高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教案 新人教A版必修4.doc

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 一、教材分析平面向量的数量积是在学习了向量的相关概念，以及向量的加法、减法、实数与向量的积之后，高中数学的又一重要概念和运算数量积的概念以及数量积的几何意义是本节课的重点，既是学习数量积性质和运算律的前提，也为今后利用数量积处理有关模长、角度、垂直等问题奠定了基础二、学情分析基础知识方面：学生之前学习了向量的相关概念、向量的线性运算以及平面向量基本定理等内容，同时学生对平面向量数量积的物理背景（如功、力的分解等）有一定的了解，这些都为概念的理解作好了必要的铺垫认知水平与能力方面：学生已经具备初步的抽象概括能力，能在教师的引导下，通过自主学习、合作交流解决一些实际问题任教班级学情：我班学生是体育生，基础一般，但思维比较活跃，而对于概念的深入理解和灵活运用的能力还有待进一步提高，须逐步引导三、目标分析依据教学大纲的要求和新课程教学理念，结合本节课的特点和学生的实际情况，本节课的教学目标确定为：1、知识目标（1）理解两非零向量的夹角的概念，掌握平面向量的数量积及其几何意义；（2）能初步运用数量积的相关概念和运算律进行运算2、能力目标经历向量的数量积、投影等概念的形成过程，提高类比辨析、抽象概括等数学思维能力3、情感目标教学活动过程中，始终贯穿了对平面向量数量积的物理背景的深入挖掘，让学生感悟到数学来源于现实并用于现实，在探索问题的过程中体验成功的喜悦，从而进一步激发学生的学习兴趣四、教学重点与难点分析重点：理解并掌握数量积的概念及其几何意义难点：利用数量积的性质及运算律解决问题.五、教学方法根据教学内容和学生的实际情况，本课采用“启发-探究”的教学模式，注重知识生长点的建立教师的教法突出活动的组织设计与方法引导；学生的学法突出对概念的探究、理解与应用，学生在与老师的互动交流中获得本节课的知识与方法，并发展能力六、教学过程设计本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入合作学习，探索新知指导应用，自主建构归纳小结，反馈效果”四个环节进行组织教学环节教 学 内 容设 计 意 图一、创 设 情 境，铺 垫 导 入一、温故知新 1两个非零向量a 和b ，作 ， （），则 叫做向量a 和b 的夹角（此处讲清楚夹角的三种特殊情况以及找向量夹角时须注意的问题） 2.二、问题情境问题1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘”呢？问题2:一个物体在力f的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？一个物体在力f的作用下产生位移s，那么力f所做的功为w=从而引出课题：我们将功的运算类比到两个向量的一种运算，得到向量“数量积”的概念。 并规定:零向量与任意向量的数量积为0复习旧知，为新课的学习做好铺垫. 练习的设计通过ppt演示,增强直观性,同时帮助学生迅速准确地发现找向量夹角时需要注意共起点的问题.以学生熟悉的物理实例引入新课，让学生在具体情境中观察、体验，从功的计算中形成对平面向量数量积概念的初步认识从中体验到数量积运算具有鲜活的现实背景，而不仅仅是数学自身的演绎完善并指出数量积运算是解决数学、物理等问题的有效工具，从而激发学生的学习兴趣，产生研究新运算的强烈愿望3 教学环节教 学 内 容设 计 意 图二、合 作 学 习，探 索 新 知1由数量积概念引申出投影的概念：借助动画让学生理解投影概念，引导学生思考当向量、的夹角变化时，研究在方向上的投影的取值情况，最后师生共同总结：（1）当为锐角时，为正值；（2）当为钝角时，为负值；（3）当时，为0；（4）当时，等于；（5）当时，等于由此也引出数量积的几何意义.2.例题由例题出发，引导学生思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负呢？由此引出相关结论：设非零向量，是与的夹角（1） ；（2）或；（求向量模的方法）（3）；（当且仅当 取等号）（4） （求向量夹角的方法）3.练习（1）若|a|4，|b|3，6， 则a与b夹角为 （2）已知|a|4，a与b的夹角为30， 则a 在b方向上的投影为_ 由最后一个小题，引导学生思考数量积满足怎样的运算律，平方差公式，完全平方公式是否合适？由一般到特殊，研究这一概念的外延，更有利于学生准确全面的理解概念 在整个新知形成过程中，教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者，以提高学生抽象概括、分析归纳及语言表述等基本的数学思维能力 教学环节教 学 内 容设 计 意 图三、指 导 运 用，自 主 建 构1.数量积的运算律：（1） ；（交换律）（2） ；（对实数的结合律）（3） （分配律）注意：向量的数量积对向量不满足结合律，即此处选取第三个进行证明，剩余两个比较简单，由学生课后证明. 并指出：平方差公式、完全平方公式同样适用证明交由学生课后证明.同时解决练习（3）2.例题例3：已知 求： “问起于疑，疑源于思”，数学最积极的成分是问题，提出问题并解决问题是数学教学的灵魂思考题的目的是探究数量积的运算律，提高学生分析和解决问题的能力 例题的设计在及时巩固重点内容，使学生在课堂上就能掌握同时强调规范的书写和准确的运算，培养学生严谨认真的数学学习习惯教学环节教 学 内 容设 计 意 图四、归 纳 小 结 ，反 馈 效 果课堂小结：1数量积的概念，几何意义，投影概念；2数量积的相关结论，运算律.作业布置：1.已知|a|4，|b|2，且a与b的夹角为120，求：（1）a在b方向上的投影；(2)(a2b)(ab)；(3)a与ab的夹角；(4)|2ab|；(5)若(ab)(ab)，求的值2.完成导学案通过课堂小结，深化对知识理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力第一组作业着重考查对本节知识的理解和应用，夯实基础，有利于及时反馈教学效果.第二组作业强调知识的灵活应用，着重培养学生解决问题的能力七、教学设计分析本节课旨在加强学生运用数量积的概念和几何意义去分析和解决问题的意识和能力，即利用数量积的相关结论和运算律解决问题1教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念2关于教学过程，对于本节课的重点：数量积的概念和几何意义，必须让学生在课堂上就能掌握对于难点：利用数量积的相关结论和运算律解决问题，采取层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能动性3为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中4在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率附：板书设计2.4.1平面向量的数量积1.平面向量数量积的定义3.数量积的相关结论 例题：2.投影的概念 几何意义 4.运算律的探究 练习：八、教学反思1.本课设计在注重引导学生学习书本知识的同时，还进行了知识的扩展，让学生感受到数学的实用价值.2.本课设计时考虑了学生在学习中最可能出现的各种情况，并采用合理方式进行引导、解决.3.教学过程中充分发挥学生主体作用，始终以问题的形式引导学生主动参与，在师生互动、生生互动中让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程，做到了把握重点、突破难点.4.学生在格式书写方面还需进一步规范，应予以及时纠正.5.鼓励学生课后对数量积的运算律进行证明，可通过查阅书籍或小组讨论形式进行，必须经过严格证明才是可靠的！对于求模，放在第二节重点练习，但已涉及到其概念的学习，因此，鼓励学有余力的同学可自己尝试解决.6.课后继续对本节课的例题，练习的设计做进一步的修改，尽量做到精简，以保证课堂的有效性.2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课后练习一、教学目标（1）掌握平面向量数量积的概念及其几何意义.（2）能运用数量积的相关概念和结论进行运算二、教学重点与难点重点：理解并掌握数量积的概念及其几何意义难点：利用数量积的性质及运算律解决问题.三、知识要点1.向量数量积的定义：（1）已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 叫做与的数量积，记作，即 = . （2）规定零向量与任一向量的数量积为 注意：数量积其结果为一个数量而非向量，注意区分与的区别2.平面向量数量积的几何意义：数量积等于的长度与 的积在方向上的投影为 ，在方向上的投影为 思考：投影是向量还是数量呢？有正负吗？3.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负呢？注意：当为钝角时，除满足外，还应排除与反向共线的情况，当为锐角时，除满足外，还应排除与同向共线的情况4.平面向量数量积的性质：非零向量，是与的夹角（1） ；（2）或；（求向量模的方法）（3）；（当且仅当 取等号）（4） （求向量夹角的方法）5.向量数量积的运算律：（1） ；（交换律）（2） ；（对实数的结合律）（3） （分配律）乘法公式仍然适用，如平方差公式、完全平方公式同样适用注意：向量的数量积对向量不满足结合律，即四、巩固与提高1已知,，且两个向量间的夹角为，则 a b1 c d2已