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第八节圆锥的侧面积 第三章圆 生活中的圆锥形物体 圆锥的侧面展开图 动画演示 3 圆锥的侧面展开图是一个扇形 设圆锥的母线为底面圆的半径为 那么 这个扇形的半径为 扇形的弧长等于底面圆周长为 因此圆锥的侧面积为 4 圆锥的侧面积与底面积之和为圆锥的全面积 例1 已知圆锥的底面直径为4 母线长为6 则它的侧面积为 例2 用一个半径为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面 则此圆锥的底面半径为 3cm 理解概念 圣诞节将近 某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽 已知纸帽的底面周长为58cm 高为20cm 要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸 结果精确到0 1cm2 分析 根据题意 要求纸帽的面积 即求圆锥的侧面积 现在已知底面圆的周长 从中可求出底面圆的半径 因而可得出扇形的弧长 再根据勾股定理求出母线长 代入计算公式中即可 数学与生活 所以 至少需要12777 4cm2的纸 r 解 设纸帽的底面半径为rcm 母线长为cm 则 例 如图 一个圆锥形烟囱帽的底面直径是80cm 母线长50cm 要加工这样一个烟囱帽 需要多少铁皮 工匠师傅怎样从一个圆形铁皮中将其剪下来 分析 从实际问题出发 怎样剪下需要的铁皮 在半径确定的情况下 要确定圆心角 因此需求侧面展开图中扇形的圆心角 数学与生产实际 设扇形的圆心角为 则 从圆形铁皮上剪下一个圆心角为2880的扇形即可 即 n 288 解 侧面积s侧 例 如图 有一圆锥形粮堆 其正视图是边长为6m的正三角形abc 粮堆母线ac的中点p处有一老鼠正在偷吃粮食 此时小猫正在b处 它要沿圆锥侧面到达p处捕捉老鼠 则小猫所经过的最短路程是多少 分析 小猫所经过的路程最短 应该求圆锥侧面展开后两点b p之间的线段长度 课外延伸 j a 6 p c b o 轴截面 abc为等边三角形 ab bc 即 即其侧面积展开图为半圆 解 设圆锥底面半径为 母线为 展开后圆心角度数为 则底面圆的周长为 侧面展开图的弧长为 则 abp为直角三角形 bp为最短路线 在rt abp中 bp 答 小猫所经过的最短路程为 圆锥的侧面展开图是一个扇形 知识归纳 若圆锥母线为 底面半径为 那么这个扇形的半径为 扇形的弧长为 因此圆锥的侧面积为 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积 圆锥的基本特征是 圆锥的高通过底面的圆心 并且垂直于底面 圆锥的母线长都相等 经过圆锥的高的平面被圆锥截得的图形是等腰三角形 圆锥的侧面展开图是半径等于母线长 弧长等于圆锥底面周长的扇形 这里涉及两个半径 要分清楚 课外作业 课本习题3 8 想一想 试一试
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