北京市房山区高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

2015年北京市房山区 高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1若pq是假命题，则（）a pq是假命题b pq是假命题c p是假命题d q是假命题2下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）a y=x1b y=tanxc y=x3d y=log2x3如图，a，b，c，d是o上的四个点，过点b的切线与dc的延长线交于点e若bcd=110，则dbe=（）a 75b 70c 60d 554设平面向量=（1，2），=（2，y），若，则|2|等于（）a 4b 5c d 5已知m，n是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则|mn|的最大值是（）a b c d 6已知数列an的前n项和为sn，a1=1，2sn=an+1，则sn=（）a 2n1b 2n1c 3n1d 7一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）a b c d 98定义运算，称为将点（x，y）映到点（x，y）的一次变换若=把直线y=kx上的各点映到这点本身，而把直线y=mx上的各点映到这点关于原点对称的点则k，m，p，q的值依次是（）a k=1，m=2，p=3，q=3b k=1，m=3，p=3，q=2c k=2，m=3，p=3，q=1d k=2，m=1，p=3，q=3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9在复平面内，复数i（2i）对应的点的坐标为10直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为11在abc中，角a，b，c所对的边分别是a，b，c.，则tanb=12若展开式中的二项式系数和为64，则n等于，该展开式中的常数项为13抛物线c：y2=2px的焦点坐标为，则抛物线c的方程为，若点p在抛物线c上运动，点q在直线x+y+5=0上运动，则|pq|的最小值等于14在数列an中，如果对任意的nn*，都有=（为常数），则称数列an为比等差数列，称为比公差现给出以下命题：若数列fn满足f1=1，f2=1，fn=fn1+fn2（n3），则该数列不是比等差数列；若数列an满足，则数列an是比等差数列，且比公差=0；等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；若an是等差数列，bn是等比数列，则数列anbn是比等差数列其中所有真命题的序号是三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）的最小正周期为，且图象过点（）求，的值；（）设，求函数g（x）的单调递增区间16如图，abcd是正方形，de平面abcd，afde，de=da=3af（） 求证：acbe；（） 求二面角fbed的余弦值；（）设点m是线段bd上一个动点，试确定点m的位置，使得am平面bef，证明你的结论17小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为（）若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率；（）若小明上学走路线2，求遇到红灯次数x的数学期望；（）按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由18已知函数（a0）（）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（）当x=5时，f（x）取得极值若m5，求函数f（x）在上的最小值；求证：对任意x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|219已知椭圆c：的离心率为，且过点直线交椭圆c于b，d（不与点a重合）两点（）求椭圆c的方程；（）abd的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由20设m3，对于项数为m的有穷数列an，令bk为a1，a2，a3ak（km）中的最大值，称数列bn为an的“创新数列”例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7考查自然数1、2m（m3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列cn（）若m=5，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列cn；（）是否存在数列cn的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；（）是否存在数列cn，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列cn的个数；若不存在，请说明理由2015年北京市房山区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1若pq是假命题，则（）a pq是假命题b pq是假命题c p是假命题d q是假命题考点：复合命题的真假专题：常规题型分析：由题意，可得p，q的真假性，进而得到正确选项解答：由于pq是假命题，则p是假命题，q是假命题，所以p是真命题，q是假命题，所以pq是假命题，pq是真命题，q是真命题，故选a点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断2下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）a y=x1b y=tanxc y=x3d y=log2x考点：奇偶性与单调性的综合专题：综合题；函数的性质及应用分析：根据函数的奇偶性、单调性逐项判断即可解答：解：y=x1非奇非偶函数，故排除a；y=tanx为奇函数，但在定义域内不单调，故排除b；y=log2x单调递增，但为非奇非偶函数，故排除d；令f（x）=x3，定义域为r，关于原点对称，且f（x）=（x）3=x3=f（x），所以f（x）为奇函数，又f（x）在定义域r上递增，故选c点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法，应熟练掌握3如图，a，b，c，d是o上的四个点，过点b的切线与dc的延长线交于点e若bcd=110，则dbe=（）a 75b 70c 60d 55考点：与圆有关的比例线段分析：利用四点共圆的性质可得a，再利用弦切角定理即可得出dbe=a解答：解：a，b，c，d是o上的四个点，a+bcd=180，bcd=110，a=70be与o相切于点b，dbe=a=70故选b点评：熟练掌握四点共圆的性质、弦切角定理是解题的关键4设平面向量=（1，2），=（2，y），若，则|2|等于（）a 4b 5c d 考点：平行向量与共线向量；向量的模专题：平面向量及应用分析：利用向量共线定理即可得出y，从而计算出的坐标，利用向量模的计算公式即可得出解答：解：，22y=0，解得y=4=2（1，2）（2，4）=（4，8），|2|=故选d点评：熟练掌握向量共线定理、向量模的计算公式是解题的关键5已知m，n是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则|mn|的最大值是（）a b c d 考点：简单线性规划；两点间的距离公式专题：计算题；不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形abcd因为四边形abcd的对角线bd是区域中最长的线段，所以当m、n分别与对角线bd的两个端点重合时，|mn|取得最大值，由此结合两点间的距离公式可得本题答案解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形abcd，其中a（1，1），b（5，1），c（，），d（1，2）m、n是区域内的两个不同的点运动点m、n，可得当m、n分别与对角线bd的两个端点重合时，距离最远因此|mn|的最大值是|bd|=故选：b点评：题给出二元一次不等式组表示的平面区域内动点m、n，求|mn|的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和平面内两点间的距离公式等知识，属于基础题6已知数列an的前n项和为sn，a1=1，2sn=an+1，则sn=（）a 2n1b 2n1c 3n1d 考点：数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：利用当n2时，2sn=an+1，2sn1=an，两式相减得3an=an+1，再利用等比数列的前n项和公式即可得出，n=1时单独考虑解答：解：当n=1时，a1=1，2s1=a2，a2=2当n2时，由2sn=an+1，2sn1=an，两式相减得2an=an+1an，an+1=3an，数列an是以a2=2，3为公比的等比数列，=3n1，当n=1时，上式也成立故选c点评：熟练掌握an=snsn1（n2）及等比数列的前n项和公式是解题的关键7一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）a b c d 9考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可解答：解：三视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：直角顶点处的三条棱长：3，3其中斜侧面的高为：3几何体的表面积是：=故选a点评：本题考查三视图与几何体的关系，判断几何体的形状是解题的关键8定义运算，称为将点（x，y）映到点（x，y）的一次变换若=把直线y=kx上的各点映到这点本身，而把直线y=mx上的各点映到这点关于原点对称的点则k，m，p，q的值依次是（）a k=1，m=2，p=3，q=3b k=1，m=3，p=3，q=2c k=2，m=3，p=3，q=1d k=2，m=1，p=3，q=3考点：几种特殊的矩阵变换专题：新定义分析：设（1，k）是曲线y=kx上的点，在矩阵 的作用下的点为（1，k），再设（1，m）是曲线y=mx上的点，在矩阵 的作用下的点为（1，m），得出关于k，m，p，q的方程组，从而解决问题解答：解：设（1，k）是曲线y=kx上的点，在矩阵 的作用下的点为（1，k），即 设（1，m）是曲线y=mx上的点，在矩阵 的作用下的点为（1，m），由得k=1，m=3，p=3，q=2故选b点评：本小题主要考查几种特殊的矩阵变换、曲线与方程等基础知识，考查运算求解能力，解答的关键是利用待定系数法求解，属于基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9在复平面内，复数i（2i）对应的点的坐标为（1，2）考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：利用复数的运算法则化为1+2i，再利用复数的几何意义可得到复数i（2i）对应的点的坐标解答：解：复数i（2i）=1+2i复数i（2i）对应的点的坐标为（1，2）故答案为（1，2）点评：熟练掌握复数的运算法则、复数的几何意义是解题的关键10直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为考点：参数方程化成普通方程专题：计算题分析：先将利用消参法将直线的参数方程化成直线的普通方程，再将直线写出斜截式，求出斜率即可解答：解：直线l的参数方程为（t为参数）消去参数t得y1=（x1）则直线l的斜率为，故答案为：点评：本题主要考查了直线的参数方程，以及直线的斜率等基础知识，属于基础题11在abc中，角a，b，c所对的边分别是a，b，c.，则tanb=考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系专题：计算题；解三角形分析：根据正弦定理，算出sinb=，由ba得b是锐角，利用同角三角函数的平方关系算出cosb=，再用商数关系算出tanb=，即可得到本题答案解答：解：由正弦定理，得sinb=ba可得b是锐角，cosb=，因此，tanb=故答案为：点评：本题给出三角形abc的两边和其中一边的对角，求另一个角的正切之值，着重考查了利用正弦定理解三角形和同角三角函数基本关系等知识，属于基础题12若展开式中的二项式系数和为64，则n等于6，该展开式中的常数项为15考点：二项式系数的性质专题：计算题分析：由题意可得得2n=64，求得n=6在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，即可求得展开式中的常数项解答：解：由 展开式中的二项式系数和为64，可得2n=64，n=6由于=，展开式的通项公式为 tr+1=x122rxr=x123r，令123r=0，r=4，故该展开式中的常数项为 =15，故答案为 6，15点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题13抛物线c：y2=2px的焦点坐标为，则抛物线c的方程为y2=2x，若点p在抛物线c上运动，点q在直线x+y+5=0上运动，则|pq|的最小值等于考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：由y2=2px的焦点坐标为，得，从而求得p值，设与直线x+y+5=0平行的抛物线的切线方程为x+y+m=0，直线x+y+5=0与切线距离即为|pq|的最小值，联立切线方程与抛物线方程消掉x得y的二次方程，令=0可求得m值，从而得切线方程，根据两点间距离公式即可求得答案解答：解：因为y2=2px的焦点坐标为，所以p0，且，解得p=1，所以抛物线方程为y2=2x，设与直线x+y+5=0平行的抛物线的切线方程为x+y+m=0，由得y2+2y+2m=0，令=0，即2242m=0，解得m=，则切线方程为x+y+=0，两平行线间的距离d=，即为|pq|的最小值故答案分别为：y2=2x，点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、抛物线的性质，考查转化思想，解决本题的关键把|pq|的最小值转化为直线与抛物线切线间的距离求解14在数列an中，如果对任意的nn*，都有=（为常数），则称数列an为比等差数列，称为比公差现给出以下命题：若数列fn满足f1=1，f2=1，fn=fn1+fn2（n3），则该数列不是比等差数列；若数列an满足，则数列an是比等差数列，且比公差=0；等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；若an是等差数列，bn是等比数列，则数列anbn是比等差数列其中所有真命题的序号是考点：命题的真假判断与应用；等比关系的确定专题：阅读型；新定义分析：斐波那契数列fn，根据斐波那契数列的性质进行化简变形，看其是否满足比等差数列的定义；若an=32n1，代入进行求解看是否是常数，可得答案；根据等比数列的定义可知=，满足比等差数列的定义，若等差数列为an=n，看其是否满足=（为常数）；如果an是等差数列，bn是等比数列，设an=n，bn=2n，看其是否满足比等差数列的定义解答：解：由题意知，数列fn为斐波那契数列fn，=常数，不满足比等差数列的定义，故正确；若an=32n1，则=0，满足比等差数列的定义，故正确；等比数列都有=0，满足比等差数列的定义，若等差数列为an=1，则有=0，故不正确；如果an是等差数列，bn是等比数列，设an=n，bn=2n，则=常数，不满足比等差数列的定义，故不正确；故答案为：点评：本题考查新定义，解题时应正确理解新定义，同时注意利用列举法判断命题为假，属于难题三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）的最小正周期为，且图象过点（）求，的值；（）设，求函数g（x）的单调递增区间考点：y=asin（x+）中参数的物理意义；二倍角的正弦；正弦函数的单调性专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：（）利用函数的周期公式求出，通过函数图象经过的点直接求解的值；（）化简的表达式，通过正弦函数的单调增区间，直接求函数g（x）的单调递增区间解答：解：（）因为函数f（x）=sin（x+）（0，0）的最小正周期为，所以t=，=2，图象过点所以，0，所以=（）因为=sin（2x+）sin（2x）=cos2xsin2x=sin4x，由2k，kz得 ，所以函数的单调增区间为点评：本题考查三角函数的化简，函数的周期的求法，二倍角的正弦函数，函数的单调性的应用，考查计算能力16如图，abcd是正方形，de平面abcd，afde，de=da=3af（） 求证：acbe；（） 求二面角fbed的余弦值；（）设点m是线段bd上一个动点，试确定点m的位置，使得am平面bef，证明你的结论考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定专题：计算题；证明题；空间角；空间向量及应用分析：（i）在正方形abcd中，可得acbd根据de平面abcd，得deac，由线面垂直的判定定理可得ac平面bde，从而可得acbe；（ii）分别以dadcde为x轴、y轴、z轴，建立如图所求空间直角坐标系设ad=3，则可得de=3，af=1，可得d、a、b、c、e和f各点的坐标，进而得到向量、的坐标，再利用垂直向量数量积为零建立方程组，解出平面bef的一个法向量为=（2，1，3），而=（3，3，0）是平面bde的一个法向量，根据空间向量的夹角公式算出、所成的角余弦值，即可得到二面角fbed的余弦值；（iii）设m（t，t，0）（）可得关于t的坐标形式，根据am平面bef，得=0，由数量积为零建立关于t的方程，解之得t=1，从而得到当bm=bd时，am平面bef解答：解：（）de平面abcd，ac平面abcd，deac 四边形abcd是正方形，acbd，又bd、de是平面bde内的相交直线，ac平面bde，结合be平面bde，得acbe；（4分）（ii）因为直线bd、bc、be两两垂直，所以分别以dadcde为x轴、y轴、z轴，建立如图所求空间直角坐标系设ad=3，则可得de=3，af=1因此，d（0，0，0），a（3，0，0），b（3，3，0），c（0，3，0），e（0，0，3），f（3，0，1）=（0，3，1），=（3，0，2）（5分）设平面bef的法向量为=（x，y，z），得，令z=3，得x=2且y=1，可得=（2，1，3），（7分）ac平面bde，得=（3，3，0）是平面bde的一个法向量二面角fbed的大小即为向量、所成角的大小（或其补角）cos=结合图形加以观察，可得二面角fbed的余弦值为|cos|=；（10分）（）点m是线段bd上一个动点，根据（ii）的结论，设m（t，t，0）（）则=（t3，t，0）am平面bef，=0，即2（t3）+t=0，解之得t=2（12分）此时，点m坐标为（2，2，0），即当bm=bd时，am平面bef（14分）点评：本题给出四棱锥的一条侧棱与底面垂直且底面是正方形，求证线面垂直并求二面角的余弦值大小，着重考查了线面垂直、平行的判定与性质和利用空间向量研究平面与平面所成角的求法等知识，属于中档题17小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为（）若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率；（）若小明上学走路线2，求遇到红灯次数x的数学期望；（）按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式专题：概率与统计分析：（）走路线1最多遇到1次红灯为事件a，分为两种情况，一种是3次都没有遇到红灯，一种是只有一次遇到红灯，可知ab，计算出即可；（）由题意可得，x可能取值为0，1，2利用独立事件的概率计算公式和互斥事件的概率计算公式即可得出概率，再利用数学期望计算公式即可；（）设选择路线1遇到红灯次数为，则b（3，），利用公式计算出e与ex比较即可解答：解：（）设走路线1最多遇到1次红灯为事件a，则p（a）=（）由题意可得，x可能取值为0，1，2p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=2）=随机变量x的分布列为遇到红灯次数x的数学期望ex=（）设选择路线1遇到红灯次数为，则b（3，），e=eex，选择路线1上学最好点评：熟练掌握独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式、数学期望计算公式、分类讨论思想方法、二项分布概率计算公式是解题的关键18已知函数（a0）（）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（）当x=5时，f（x）取得极值若m5，求函数f（x）在上的最小值；求证：对任意x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|2考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值专题：综合题；导数的综合应用分析：（）求导数f（x），当a=1时，解不等式f（x）0，f（x）0即可；（）当x=5时f（x）取得极值可得f（5）=0，由此求得a值，从而利用导数可求得f（x）的单调区间及极值点，按极值点在区间内、外讨论f（x）的单调性，由单调性即可求得f（x）的最小值；对任意x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|fmax（x）fmin（x），利用导数易求得函数在内的最大值、最小值；解答：解：（）f（x）=+（2x+1）=，当a=1时，f（x）=x（x+3）ex，解f（x）0得x0或x3，解f（x）0得3x0，所以f（x）的单调增区间为（，3）和（0，+），单调减区间为（3，0）（）当x=5时，f（x）取得极值，所以f（5）=，解得a=2（经检验a=2符合题意），f（x）=，当x5或x0时f（x）0，当5x0时f（x）0，所以f（x）在（，5）和（0，+）上递增，在（5，0）上递减，当5m1时，f（x）在上单调递减，fmin（x）=f（m+1）=m（m+3），当1m0时，m0m+1，f（x）在上单调递减，在上单调递增，fmin（x）=f（0）=2，当m0时，f（x）在上单调递增，fmin（x）=f（m）=（m+2）（m1），综上，f（x）在上的最小值为；令f（x）=0得x=0或x=5（舍），因为f（2）=0，f（0）=2，f（1）=0，所以fmax（x）=0，fmin（x）=2，所以对任意x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|fmax（x）fmin（x）=2点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度较大19已知椭圆c：的离心率为，且过点直线交椭圆c于b，d（不与点a重合）两点（）求椭圆c的方程；（）abd的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）利用椭圆的标准方程、离心率及a2=b2+c2即可得出；（2）把直线bd的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|bd|，利用点到直线的距离公式即可得到点a到直线bd的距离，利用三角形的面积公式得到abd的面积，再利用基本不等式的性质即可得出其最大值解答：解：（）由题意可得，解得，椭圆c的方程为；（）设b（x1，y1），d（x2，y2）由消去y得到，直线与椭圆有两个不同的交点，=82m20，解得2m2，=点a到直线bd的距离d=当且仅当m=（2，2）时取等号当时，abd的面积取得最大值点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题的解题模式、根与系数的关系、判别式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、基本不等式的性质是解题的关键20设m3，对于项数为m的有穷数列an，令bk为a1，a2，a3ak（km）中的最大值，称数列bn为an的“创新数列”例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7考查自然数1、2m（m3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列cn（）若m=5，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列cn；（）是否存在数列cn的创新数