北京市重点中学高二数学下学期期中试卷 理.doc

北京市20142015学年度第二学期期中考试 高 二数学（理）试卷(考试时间：100分钟 总分：100分)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1已知复数满足：（是虚数单位），则的虚部为（ ）a b c d2图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（ ）种不同的取法。a.120 b.16 c.64 d.393已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）a3 b2 c1 d4由直线,曲线及轴所围成的封闭图形的面积是（ ）a b c d 5以下说法正确的是（ ）a.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件b.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件c.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件d.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件6设函数，则的极小值点为（ ）a. b. c. d.7已知，,，以此类推，第5个等式为（ ）a bc d8在复平面内，复数，对应的点分别为，则线段的中点对应的复数为（ ）a b c d9已知函数是函数的导函数，则的图象大致是（ ）10设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若区间上，则称函数在区间上为“凹函数”，已知在上为“凹函数”，则实数的取值范围是（ ）a b c d二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）11函数在上是增函数，则实数的取值范围是 12设集合,则方程表示焦点位于轴上的椭圆有 个.13设，则为 。14已知复数且，则的范围为 15在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么类比得到的结论是 16对定义在区间上的函数和，如果对任意，都有成立，那么称函数在区间上可被替代，称为“替代区间”给出以下命题：在区间上可被替代；可被替代的一个“替代区间”为；在区间可被替代，则；，则存在实数，使得在区间 上被替代；其中真命题的有 三、解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题共8分）已知函数是的一个极值点，求：（1）实数的值；（2）在区间上的最大值和最小值。18. （本小题共8分）若、均为实数，且，求证：、中至少有一个大于。19. (本小题共10分)已知函数 （1）求函数的单调区间；（2）若函数在上有且仅有一个零点，求的取值范围；20. (本小题共10分)已知数列的各项均为正整数，对于任意，都有 成立，且（1）求，的值；（2）猜想数列的通项公式，并给出证明北京市20142015学年度第二学期期中考试 高二（理）试卷答案及评分标准一、选择题序号12345678910答案dbaabdddac二、填空题11. 12.10 13. 14 1516三、解答题17（1）因为， （1分）在处有极值，所以， （2分）即所以，。 （3分）（2）由（1）知，所以 （4分） 令得，当变化时的变化情况如下表：+-+ （7分）从上表可知在区间上的最大值是，最小值是。 （8分）18. 证明：假设都不大于， 即 (4分) = 与上式矛盾 中至少有一个大于 （8分）19.(1)解：（1分）当时，则在上单调递增（2分）当时，在上单调递减，在上单调递增（4分）(2)解：由，得 考查函数 ()，则 （5分）令， （6分）当时，在上单调递增 （7分）, ，在上单调递增 （8分）在上的最小值为，最大值为（9分）当时，函数在上有且仅有一个零点（10分）20. （1）因为 ，当时，由，即有，解得因为为正整数，故 （2分）当时，由，解得，所以 （4分）（2）由，猜想： （5分）下面用数学