指数与对数函数的图象知：x11x20，于是有，得，故选a点评：本题考查对数函数的图象与性质，函数的图象是函数的一种表达形式，形象地显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性7（5分）对于函数f（x），若存在区间m=a，b（其中ab），使得y|y=f（x），xm=m，则称区间m为函数f（x）的一个“稳定区间”给出下列4个函数：f（x）=（x1）2；f（x）=|2x1|；f（x）=ex其中存在“稳定区间”的函数有（）abcd考点：余弦函数的定义域和值域；指数函数的定义、解析式、定义域和值域 专题：计算题；压轴题；新定义分析：根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间m即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案解答：解：中，若f（x）=（x1）2存在“稳定区间”，如当0x1时，0y1“稳定区间”：0，1；中，由幂函数的性质我们易得，m=0，1为函数f（x）=|2x1|的“稳定区间”；中，由余弦型函数的性质我们易得，m=0，1为函数 f（x）=cosx的“稳定区间”；中，若f（x）=ex存在“稳定区间”则ea+1=a，eb+1=b即ex=x1有两个解，即函数y=ex与函数y=x1的图象有两个交点，这与函数y=ex与函数y=x1的图象没有交点相矛盾，故假设错误，即f（x）=ex不存在“稳定区间”故选d点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键8（5分）函数y=f（x）为定义在r上的减函数，函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x22x）+f（2yy2）0，m（1，2），n（x，y），o为坐标原点，则当1x4时，的取值范围为（）a12，+b0，3c3，12d0，12考点：简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算 专题：计算题；压轴题；数形结合分析：判断函数的奇偶性，推出不等式，利用约束条件画出可行域，然后求解数量积的范围即可解答： 解：函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，所以f（x）为 奇函数f（x22x）f（2y+y2）0，x22x2y+y2，即，画出可行域如图，可得=x+2y0，12故选d点评：本题考查函数的奇偶性，线性规划的应用，向量的数量积的知识，是综合题，考查数形结合与计算能力二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9（5分）若复数z=（xr）为纯虚数，则x=1考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念 专题：计算题分析：根据复数z=x2xxi 为纯虚数，故应有，由此解得 x 的值解答：解：复数z=x2xxi 是纯虚数，故有 ，解得 x=1，故答案为 1点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的混合运算，两个复数相等的充要条件，属于基础题10（5分）若+=（2，1），=（4，3），则与的夹角为考点：平面向量数量积的运算 专题：等差数列与等比数列分析：利用向量的线性运算可得，再利用向量夹角公式即可得出解答：解：+=（2，1），=（4，3），=（1，2），=（3，1）=32=5，=则与的夹角为故答案为：点评：本题考查了向量的数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11（5分）已知i=不超过5的正整数，a=x|x25x+q=0，b=x|x2+px+12=0，且iab=1，3，4，5，则p+q=1考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：根据集合的基本运算结合一元二次方程根与系数之间的关系进行求解即可解答：解：全集u=1，2，3，4，5，a=x|x25x+q=0，b=x|x2+px+12=0，（ua）b=1，3，4，5，2a，将x=2代入x25x+q=0得：410+q=0，即q=6，即x25x+6=0，（x2）（x3）=0，即x=2或x=3，a=2，3，则q=23=6，ua=1，4，5，3b，将x=3代入x2+px+12=0得：9+3p+12=0，即p=7，即x27x+12=0，（x3）（x4）=0，即x=3或x=4，b=3，4p=（3+4）=7，则p+q=7+6=1，故答案为：1点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键12（5分）函数f（x）=asin（x+）（a0，0）的图象如图所示，则=，f（1）+f（2）+f（3）+f=2+2考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：由题意求出a，t，利用周期公式求出，当x=2时取得最大值2，求出，得到函数的解析式，然后化简f（1）+f（2）+f（3）+f求解即可解答：解：由函数图象可知a=2，t=8，=，当x=2时函数取得最大值2，故有：2=2sin（2+），可解得：=0，f（x）=2sin，其图象关于（4，0），x=2，x=6对称知，f（1）+f（2）+f（3）+f（8）=0，t=8，2012=2518+4，f（1）+f（2）+f（3）+f=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2（sin+sin+sin+sin）=2+2故答案为：，2+2点评：本题是中档题，考查由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，以及周期在函数解析式中的利用，考查计算能力，常考题型13（5分）（文）已知向量，满足=0，|=1，|=2，则|2|=考点：平面向量数量积的性质及其运算律；向量的模 专题：计算题分析：由向量，满足=0，|=1，|=2，知|2|2=42+24=42+2=4+2=6，由此能求出|2|解答：解析：向量，满足=0，|=1，|=2，|2|2=（2）2=42+24=42+2=4+2=6，故|2|=故答案为：点评：本题考查平面向量的性质及其运算，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答14（5分）如图，在直角梯形abcd中，abcd，abbc，ab=2，cd=1，bc=a（a0），p为线段ad（含端点）上一个动点，设=x，=y，对于函数y=f（x），给出以下三个结论：当a=2时，函数f（x）的值域为1，4；a（0，+），都有f（1）=1成立；a（0，+），函数f（x）的最大值都等于4其中所有正确结论的序号是考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：通过建立如图所示的坐标系，可得y=f（x）=（a2+1）x2（4+a2）x+4x0，1通过分类讨论，利用二次函数的单调性即可判断出解答：解：如图所示，建立直角坐标系在直角梯形abcd中，abcd，abbc，ab=2，cd=1，bc=a（a0），b（0，0），a（2，0），d（1，a），c（0，a）=x，（0x1）=（2，0）+x（1，a）=（x2，xa），=（0，a）（x2，xa）=（2x，axa）y=f（x）=（2x，xa）（2x，axa）=（2x）2ax（axa）=（a2+1）x2（4+a2）x+4当a=2时，y=f（x）=5x28x+4=，0x1，当x=时，f（x）取得最小值；又f（0）=4，f（1）=1，f（x）max=f（0）=4综上可得：函数f（x）的值域为因此不正确由y=f（x）=（a2+1）x2（4+a2）x+4可得：a（0，+），都有f（1）=1成立，因此正确；由y=f（x）=（a2+1）x2（4+a2）x+4可知：对称轴x0=当0a时，1x0，函数f（x）在0，1单调递减，因此当x=0时，函数f（x）取得最大值4当时，0x01，函数f（x）在0，x0）单调递减，在（x0，1上单调递增又f（0）=4，f（1）=1，f（x）max=f（0）=4因此正确综上可知：只有正确故答案为：点评：本题考查了数量积运算、分类讨论、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15（13分）在锐角abc中，a=2sina且b=（）求b的大小；（）若a=3c，求c的值考点：余弦定理；正弦定理 专题：三角函数的求值分析：（）利用正弦定理列出关系式，将已知等式与b的值代入即可求出b的大小；（）利用余弦定理列出关系式，将a=3c，b，以及cosb的值代入求出c的值，判断即可得到结果解答：解：（）由正弦定理可得=，a=2sina，b=，sinb=，则在锐角abc中，b=60；（）由余弦定理可得b2=a2+c22accosb，又a=3c，b=，cosb=，21=9c2+c23c2，即c2=3，解得：c=，经检验，由cosa=0，可得a90，不符合题意，则a=3c时，此三角形无解点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键16（13分）已知向量=（2cosx，2sinx），=（sinx，sinx），=（1，），其中xr（）当时，求x值的集合；（）当x0，时，求|的最大值考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用 专题：平面向量及应用分析：（）由，可得=0，化为，即可得出；（ii）利用数量积性质与正弦函数的单调性即可得出解答：解：（），=2sin2x=1=0，由或2x+=+2k（kz），x值的集合为（）=，x0，当=，即x=0时，|有最大值为=2点评：本题考查了向量的数量积运算性质、正弦函数的单调性、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（13分）某工厂生产某种产品，每日的成本c（单位：元）与日产里x（单位：吨）满足函数关系式c=3+x，每日的销售额r（单位：元）与日产量x满足函数关系式，已知每日的利润l=sc，且当x=2时，l=3（）求k的值；（）当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值考点：函数模型的选择与应用；函数最值的应用 专题：计算题；应用题分析：（）根据每日的利润l=sc建立函数关系，然后根据当x=2时，l=3可求出k的值；（）当0x6时，利用基本不等式求出函数的最大值，当x6时利用函数单调性求出函数的最大值，比较两最大值即可得到所求解答：解：（）由题意可得：l=因为x=2时，l=3所以3=22+2所以k=18（）当0x6时，l=2x+2所以l=2（x8）+18=2（8x）+182+18=6当且仅当2（8x）=即x=5时取等号当x6时，l=11x5所以当x=5时，l取得最大值6所以当日产量为5吨时，毎日的利润可以达到最大值6点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题18（13分）如图，在直角坐标系xoy中，角的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点a，且将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点b记a（x1，y1），b（x2，y2）（）若，求x2；（）分别过a，b作x轴的垂线，垂足依次为c，d记aoc的面积为s1，bod的面积为s2若s1=2s2，求角的值考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义 专题：三角函数的图像与性质分析：（）由三角函数定义，得 x1=cos=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sin的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果（）依题意得 y1=sin，分别求得s1 和s2 的解析式，再由s1=2s2 求得cos2=0，根据的范围，求得的值解答：（）解：由三角函数定义，得 x1=cos，因为 ，所以 所以 （）解：依题意得 y1=sin， 所以 ，依题意s1=2s2 得 ，即sin2=2sin2cos+cos2sin=sin2cos2，整理得 cos2=0因为 ，所以 ，所以 ，即 点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题19（14分）已知函数f（x）=xalnx，g（x）=，（ar）（）若a=1，求函数f（x）的极值；（）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间；（）若在1，e（e=2.718）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想分析：（）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数f（x）的极值；（）先求出函数h（x）的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（）先把f（x0）g（x0）成立转化为h（x0）0，即函数在1，e上的最小值小于零；再结合（）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围解答：解：（）f（x）的定义域为（0，+），（1分）当a=1时，f（x）=xlnx，（2分）x（0，1）1（1，+）f（x）0+f（x）极小（3分）所以f（x）在x=1处取得极小值1（4分）（），（6分）当a+10时，即a1时，在（0，1+a）上h（x）0，在（1+a，+）上h（x）0，所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+）上单调递增；（7分）当1+a0，即a1时，在（0，+）上h（x）0，所以，函数h（x）在（0，+）上单调递增（8分）（ iii）在1，e上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，即在1，e上存在一点x0，使得h（x0）0，即函数在1，e上的最大值小于零（9分）由（）可知即1+ae，即ae1时，h（x）在1，e上单调递增，所以h（x）的最小值为h（e），由可得，因为，所以；（10分）当1+a1，即a0时，h（x）在1，e上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a0可得a2；（11分）当11+ae，即0ae1时，可得h（x）最小值为h（1+a），因为0ln（1+a）1，所以，0aln（1+a）a故h（1+a）=2+aaln（1+a）2此时，h（1+a）0不成立（12分）综上讨论可得所求a的范围是：或a2（13分）点评：本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值在利用导函数来研究函数的极