河北省邢台市捷径高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

河北省邢台市捷径2015届高考 数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数的共轭复数为( )a3ib1ic1+id2+2i2要得到函数y=2sin（2x）的图象，只需将函数y=2sin2x的图象( )a向左平移个单位b向右平移个单位c向左平移个单位d向右平移个单位3（已知集合a=x|x+1|1，bx|y=，则ab=( )a（2，1）b（2，1c（1，0）d1，0）4若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )a60种b63种c65种d66种5某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )abc82d6若函数f（x）=x3x2+x+1在x=1处的切线的倾斜角为，则的值是( )abcd7双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线被圆m：（x8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为( )a2bc4d8已知函数f（x）=ex+x，g（x）=lnx+x，h（x）=x的零点依次为a，b，c，则( )acbababcccabdbac9已知实数x，y满足约束条件，若ykx3恒成立，则实数k的数值范围是( )a，0b0，c（，0，+）d（，0，+）10若三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，sa平面abc，sa=2，ab=1，ac=2，bac=60，则球o的表面积为( )a64b16c12d411如图，半圆的直径ab=6，o为圆心，c为半圆上不同于a、b的任意一点，若p为半径oc上的动点，则（+）的最小值为( )ab9cd912执行如图所示的一个程序框图，若f（x）在1，a上的值域为0，2，则实数a的取值范围是( )a（0，1b1，c1，2d，2二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13命题“x0，x2+x20”的否定是_14在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=45，1+=，则边c的值为_15已知p是抛物线y2=4x上的动点，过p作抛物线准线的垂线，垂足为m、n是圆（x2）2+（y5）2=1上的动点，则|pm|+|pn|的最小值是_16已知xr，y0，5，我们把满足方程x2+8xsin（x+y）+16=0的解（x，y）组成的集合记为m，则集合m中的元素个数是_三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤17已知an的各项均为正数的数列，其前n项和为sn，若2sn=an2+an（n1），且a1、a3、a7成等比数列（1）求an的通项公式；（2）令bn=2，数列bn的前n项和为tn，证明：tn+4=2b18现有一个寻宝游戏，规则如下：在起点p处有a、b、c三条封闭的单向线路，走完这三条线路所花费的时间分别为10分钟、20分钟、30分钟，游戏主办方将宝物放置在b线路上（参赛方并不知晓），开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序，若没有寻到宝物，重新回到起点后，再从没有走过的线路中随机选择路线继续寻宝，直到寻到宝物并将其带回至p处，期间所花费的时间记为x（1）求x30分钟的概率；（2）求x的分布列及ex的值19如图所示，在菱形abcd中，对角线ac，bd交于e点，f，g分别为ad，bc的中点，ab=2，dab=60，沿对角线bd将abd折起，使得ac=（1）求证：平面abd平面bcd；（2）求二面角fdgc的余弦值20如图，a，b是双曲线y2=1的左右顶点，c，d是双曲线上关于x轴对称的两点，直线ac与bd的交点为e（1）求点e的轨迹w的方程；（2）若w与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别为m，n，直线y=kx（k0）与w的两个交点分别是p，q（其中p是第一象限），求四边形mpnq面积的最大值21已知函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是5x4y+1=0（）求a，b的值；（）设g（x）=2ln（x+1）mf（x），若当x0，+）时，恒有g（x）0，求m的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2b铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑【选修4-1：几何证明选项】22如图，已知ab是o的直径，c为o上一点，以c为切点的切线交ab的延长线于点p，amcp，垂足为m，cdab，垂足为d（1）求证：ad=am；（2）若o的直径为2，pcb=30，求pc的长【选修4-4：坐标系与参数方程】23已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆c的极坐标方程为=4cos（）（1）求直线l的参数方程化为普通方程，将圆c的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆c上的点到直线l距离的取值范围【选修4-5：不等式选项】24已知函数f（x）=2|x+1|x3|（1）求不等式f（x）5的解集；（2）当x2，2时，关于x的不等式f（x）|2t3|0有解，求实数t的取值范围河北省邢台市捷径2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数的共轭复数为( )a3ib1ic1+id2+2i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：计算题分析：把z=的分子、分母同时乘以分母的共轭复数1i，得到，再由复数的运算法则得，进一步简化为1i，由此能求出复数z的共轭复数解答：解：z=1+i，复数z=1+i的共轭复数1i故选b点评：本题考查复数的代数运算，是基础题解题时要认真审题，熟练掌握共轭复数的概念2要得到函数y=2sin（2x）的图象，只需将函数y=2sin2x的图象( )a向左平移个单位b向右平移个单位c向左平移个单位d向右平移个单位考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：作图题分析：y=2sin（2x）=2sin2（x），根据平移规律：左加右减可得答案解答：解：y=2sin（2x）=2sin2（x），故要得到y=2sin（2x）的图象，只需将函数y=2sin2x的图象向右平移个单位，故选d点评：本题考查三角函数图象的平移变换，该类题目要注意平移方向及平移对象3（已知集合a=x|x+1|1，bx|y=，则ab=( )a（2，1）b（2，1c（1，0）d1，0）考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出a中绝对值不等式的解集确定出a，求出b中x的范围确定出b，找出a与b的交集即可解答：解：由a中不等式变形得：1x+11，即2x0，a=（2，0），由b中y=，得到x+10，即x1，b=（1，+），则ab=（1，0），故选：c点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键件4若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )a60种b63种c65种d66种考点：计数原理的应用 专题：排列组合分析：本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有=1种结果，当取得4个奇数时，有=5种结果，当取得2奇2偶时有=610=60共有1+5+60=66种结果，故选d点评：本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种情况，利用组合数表示出结果，本题是一个基础题5某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )abc82d考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：三视图复原的几何体是正方体，除去一个倒放的圆锥，根据三视图的数据，求出几何体的体积解答：解：三视图复原的几何体是棱长为：2的正方体，除去一个倒放的圆锥，圆锥的高为：2，底面半径为：1；所以几何体的体积是：8=故选a点评：本题是基础题，考查三视图复原几何体的判定，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型6若函数f（x）=x3x2+x+1在x=1处的切线的倾斜角为，则的值是( )abcd考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；三角函数的化简求值 专题：导数的综合应用分析：通过函数的导数求出切线的斜率，求出切线的倾斜角的正切值，然后化简表达式为正切函数的形式即可求解结果解答：解：f（x）=x3x2+x+1，函数f（x）=x2x+f（x）=x3x2+x+1在x=1处的切线的倾斜角为，tan=故选：d点评：本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查二倍角的三角函数的化简求值，学生的计算能力，属于基础题7双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线被圆m：（x8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为( )a2bc4d考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆m：（x8）2+y2=25截得的弦长为6，可得=4，即可求出双曲线的离心率解答：解：双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，渐近线被圆m：（x8）2+y2=25截得的弦长为6，=4，a2=3b2，c2=4b2，e=故选：d点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用8已知函数f（x）=ex+x，g（x）=lnx+x，h（x）=x的零点依次为a，b，c，则( )acbababcccabdbac考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：分别由f（x）=0，g（x）=0，h（x）=0，利用图象得到零点a，b，c的取值范围，然后判断大小即可解答：解：由f（x）=0得ex=x，由g（x）=0得lnx=x由h（x）=0得x=1，即c=1在坐标系中，分别作出函数y=ex ，y=x，y=lnx的图象，由图象可知a0，0b1，所以abc故选：b点评：本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决本题的关键9已知实数x，y满足约束条件，若ykx3恒成立，则实数k的数值范围是( )a，0b0，c（，0，+）d（，0，+）考点：简单线性规划 专题：数形结合分析：由题意作出可行域，把ykx3恒成立转化为可行域内两个特殊点a，b的坐标满足不等式ykx3成立，代入点的坐标后求解不等式组得答案解答：解：由约束条件作可行域如图，联立，解得b（3，3）联立，解得a（）由题意得：，解得：实数k的数值范围是故选：a点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题10若三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，sa平面abc，sa=2，ab=1，ac=2，bac=60，则球o的表面积为( )a64b16c12d4考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，ab=1，ac=2，bac=60，知bc，abc=90，可得abc截球o所得的圆o的半径，利用sa平面abc，sa=2，此能求出球o的半径，从而能求出球o的表面积解答：解：如图，三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，ab=1，ac=2，bac=60，bc=，abc=90abc截球o所得的圆o的半径r=1，sa平面abc，sa=2球o的半径r=4，球o的表面积s=4r2=64故选：a点评：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题的关键11如图，半圆的直径ab=6，o为圆心，c为半圆上不同于a、b的任意一点，若p为半径oc上的动点，则（+）的最小值为( )ab9cd9考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：先利用中线的性质得+=2，再代入所求问题得（+）=2=2|，利用和为定值借助于基本不等式即可求出2|，的最小值解答：解：因为+=2，（+）=2=2|，|又因为|+|=32|，（当且仅当|=|=等号成立）所以（+）=2=2|，（当且仅当|=|=等号成立）故答案为：点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及基本不等式的应用问题，是对基础知识的考查，属于基础题目12执行如图所示的一个程序框图，若f（x）在1，a上的值域为0，2，则实数a的取值范围是( )a（0，1b1，c1，2d，2考点：程序框图 专题：函数的性质及应用；算法和程序框图分析：算法的功能是求f（x）=的值，分类求解f（x）在1，a上的值域为0，2时，实数a满足的条件，从而可得a的取值范围解答：解：由程序框图知：算法的功能是求f（x）=的值，当a0时，y=log2（1x）+1在1，a上为减函数，f（1）=2，f（a）=01a=，a=，不符合题意；当a0时，f（x）=3x23x1或x1，函数在0，1上单调递减，又f（1）=0，a1；又函数在1，a上单调递增，f（a）=a33a+22a故实数a的取值范围是1，故选：b点评：本题考查了选择结构的程序框图，考查了导数的应用及分段函数值域的求法，综合性强，体现了分类讨论思想，解题的关键是利用导数法求函数在不定区间上的最值二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13命题“x0，x2+x20”的否定是：x0，x2+x20考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：特称命题的否定是全称命题，写出结果即可解答：解：特称命题的否定是全称命题，命题“x0，x2+x20”的否定是：x0，x2+x20故答案为：x0，x2+x20点评：本题考查特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查14在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=45，1+=，则边c的值为2考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用 专题：解三角形分析：利用条件、同角三角函数的基本关系、正弦定理求得=，求得cosa的值，可得a的值，再利用正弦定理求得c的值解答：解：在abc中，1+=1+=，故有正弦定理可得 =，cosa=，a=60再由a=2，c=45，利用正弦定理可得 =，即 =，c=2，故答案为：2点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理的应用，属于中档题15已知p是抛物线y2=4x上的动点，过p作抛物线准线的垂线，垂足为m、n是圆（x2）2+（y5）2=1上的动点，则|pm|+|pn|的最小值是1考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知p到准线的距离等于点p到焦点的距离，进而问题转化为求点p到点q的距离与点p到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当p，q，f三点共线时p到点q的距离与点p到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点f的距离减去圆的半径解答：解：抛物线y2=4x的焦点为f（1，0），圆（x2）2+（y5）2=1的圆心为q（2，5），根据抛物线的定义可知点p到准线的距离等于点p到焦点的距离，进而推断出当p，q，f三点共线时p到点n的距离与点p到抛物线的焦点距离之和的最小为：1=1故答案为：1点评：本题主要考查了抛物线的应用考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想16已知xr，y0，5，我们把满足方程x2+8xsin（x+y）+16=0的解（x，y）组成的集合记为m，则集合m中的元素个数是5考点：元素与集合关系的判断 专题：综合题；三角函数的求值分析：由x2+8xsin（x+y）+16=0，可得x+4sin（x+y）2+16cos2（x+y）=0，即可得出结论解答：解：由题意，x2+8xsin（x+y）+16=0，x+4sin（x+y）2+16cos2（x+y）=0，x+4sin（x+y）=0且cos（x+y）=0，x=4，y=，；x=4，y=，集合m中的元素个数是5个故答案为：5点评：本题考查函数的值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵活运用三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤17已知an的各项均为正数的数列，其前n项和为sn，若2sn=an2+an（n1），且a1、a3、a7成等比数列（1）求an的通项公式；（2）令bn=2，数列bn的前n项和为tn，证明：tn+4=2b考点：数列的求和；等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用公式an=snsn1（n2）两式作差求得结论；（2）由（1）数列bn是等比数列，由等比数列的前n项和公式求得tn，即可得证解答：解：（）2sn=an2+an（n1），n2时，2sn1=an12+an1，两式相减，得2an=+anan1，整理，得（an+an1）（anan11）=0，an+an10，anan1=1，又2s1=+a1，即a1=0，解得：a1=1，an是以1为首项，1为公差的等差数列 又a1、a3、a7成等比数列=a1a7，即=a1（a1+6），解得a1=2，an=2+（n1）1=n+1（2）证明：由（1）得bn=2n+1，tn=22+23+2n+1=2n+24，tn+4=2n+2=2bn点评：本题主要考查利用公式法求通项公式的方法及等比数列的前n项和公式，考查方程思想的运用能力及运算求解能力，属中档题18现有一个寻宝游戏，规则如下：在起点p处有a、b、c三条封闭的单向线路，走完这三条线路所花费的时间分别为10分钟、20分钟、30分钟，游戏主办方将宝物放置在b线路上（参赛方并不知晓），开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序，若没有寻到宝物，重新回到起点后，再从没有走过的线路中随机选择路线继续寻宝，直到寻到宝物并将其带回至p处，期间所花费的时间记为x（1）求x30分钟的概率；（2）求x的分布列及ex的值考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式 专题：概率与统计分析：（1）利用互斥事件概率加法公式能求出x30分钟的概率（2）由题意知x的所有可能取值为20，30，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列及ex的值解答：解：（1）x30分钟的概率：p（x30）=p（b）+p（ab）=（2）由题意知x的所有可能取值为20，30，50，60，p（x=20）=p（b）=，p（x=30）=p（ab）=，p（x=50）=p（cb）=，p（x=60）=p（abc）+p（cab）=，x的分布列为： x 20 30 50 60 pex=20+30+50+60=40（分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题19如图所示，在菱形abcd中，对角线ac，bd交于e点，f，g分别为ad，bc的中点，ab=2，dab=60，沿对角线bd将abd折起，使得ac=（1）求证：平面abd平面bcd；（2）求二面角fdgc的余弦值考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）证明ae平面bcd，即可证明平面abd平面bcd；（2）建立以e为原点，ec为x轴，ed为y轴，ea为z轴的空间直角坐标系exyz，求出平面cdg的法向量、平面fdg的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角fdgc的余弦值解答：（1）证明；在菱形abcd中，ab=2，dab=60，abd，cbd为等边三角形，e是bd的中点，aebd，ae=ce=，ac=，ae2+ce2=ac2，aeec，ae平面bcd，又ae平面abd，平面abd平面bcd；（2）解：由（1）可知建立以e为原点，ec为x轴，ed为y轴，ea为z轴的空间直角坐标系exyz，则d（0，1，0），c（，0，0），f（0，）g（，1，），平面cdg的一个法向量=（0，0，1），设平面fdg的法向量=（x，y，z），=（0，），=（，1，），即，令z=1，得x=3，y=，故平面fdg的一个法向量=（3，1），cos=，二面角fdgc的余弦值为点评：本题考查平面垂直，考查平面与平面所成的角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20如图，a，b是双曲线y2=1的左右顶点，c，d是双曲线上关于x轴对称的两点，直线ac与bd的交点为e（1）求点e的轨迹w的方程；（2）若w与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别为m，n，直线y=kx（k0）与w的两个交点分别是p，q（其中p是第一象限），求四边形mpnq面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由已知a（2，0），b（2，0），设c（x0，y0），d（x0，y0），则，由两点式分别得直线ac，bd的方程为直线ac：，直线bd：，由此能求出点e的轨迹w的方程（2）由（1）及已知得m（2，0），n（0，1），联立，得（4k2+1）x2=4，由此利用弦长公式结合已知条件能求出四边形mpnq的面积取最大值解答：解：（1）由已知a（2，0），b（2，0），设c（x0，y0），d（x0，y0），则，由两点式分别得直线ac，bd的方程为：直线ac：，直线bd：，两式相乘，得，由，得=，代入，得：，整理，得4y2=x24，点e的轨迹w的方程（x2、0）（2）由（1）及已知得m（2，0），n（0，1），联立，得（4k2+1）x2=4，p（），q（），四边形mpnq的面积s=sqom+sdmp+snop+snoq=2（sqmp+sqnp），s=2yp+xp=2=2=2，k0，4k+4，故当且仅当，即k=时，四边形mpnq的面积取最大值为2点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用21已知函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是5x4y+1=0（）求a，b的值；（）设g（x）=2ln（x+1）mf（x），若当x0，+）时，恒有g（x）0，求m的取值范围考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：综合题；导数的综合应用分析：（）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是5x4y+1=0，建立方程组，即可求a，b的值；（）由（）知：，求导函数，构建新函数h（x）=mx2+（22m）x+22m，分类讨论，确定g（x）在0，+）上的单调性，即可得到结论解答：解：（）求导函数，可得曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是5x4y+1=0，（）由（）知：，则，令h（x）=mx2+（22m）x+22m，当m=0时，h（x）=2x+2，在x0，+）时，h（x）0，g（x）0，即g（x）在0，+）上是增函数，则g（x）g（0）=0，不满足题设当m0时，且h（0）=22m0x0，+）时，h（x）0，g（x）0，即g（x）在0，+）上是增函数，则g（x）g（0）=0，不满足题设当0m1时，则=（22m）2+4m（2=2m）=4（1m2）0，由h（x）=0得；则x0，x2）时，h（x）0，g（x）0即g（x）在0，x2）上是增函数，则g（x2）g（0）=0，不满足题设当m1时，=（22m）2+4m（2=2m）=4（1m2）0，h（x）0，g（x）0，即g（x）在0，+）上是减函数，则g（x）g（0）=0，满足题设综上所述，m1，+）点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，正确求导，合理分类是关键请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2b铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑【选修4-1：几何证明选项】22如图，已知ab是o的直径，c为o上一点，以c为切点的切线交ab的延长线于点p，amcp，垂足为m，cdab，垂足为d（1）求证：ad=am；（2）若o的直径为2，pcb=30，求pc的长考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；立体几何分析：（1）通过证明amcadc，可得ad=am；（2）计算出pb，再利用切割线定