北京市景山学校高三数学上学期11月月考试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年北京市景山学校高三（上）11月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合u=1，2，3，4，5，6，7，a=1，3，5，7，b=1，3，5，6，7，则集合u（ab）是( )a2，4，6b1，3，5，7c2，4d2，5，62下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是( )abcy=x3dy=tanx3已知命题p：x0，2x=3，则( )ap：x0，2x3bp：x0，2x3cp：x0，2x3dp：x0，2x34已知，为不重合的两个平面，直线m，那么“m”是“”的( )a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件5已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为( )a1b3c1或3d06已知函数f（x）=，则f（x）的最小值为( )a4b2c2d47已知向量=（1，0），=（0，1），=+（r），向量如图所示则( )a存在0，使得向量与向量垂直b存在0，使得向量与向量夹角为60c存在0，使得向量与向量夹角为30d存在0，使得向量与向量共线8定义在r上的函数y=f（x）是减函数，且函数y=f（x1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s22s）f（2tt2）则当1s4时，的取值范围是( )abcd二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9如图所示一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_10函数f（x）=lnx2x的极值点为_11已知，则a，b，c的大小关系为_12已知abc是正三角形，若与向量的夹角大于90，则实数的取值范围是_13如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示给出下说法：图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；图（3）的建议是：提高票价，并降低成本其中所有说法正确的序号是_14定义在（0，+）上的函数f（x）满足：当x上的最大值（其中e为自然对数的底数）20（13分）已知函数f（x）的图象在上连续不断，定义：f1（x）=minf（t）|atx（x），f2（x）=maxf（t）|atx（x）其中，minf（x）|xd表示函数f（x）在d上的最小值，maxf（x）|xd表示函数f（x）在d上的最大值若存在最小正整数k，使得f2（x）f1（x）k（xa）对任意的x成立，则称函数f（x）为上的“k阶收缩函数”（1）若f（x）=cosx，x，试写出f1（x），f2（x）的表达式；（2）已知函数f（x）=x2，x，试判断f（x）是否为上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；（3）已知b0，函数f（x）=x3+3x2是上的2阶收缩函数，求b的取值范围2015-2016学年北京市景山学校高三（上）11月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合u=1，2，3，4，5，6，7，a=1，3，5，7，b=1，3，5，6，7，则集合u（ab）是( )a2，4，6b1，3，5，7c2，4d2，5，6【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题【分析】先根据交集的定义求出ab；再结合补集概念即可得到结论【解答】解：因为a=1，3，5，7，b=1，3，5，6，7，ab=1，3，5，7u=1，2，3，4，5，6，7；cu（ab）=2，4，6故选：a【点评】本题主要考察集合的交，并，补混合运算，是对基础知识的考察，在高考中出现在前三题得位置里2下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是( )abcy=x3dy=tanx【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】阅读型【分析】根据函数的奇函数的性质及函数的单调性的判断方法对四个选项逐一判断，得出正确选项【解答】解：a选项的定义域不关于原点对称，故不正确；b选项正确，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减；c选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增；d选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增故选b【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，求解本题的关键是掌握住判断函数的奇偶性的方法与判断函数的单调性的方法，本题中几个函数都是基本函数，对基本函数的性质的了解有助于快速判断出正确选项3已知命题p：x0，2x=3，则( )ap：x0，2x3bp：x0，2x3cp：x0，2x3dp：x0，2x3【考点】命题的否定【专题】常规题型【分析】存在性命题”的否定一定是“全称命题【解答】解：存在性命题”的否定一定是“全称命题命题p：x0，2x=3的否定为：x0，2x3故选b【点评】本题考查了命题的否定，命题的否定即命题的对立面“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述如“对任意的都成立”与“至少有一个不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题，属于基础题4已知，为不重合的两个平面，直线m，那么“m”是“”的( )a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面垂直的判定【分析】利用平面垂直的判定定理得到前者能推出后者；容易判断出后者推不出前者；利用各种条件的定义得到选项【解答】解：平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直直线m，那么“m”成立时，一定有“”成立反之，直线m，若“”不一定有“m”成立所以直线m，那么“m”是“”的充分不必要条件故选a【点评】本题考查平面垂直的判定定理、考查各种条件的定义并利用定义如何判定一个命题是另一个命题的什么条件5已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为( )a1b3c1或3d0【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【分析】由于直线y=kx+2在y轴上的截距为2，即可作出不等式组表示的平面区域三角形；再由三角形面积公式解之即可【解答】解：不等式组表示的平面区域如下图，解得点b的坐标为（2，2k+2），所以sabc=（2k+2）2=4，解得k=1故选a【点评】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的作法6已知函数f（x）=，则f（x）的最小值为( )a4b2c2d4【考点】三角函数的最值【专题】三角函数的求值【分析】由三角函数求x1时的最小值，综合可得【解答】解：当x1时，x，y=4sin（x），当x1时，f（x）的最小值为2，当x1时，f（x）=2，综合可得f（x）的最小值为：2故选：b【点评】本题考查三角函数区间的最值，属基础题7已知向量=（1，0），=（0，1），=+（r），向量如图所示则( )a存在0，使得向量与向量垂直b存在0，使得向量与向量夹角为60c存在0，使得向量与向量夹角为30d存在0，使得向量与向量共线【考点】向量的共线定理【专题】计算题【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0，判断出a错；利用向量的数量积的坐标公式及模，夹角公式判断出b，c错；利用向量共线的充要条件判断出d对【解答】解：由图知，则若则4+3=0得，故a错若夹角为60则有即112+96+39=0，有两个负根；故b错；若夹角为30，则有即39296+9=0有两个正根，故c错；若两个向量共线则有4=3解得，故d对故选d【点评】本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0即对应的坐标相乘等于0；向量共线的充要条件：坐标交叉相乘相等8定义在r上的函数y=f（x）是减函数，且函数y=f（x1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s22s）f（2tt2）则当1s4时，的取值范围是( )abcd【考点】奇偶性与单调性的综合；函数解析式的求解及常用方法【专题】计算题；综合题；压轴题【分析】首先由由f（x1）的图象关于（1，0）中心对称知f（x）的图象关于（0，0）中心对称，根据奇函数定义与减函数性质得出s与t的关系式，然后利用不等式的基本性质即可求得结果【解答】解析：由f（x1）的图象相当于f（x）的图象向右平移了一个单位又由f（x1）的图象关于（1，0）中心对称知f（x）的图象关于（0，0）中心对称，即函数f（x）为奇函数得f（s22s）f（t22t），从而t22ts22s，化简得（ts）（t+s2）0，又1s4，故2sts，从而，而，故故选c【点评】题综合考查函数的奇偶性、单调性知识；同时考查由最大值、最小值求取值范围的策略，以及运算能力，属中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9如图所示一个几何体的三视图，则该几何体的体积为【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积s=22=2，棱锥的高h=2，故棱锥的体积v=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状10函数f（x）=lnx2x的极值点为【考点】利用导数研究函数的极值【专题】计算题【分析】先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可得出结论【解答】解：因为f（x）=2=0x=又x0，0x时，f（x）0f（x）为增函数；x时，f（x）0，的f（x）为减函数故是函数的极值点故答案为：【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值在利用导函数来研究函数的极值时，分三步求导函数，求导函数为0的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值11已知，则a，b，c的大小关系为abc【考点】对数值大小的比较【专题】函数的性质及应用【分析】利用对数和指数的运算性质确定a，b，c的大小关系即可【解答】解：2b=3，b=log23，log25log231，即ab1，log321，c1a，b，c的大小关系为 abc故答案为：abc【点评】本题主要考查对数的运算法则，利用对数的单调性和对数函数的图象和性质进行判断即可12已知abc是正三角形，若与向量的夹角大于90，则实数的取值范围是（2，+）【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】平面向量及应用【分析】由于与向量的夹角大于90，可得0，利用数量积运算和正三角形的性质即可得出【解答】解：abc是正三角形，=与向量的夹角大于90，=0，解得2实数的取值范围是2故答案为（2，+）【点评】本题考查了数量积运算和正三角形的性质等基础知识与基本方法，属于基础题13如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示给出下说法：图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；图（3）的建议是：提高票价，并降低成本其中所有说法正确的序号是【考点】函数的图象与图象变化【专题】阅读型；数形结合【分析】根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x=0的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明【解答】解：根据题意和图（2）知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；故正确；由图（3）看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故正确故答案为：【点评】本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想，解题的关键是对图形的理解14定义在（0，+）上的函数f（x）满足：当x时，由，可得f（x）=3f（），f（x）；同理，当x（6，9）时，f（x）；此时f（x）分别作出y=f（x），y=a，则f（x）=f（x）a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=26，依此类推：x3+x4=218，x2n1+x2n=223n利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：当x；f（3x）=3f（x）当x1时，则13x3，由f（x）=f（3x）可知：f（x）同理，当x（0，）时，0f（x）1，当x时，由，可得f（x）=3f（），f（x）；同理，当x（6，9）时，由（2，3），可得f（x）=3f（），f（x）；此时f（x）当a=1时，x1=2，x2+x3=12，x1+x2+x3=14当a（1，3）时则f（x）=f（x）a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=26，依此类推：x3+x4=218，x2n1+x2n=223n当a（1，3）时，x1+x2+x2n1+x2n=4（3+32+3n）=4=6（3n1）故答案为：14，6（3n1）【点评】本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能，属于难题三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（13分）在锐角abc中，角a，b，c的对边的长分别为a，b，c，已知b=5，（i）求c的值； （ii）求sinc的值【考点】解三角形【专题】计算题【分析】（i）由b的值和sina的值，利用三角形的面积公式表示出三角形abc的面积，让面积等于得到关于c的方程，求出才的解即可得到c的值；（ii）由三角形为锐角三角形，得到a的范围，由sina的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosa的值，然后由b，c和cosa的值即可求出a的值，再由c，a和sina的值，利用正弦定理即可求出sinc的值【解答】解：（i）由b=5，sina=，则，可得5c=，解得c=6；（ii）由锐角abc中可得：，由余弦定理可得：，有：a=4由正弦定理：，即【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理及三角形的面积公式化简求值，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题16（13分）已知函数（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间上的取值范围【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性【专题】三角函数的图像与性质【分析】（i）利用倍角公式和两角和的正弦公式及三角函数的周期公式即可得出；（ii）利用正弦函数的单调性即可得出【解答】解：（ i）=，f（x）最小正周期为（ ii），f（x）取值范围为【点评】本题考查了倍角公式和两角和的正弦公式及三角函数的单调性、周期公式等基础知识与基本方法，属于中档题17如图正方形adef与梯形abcd所在的平面互相垂直，adcd，abcd，ab=ad=2，cd=4，m为ce的中点（）求证：bm平面adef；（）求证：平面bde平面bec；（）求平面bec与平面adef所成锐二面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【专题】计算题；证明题【分析】（i）取de中点n，连接mn，an，由三角形中位线定理，结合已知中abcd，ab=ad=2，cd=4，易得四边形abmn为平行四边形，所以bman，再由线面平面的判定定理，可得bm平面adef；（ii）由已知中正方形adef与梯形abcd所在的平面互相垂直，易得ed平面abcd，进而edbc，由勾股定理，我们易判断出bcd中，bcbd，由线面垂直的判定定理可得bc平面bde，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面bde平面bec；（iii）以d为原点，da，dc，de所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面bec与平面adef的法向量，代入向量夹角公式，即可求出平面bec与平面adef所成锐二面角的余弦值【解答】证明：（i）取de中点n，连接mn，an在edc中，m、n分别为ec，ed的中点，所以mncd，且mn=cd由已知abcd，ab=cd，所以mnab，且mn=ab所以四边形abmn为平行四边形，所以bman又因为an平面adef，且bm平面adef，所以bm平面adef（ii）在正方形adef中，edad，又因为平面adef平面abcd，且平面adef平面abcd=ad，所以ed平面abcd，所以edbc在直角梯形abcd中，ab=ad=2，cd=4，可得bc=2在bcd中，bd=bc=2，cd=4，所以bcbd所以bc平面bde，又因为bc平面bce，所以平面bde平面bec解：（iii）由（2）知ed平面abcd，且adcd以d为原点，da，dc，de所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系b（2，2，0），c（0，4，0），e（0，0，2），平面adef的一个法向量为=（0，1，0）设=（x，y，z）为平面bec的一个法向量，因为，令x=1，得y=1，z=2所以=（1，1，2）为平面bec的一个法向量设平面bec与平面adef所成锐二面角为则cos=所以平面bec与平面adef所成锐二面角为余弦值为【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面不同位置关系（平行和垂直）的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键18（13分）在数列an中，a1+a2+a3+an=nan（n=1，2，3，）（i）求a1，a2，a3的值；（ii）设bn=an1，求证：数列bn是等比数列；（iii）设 （n=1，2，3，），如果对任意nn*，都有，求正整数t的最小值【考点】数列递推式；等比关系的确定；数列与不等式的综合【专题】综合题【分析】（i）在递推公式中依次令n=1，2，3计算求解（ii）由已知可得，sn=nan，当n2时，s n1=（n1）an1，an=snsn1=1an+an1，继而an1=（an11），所以数列bn是等比数列，（iii）由（）得bn=，=，用作差比较法判断cn的单调性，得出其最大值，令最大值小于，求正整数t的最小值【解答】（i）解：由已知，a1=1a1，a1=a1+a2=2a2，a2=a1+a2+a3=3a3，a3=（ii）证明：由已知可得，sn=nan，当n2时，s n1=（n1）an1，an=snsn1=1an+an1an1=（an11），即当n2时，bn=bn1，b1=a11=0所以数列bn是等比数列，其首项为，公比为（iii）解：由（）得bn=，=cncn1=c1c2c3=c4c5cn有最大值c3=c4=，任意nn*，都有，当且仅当即t，故正整数t的最小值是4【点评】本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，考查等比数列的判定、通项公式求解，数列的函数性质，考查变形构造、转化、计算能力19（13分）已知函数，其中a0（）求函数f（x）的单调区间；（）若直线xy1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（）设g（x）=xlnxx2f（x），求g（x）在区间上的最大值（其中e为自然对数的底数）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【专题】计算题；压轴题；分类讨论【分析】（）先求导函数，直接让导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；（）直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数a的值；（）先求出g（x）的导函数，分情况讨论出函数在区间上的单调性，进而求得其在区间上的最大值【解答】解：（）因为函数，f（x）=f（x）00x2，f（x）0x0，x2，故函数在（0，2）上递增，在（，0）和（2，+）上递减（）设切点为（x，y），由切线斜率k=1=，x3=ax+2，由xy1=x1=0（x2a）（x1）=0x=1，x=把x=1代入得a=1，把x=代入得a=1，把x=代入得a=1，a0故所求实数a的值为1（）g（x）=xlnxx2f（x）=xlnxa（x1），g（x）=lnx+1a，且g（1）=1a，g（e）=2a当a1时，g（1）0，g（e）0，故g（x）在区间上递增，其最大值为g（e）=a+e（1a）；当1a2时，g（1）0，g（e）0，故g（x）在区间上先减后增且g（1）=0，g（e）0所以g（x）在区间上的最大值为g（e）=a+e（1a）；当a2时，g（1）0，g（e）0，g（x）在区间上递减，故最大值为g（1）=0【点评】本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性，是高考的常考题型20（13分）已知函数f（x）的图象在上连续不断，定义：f1（x）=minf（t）|atx（x），f2（x）=maxf（t）|atx（x）其中，minf（x）|xd表示函数f（x）在d上的最小值，maxf（x）|xd表示函数f（x）在d上的