北京市第七中学高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

北京七中2015届高三上学期期中数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1（5分）设全集u是实数集r，m=x|x24，n=x|1x3，则图中阴影部分表示的集合是（）ax|2x1bx|2x2cx|1x2dx|x22（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）a若，m，n，则mnb若，m，n，则mnc若mn，m，n，则d若m，mn，n，则3（5分）“m=1”是“直线xy=0和直线x+my=0互相垂直”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4（5分）在同一坐标系中画出函数y=logax，y=ax，y=x+a的图象，可能正确的是（）abcd5（5分）在等比数列an中，若a4=8，q=2，则a7的值为（）a64b64c48d486（5分）设x，yr，向量=（x，1），=（1，y），=（2，4）且，则|+|=（）abcd107（5分）已知p（x，y）的坐标满足：，那么x2+y2的取值范围是（）a1，4b1，5cd8（5分）（理）如图，在正方体abcda1b1c1d1中，点o为线段bd的中点设点p在线段cc1上，直线op与平面a1bd所成的角为，则sin的取值范围是（）a，1b，1c，d，1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）圆心为（2，1）且与直线x+y=5相切的圆的方程是10（5分）设f（x）是定义在r上的周期为2的函数，当x1，1）时，f（x）=，则f（）=11（5分）由曲线y=x2与直线y=x+2围成的封闭图形的面积为12（5分）下列命题中：“平行四边形的对角线互相平分”的逆否命题；“若abbc，则ac”的否命题；“若a+5q，则aq”的逆命题正确的命题是（请填入正确命题的序号）13（5分）三棱锥dabc及其三视图中的主视图和下视图如图所示，则棱bd的长为三棱锥dabc的体积为14（5分）定义在实数集r上的函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a，b为常数），使得f（x）g（x）对一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数下列说法正确的有：（写出所有正确说法的序号）对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；g（x）=ex为函数f（x）=ex的一个承托函数；函数f（x）=不存在承托函数；函数f（x）=，若函数g（x）的图象恰为f（x）在点p（1，）处的切线，则g（x）为函数f（x）的一个承托函数三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（12分）在锐角abc中，已知b=5，sina=，sabc=（1）求c的值；（2）求sinc的值16（13分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，sinx2cosx），f（x）=（1）求f（x）的单调区间；（2）设0x，若，求x；求f（x）的值域17（14分）如图，ab是圆的直径，pa垂直圆所在的平面，c是圆上的点（）求证：平面pac平面pbc；（）若ab=2，ac=1，pa=1，求证：二面角cpba的余弦值18（14分）已知函数（a0）（i）当a=1时，求f（x）在点（3，f（3）处的切线方程；（）求函数f（x）在0，2上的最小值19（14分）如图所示，在四棱锥pabcd中，底面四边形abcd是菱形，acbd=o，pac是边长为2的等边三角形，ap=4af（）求证：po底面abcd；（）求直线cp与平面bdf所成角的大小；（）在线段pb上是否存在一点m，使得cm平面bdf？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由20（13分）设数列an的前n项和为sn若对任意正整数n，总存在正整数m，使得sn=am，则称an是“h数列”（1）若数列an的前n项和sn=2n（nn*），证明：an是“h数列”；（2）设an是等差数列，其首项a1=1，公差d0若an是“h数列”，求d的值北京七中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1（5分）设全集u是实数集r，m=x|x24，n=x|1x3，则图中阴影部分表示的集合是（）ax|2x1bx|2x2cx|1x2dx|x2考点：venn图表达集合的关系及运算 专题：数形结合法分析：先求出集合m，再根据韦恩图得到阴影部分表示的集合为n（cum），借助数轴即可得解解答：解：m=x|x24=x|x2或x2由韦恩图知阴影部分表示的集合为n（cum）又cum=x|2x2，n=x|1x3n（cum）=x|1x2故选c点评：本题考查韦恩图与集合运算，要求会读韦恩图，会在数轴上进行集合运算属简单题2（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）a若，m，n，则mnb若，m，n，则mnc若mn，m，n，则d若m，mn，n，则考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离；简易逻辑分析：由，m，n，可推得mn，mn，或m，n异面；由，m，n，可得mn，或m，n异面；由mn，m，n，可得与可能相交或平行；由m，mn，则n，再由n可得解答：解：选项a，若，m，n，则可能mn，mn，或m，n异面，故a错误；选项b，若，m，n，则mn，或m，n异面，故b错误；选项c，若mn，m，n，则与可能相交，也可能平行，故c错误；选项d，若m，mn，则n，再由n可得，故d正确故选d点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题3（5分）“m=1”是“直线xy=0和直线x+my=0互相垂直”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：计算题分析：本题可分两步研究，先探究m=1时直线xy=0和直线x+my=0互相垂直是否成立，再探究直线xy=0和直线x+my=0互相垂直时m的可能取值，然后依据充分条件必要条件做出判断，得出答案解答：解：当m=1时，两直线的方程分别为xy=0，与x+y=0，可得出此两直线是垂直的；当两直线垂直时11+（1）m=0，可解得，m=1，所以“m=1”可得出“直线xy=0和直线x+my=0互相垂直”，由“直线xy=0和直线x+my=0互相垂直”可得出“m=1”所以“m=1”是“直线xy=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件，故选c点评：本题考查充分条件必要条件的判断及两直线垂直的条件，两直线垂直的条件是重点，属基础题4（5分）在同一坐标系中画出函数y=logax，y=ax，y=x+a的图象，可能正确的是（）abcd考点：指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质 分析：根据指数函数、对数函数、一次函数的增减性对选项逐一验证即可解答：解：a中y=logax、y=ax都单调递增，故a1，但是y=x+a中0a1，矛盾排除ab中y=logax、y=ax都单调递减，故0a1，但是y=x+a中a1，矛盾排除bc中y=logax单调减故0a1；y=ax单调递增故a1矛盾排除c故选d点评：本题主要考查指数函数、对数函数和一次函数的图象指数函数和对数函数的底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减5（5分）在等比数列an中，若a4=8，q=2，则a7的值为（）a64b64c48d48考点：等比数列的通项公式 专题：计算题；压轴题分析：根据等比数列的通项公式化简第4项，把公比q的值代入即可求出首项，根据是首项和公比写出等比数列的通项公式，把n=7代入即可求出a7的值解答：解：因为a4=a1q3=a1（2）3=8a1=8，所以a1=1，则等比数列的通项公式an=（2）n1，所以a7=（2）6=64故选a点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题6（5分）设x，yr，向量=（x，1），=（1，y），=（2，4）且，则|+|=（）abcd10考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：计算题分析：由两个向量垂直的性质可得2x4=0，由两个向量共线的性质可得42y=0，由此求出 x=2，y=2，以及的坐标，从而求得|的值解答：解：向量=（x，1），=（1，y），=（2，4）且，则有2x4=0，42y=0，解得 x=2，y=2，故=（3，1 ）故有|=，故选b点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题7（5分）已知p（x，y）的坐标满足：，那么x2+y2的取值范围是（）a1，4b1，5cd考点：简单线性规划 专题：计算题；数形结合分析：可先画出可行域再根据可行域的位置看可行域当中的点什么时候与原点的距离最远什么时候与原点的距离最近，最后注意此题求解的是距离的平方的范围，进而得到最终答案解答：解：由题意可知，线性约束条件对应的可行域如下，由图可知原点到a（1，2）的距离最远为：原点到直线2x+y2=0的距离为：=，又x2+y2代表的是原点到（x，y）点距离的平方，故x2+y2的范围是，5故选：d点评：本题考查的是线性规划问题在解答此类问题时，首先根据线性约束条件画出可行域，再根据可行域分析问题同时在本题中的目标函数充分与几何意义联合考查，规律强易出错值得同学们反思总结8（5分）（理）如图，在正方体abcda1b1c1d1中，点o为线段bd的中点设点p在线段cc1上，直线op与平面a1bd所成的角为，则sin的取值范围是（）a，1b，1c，d，1考点：直线与平面所成的角 专题：计算题；空间角分析：由题意可得：直线op于平面a1bd所成的角的取值范围是aoa1，c1oa1，再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出解答：解：由题意可得：直线op于平面a1bd所成的角的取值范围是aoa1，c1oa1，不妨取ab=2在rtaoa1中，sinaoa1=sinc1oa1=sin（2aoa1）=sin2aoa1=2sinaoa1cosaoa1=2=，sin的取值范围是，1故选：b点评：本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）圆心为（2，1）且与直线x+y=5相切的圆的方程是（x2）2+（y+1）2=8考点：圆的切线方程 专题：直线与圆分析：由条件根据直线和圆相切的性质，利用点到直线的距离公式求出半径，可得要求的圆的方程解答：解：圆的半径为圆心（2，1）到直线x+y=5的距离，即r=2，故要求的圆的方程为 （x2）2+（y+1）2=8，故答案为：（x2）2+（y+1）2=8点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题10（5分）设f（x）是定义在r上的周期为2的函数，当x1，1）时，f（x）=，则f（）=1考点：函数的值 专题：计算题分析：由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值解答：解：f（x）是定义在r上的周期为2的函数，=1故答案为：1点评：本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在2015届高考中，属于“送分题”11（5分）由曲线y=x2与直线y=x+2围成的封闭图形的面积为考点：定积分在求面积中的应用 专题：导数的概念及应用分析：联立方程组求出积分的上限和下限，结合积分的几何意义即可得到结论解答：解：作出两条曲线对应的封闭区域如图：由得x2=x+2，即x2x2=0，解得x=1或x=2，则根据积分的几何意义可知所求的几何面积s=（x3+x2+2x）|=，故答案为：点评：本题主要考查积分的应用，作出对应的图象，求出积分上限和下限，是解决本题的关键12（5分）下列命题中：“平行四边形的对角线互相平分”的逆否命题；“若abbc，则ac”的否命题；“若a+5q，则aq”的逆命题正确的命题是（请填入正确命题的序号）考点：四种命题 专题：简易逻辑分析：根据原命题和它的逆否命题的真假关系，平行四边形对角线的特点，不等式的性质，以及有理数的和还是有理数即可判断每个命题的正，从而写出真命题的序号.解答：解：“平行四边形的对角线互相平分”为真命题，所以其逆否命题也为真命题；否命题为：若abbc，则ac，为假命题，比如b=0，a=1，c=2，满足abbc，但得不到ac；逆命题为：若aq，则a+5q，有理数的和也是有理数，所以该逆命题为真命题；正确的命题为故答案为：点评：考查原命题和逆否命题的真假关系，平行四边形的对角线的性质，否命题、逆命题的概念，不等式的性质，以及有理数的和还是有理数13（5分）三棱锥dabc及其三视图中的主视图和下视图如图所示，则棱bd的长为4三棱锥dabc的体积为考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由主视图知cd平面abc、b点在ac上的射影为ac中点及ac长，由左视图可知cd长及abc中变ac的高，利用勾股定理即可求出棱bd的长；利用棱锥的体积公式，即可得出结论解答：解：由主视图知cd平面abc，设ac中点为e，则beac，且ae=ce=2；由左视图知cd=4，be=2，在rtbce中，bc=4，在rtbcd中，bd=4三棱锥dabc的体积为=故答案为：，点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力14（5分）定义在实数集r上的函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a，b为常数），使得f（x）g（x）对一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数下列说法正确的有：（写出所有正确说法的序号）对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；g（x）=ex为函数f（x）=ex的一个承托函数；函数f（x）=不存在承托函数；函数f（x）=，若函数g（x）的图象恰为f（x）在点p（1，）处的切线，则g（x）为函数f（x）的一个承托函数考点：命题的真假判断与应用 专题：函数的性质及应用分析：如f（x）=sinx，则g（x）=b（b1）就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanxy=lgx就没有承托函数；令h（x）=exex，利用导数研究其单调性极值与最值即可判断出；函数f（x）=，当x=0时，f（0）=0；当x0时，0f（x）=；同理当x0时，0f（x）1可得：f（x），即可判断出；f（x）=，f（1）=，可得g（x）=取x=2时，f（10）0g（10），即可判断出解答：解：如f（x）=sinx，则g（x）=b（b1）就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanxy=lgx就没有承托函数，命题正确；令h（x）=exex，则h（x）=exe，令h（x）0，解得x1，此时函数h（x）单调递增；令h（x）0，解得x1，此时函数h（x）单调递减当x=1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（x）h（1）=0，因此f（x）g（x）对一切实数x都成立，故g（x）为函数f（x）的一个承托函数，正确函数f（x）=，当x=0时，f（0）=0；当x0时，0f（x）=；当x0时，0f（x）=1综上可得：f（x），取g（x）=2，即为函数f（x）的一个承托函数，因此不正确；f（x）=，f（1）=，则g（x）+=，化为g（x）=取x=2时，f（10）0g（10），因此g（x）不为函数f（x）的一个承托函数综上可得：只有正确故答案为：点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、新定义“承托函数”，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（12分）在锐角abc中，已知b=5，sina=，sabc=（1）求c的值；（2）求sinc的值考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：（1）把已知代入三角形面积公式即可求得c的值（2）由同角三角函数关系式先求得cosa的值，由余弦定理可得a的值，由正弦定理即可求得sinc的值解答：解：（1）由=.（2分）可得，c=6.（4分）（2）由锐角abc中可得（6分）由余弦定理可得：，.（8分）有：a=4.（9分）由正弦定理：，（10分）即（12分）点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用，属于基础题16（13分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，sinx2cosx），f（x）=（1）求f（x）的单调区间；（2）设0x，若，求x；求f（x）的值域考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算 专题：三角函数的求值；平面向量及应用分析：（1）利用数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=，再利用正弦函数的单调性即可得出（2）由，可得=0，利用，即可解出f（x）=，由，可得利用正弦函数的单调性即可得出解答：解：（1）f（x）=sinxcosx+cosx（sinx2cosx）=2sinxcosx2cos2x=sin2x（1+cos2x）=，由，可得f（x）单调增区间为，由，单调减区间为（2），=0，即=，f（x）=，当，f（x）取得最小值2，当，f（x）取得最大值，f（x）的值域为点评：本题考查了向量的数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（14分）如图，ab是圆的直径，pa垂直圆所在的平面，c是圆上的点（）求证：平面pac平面pbc；（）若ab=2，ac=1，pa=1，求证：二面角cpba的余弦值考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）要证平面pac平面pbc，只要证明平面pbc经过平面pac的一条垂线bc即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明bc平面pac；（）因为平面pab和平面abc垂直，只要在平面abc内过c作两面的交线ab的垂线，然后过垂足再作pb的垂线，连结c和后一个垂足即可得到二面角cpba的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角cpba的余弦值解答：（）证明：如图，由ab是圆的直径，得acbc由pa平面abc，bc平面abc，得pabc又paac=a，pa平面apc，ac平面pac，所以bc平面pac因为bc平面pbc，所以平面pac平面pbc；（）解：过c作cmab于m，因为pa平面abc，cm平面abc，所以pacm，故cm平面pab过m作mnpb于n，连接nc由三垂线定理得cnpb所以cnm为二面角cpba的平面角在rtabc中，由ab=2，ac=1，得，在rtabp中，由ab=2，ap=1，得因为rtbnmrtbap，所以故mn=又在rtcnm中，故cos所以二面角cpba的余弦值为点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角的平面角常用的方法，此题是中档题18（14分）已知函数（a0）（i）当a=1时，求f（x）在点（3，f（3）处的切线方程；（）求函数f（x）在0，2上的最小值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用分析：（）利用导数的几何意义即可求出切线的斜率，再利用点斜式即可求出切线的方程；（）先求出函数f（x）的导数，通过对a分类讨论得出其单调性，进而即可求出其最小值解答：解：（i） 当a=1时，f（3）=0，f（x）在点（3，f（3）处的切线的斜率f（3）=，切点（3，0），因此其切线方程为，即3x4y9=0（ ii）x1，当a=0时，在（0，2上导函数，所以f（x）在0，2上递增，可得f（x）的最小值为f（0）=0；当0a2时，导函数f（x）的符号如下表所示x0，a）a（a，2f（x）0+f（x）单调递减极小值单调递增所以f（x）的最小值为；当a2时，在0，2）上导函数f（x）0，f（x）在0，2上递减，f（x）的最小值为综上可知：当a=0时，f（x）的最小值为f（0）=0；当0a2时，f（x）的最小值为f（a）=a2；当a2时，f（x）的最小值为f（2）=点评：熟练掌握利用导数研究函数的最值的方法及其几何意义、分类讨论的思想方法是解题的关键19（14分）如图所示，在四棱锥pabcd中，底面四边形abcd是菱形，acbd=o，pac是边长为2的等边三角形，ap=4af（）求证：po底面abcd；（）求直线cp与平面bdf所成角的大小；（）在线段pb上是否存在一点m，使得cm平面bdf？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用分析：（）证明po底面abcd，只需证明poac，pobd；（）建立空间直角坐标系，求出直线cp的方向向量，平面bdf的法向量，利用向量的夹角公