数学解题思维在解题教学中的新探(教育导刊）.doc

数学解题思维在解题教学中的新探西关培英中学 数学科 李倩雅摘要：本论文从“数学思维及其特征”及“数学解题教学”这两方面出发，探讨了关于数学解题思维在解题教学方面的研究，介绍了数学问题的求解思路（包括如何审题，怎样剖析和思考，如何探索解题的途径并最终解决它）。关键词：数学思维特征、创造性数学思维、数学解题教学、数学素质。一、 数学思维及其特征从数学的发现看数学思维特征数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和构造、一般性和个别性。虽然不同的传统可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成了数学科学的生命、用途和它的崇高价值。因此，分析数学发现的过程，有助于对数学思维规律的探索。（1） 数学发现的思维过程数学的发现过程，一般可分为四个阶段：准备阶段、酝酿阶段、明朗（顿悟）阶段与检验阶段。准备阶段是自觉的有意识的活动。酝酿阶段是一个等待时期，它可能会持续很长时间。顿悟意味着潜意识和有意识之间某种联系的沟通，是创造性思想出现并成为自觉意识的过程。检验阶段是以已有知识为基础，运用逻辑思维的活动。因此，数学发现过程中，既包含有直觉的成分，又包含有逻辑的成分，两者是互相补充交叉进行的。 正如美国数学家波利亚所说：“数学被人们看作是一门论证科学，然而这仅仅是它的一个方面，以最后确定的形式出现的定型的数学。好象是仅含证明的纯论证性的材料。然而，数学的创造过程却与任何其它知识的创造过程一样，在证明一个数学定理之前，你总是先得猜测这个定理的内容，当你完成其证明之前，同样总是先得猜测其证明思路，而且还往往得一次又一次地进行尝试。”综上所述，数学发现的过程是由猜测与论证这两个过程组成的。即 猜测 论证数学材料 猜 想 结 论 归 纳 分 析 类 比 演 绎 直 觉 化 归其中论证与猜测的过程是相互依赖、相互渗透的。而且最后获得的结论，常常不是原来的猜想，而是经过改进了的结果。因而，数学发现过程是一个包含了多次反复的复杂过程，可简单示意为 猜测 论证、猜测 论证 数学材料 猜想 改进了的猜想 结论 （2） 创造性数学思维所谓创造性数学思维，是指思维的结果或处理问题的方法带有新颖性、独特性。这种思维并非一开始就建立在严格的逻辑论证之上。虽然如此，但它却常常伴有很强的自信心，表现出个性特点。同时新苗头的发现、新思想的提出，主要是靠直觉思维的。可见数学创造性思维中既含有逻辑思维的成分，也含有直觉思维的成分。 从思维过程的状态来看，创造性思维在总体上总是表现为： 收敛思维 发散思维 收敛思维 发散以便于联想，寻找各种知识组块之间的可能的组合，发现推理的起点。收敛以便于集中思考。验证由发散思维所得到的方案的可行性，对其补充、修正或提出新的方案。二、 数学解题教学（一） 数学解题教学新探1、 解题教学的地位和作用数学教学中，我们把通过解题的形式来实现某种教学目标的教学活动称为解题教学。因为解题在建立和发展数学知识结构，形成和增进思维能力，培养和造就创造性精神等方面都起着其他形式不可取代的作用。 学生在解一些按照教学目标精心安排的题目的时候，他们不仅在独立地掌握数学知识内容，同时也在创造性地发展思维能力。这些能力表现为：善于运用某种方法、手段而改变问题情景；善于构思新的手段和解题方法；善于区分和积累可能有益的资料；善于在原有题目的基础上构出新的题目；善于自我测验以及对解题进行讨论等等。 例 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需3.15元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需4.20元。现购甲、乙、丙各1件共需多少元？思考：设购甲、乙、丙各1件分别需x、y、z元，根据题意得 3x+7y+z=3.15 , 4x+10y+z=4.20 。 原方程可化为 2(x+3y)+(x+y+z)=3.15 , 3(x+3y)+(x+y+z)=4.20 。 令A=x+3y，B=x+y+z，则方程化为 2A+B=3.15 3A+B=4.20求得 B=x+y+z=1.05 答：购甲、乙、丙各1件需1.05元.这是一个不定方程组，要单独求出x、y、z的值是不容易的。若学生明确题目要求的是(x+y+z)的值，而无须单独求出x、y、z的值， 不难发现方程组中两个方程的左边可通过适当变形化为另一种形式把x+3y、x+y+z看成两个新的未知数，则原方程组便转化成了关于新的未知数的二元一次方程组。这就容易解得x+y+z=1.05。即购甲、乙、丙各1件需1.05元. 教学中，如果能够引导学生经历上述的思维过程，那么学生不仅是在掌握数学知识，而且也在获得思维的独创性。 学生的思维发展与他们学习过程中的思维方法的形成是密切相关的，这些思维方法（分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等）同样也是科学工作的特定方法，这些方法在解题过程中特别明显、突出。所以，数学解题教学，最能影响学生思维的发展。 因此，必须重视解题教学的目标管理，把解题教学控制成让学生独立地、创造性地掌握数学内容、发展思维能力的过程。2、 解题教学的目标管理 数学教学目标，可以通过创设问题情境，借助于解题教学目标管理来加以实现。而解题教学目标管理，又是通过理论知识教学过程和习题教学过程的控制并在教学中渗透数学思维来实现的。因此，实现解题教学目标管理，就是要将理论知识教学和习题教学过程控制成一个不断发现问题、解决问题的创造性活动系列。（1） 理论知识教学过程的控制 数学理论知识，即数学概念、定理、公式、法则等，这些都是典型的数学问题，是数学知识体系的主干与核心。在数学理论知识的建立过程中，使用了具有代表性的数学思想、方法和技能、技巧，而这些数学思想、方法和技能、技巧，正是数学思维的结晶，是有生命力的数学知识。因此，从本质上来说，数学理论知识的教学，是数学解题教学的重要组成部分，是解题教学的核心与基础。因而，在教学过程中，不应停留在介绍这些数学活动的成果上，而应充分揭示这些数学问题被发现、被解决的思维过程。 下面再以等比数列为例，来说明如何创设问题情境，将理论知识的教学控制成不断发现问题、解决问题的创造性思维的活动过程。 提出问题解决问题问题：等比数列是怎样定义的？如何求等比数列通项公式？用实例引入等比数列的概念给出概念的定义按定义验证与构造等比数列。由公比的定义类比公式（1），容易发现并推出如下公式：从而例如，课本上有这样的习题：在等比数列中，常规解法：应用公式（1）、（2）组成方程组，求出a1和q,创新解法：应用公式（3）、（4），可以直接解答：a、概念的引入与定义的理解从以上的教学过程发现，公比q反映了等比数列的本质属性。b、公比公式与通项公式 抓住等比数列的本质属性，发现等比数列的通项公式。显然，（1）、（2）分别是（3）、（4）当r=1时的特殊情形。用公式（3）、（4）解某些习题可以带来方便。本题的常规解法是，应用公式（1）、（2）组成方程组，先求出a1和q,解答自然显得繁琐如果应用公式（3）、（4），可以直接解答，方便快捷。 在这个“提出问题解决问题”的过程中看到：解决问题的过程，就是抓住问题的本质属性，对问题进行分析、转换或变通的发现过程，这也是数学发现过程中的酝酿和顿悟阶段。因此，我们说解决问题的能力就是发现新问题的能力。在数学解题教学中，不是要学生掌握寻出答案的固定招式，而是要培养发现问题的能力，这也反映了一种创造性的数学思维。 再提出问题解决问题则有两式相减，得代入公式（5），得 小 结a、在以上活动中，你发现了什么？知识上的发现有：1）等比数列的定义；2）公比公式；3）通项公式；4）前n项和的公式。 b、从思维训练的角度看，发现问题、解决问题的过程，就是创造性思维的发展过程。 a、求和方法的探求由此，发现等比数列的第k项与第k-1项的q倍的差等于常数零（k=2，3， n）,所以用“q倍错项相减”法，可以消去n-1个项，将求n项之和转化为求两项之和。b、求和公式的推导c、发现能力的进一步训练显然，公式（6）比公式（5）更具有一般性。数学思想、方法和技能、技巧上的发现有：1） 公比反映了等比数列的本质属性；2） 数学探求要抓住数学 对象的本质属性；3） 类比推理是导致数学发现的一种方法；4） “q倍错项相减”是等比数列求和的有效转换方法；5） 将研究对象的某些元素一般化，可能发现更一般的数学结论。 (2)习题教学过程的控制 从知识体系的建立过程来看，例题、习题的教学不仅是理论知识的巩固和深化，而且是它的补充和延伸。从思维训练的角度来看，完成习题的过程，不仅是简单的知识应用过程，而且是创造性的发展过程。因此，应该把习题教学过程控制成让学生进行独立的、创造性的思维活动过程，使它成为理论知识教学的补充和延伸。基于这种要求，在学习等比数列的基本知识的基础上，除了对学生进行课本上的基本例题、习题（主要是巩固知识和应用知识）的教学外，还应加强习题的教学，对学生进行发现问题、解决问题的创造性思维训练。例如，下面的习题教学就可以这样控制。题1 求数列 a,aa,aaa, （1）的通项公式与前n项和的公式，其中a为大于零小于10的整数。a、 求通项公式观察数列（1）的规律，发现a1=a,a2=10a1+a,an=10an+1+a,具体写出一些项：b、 求前n项和的公式数列（1）相邻两项有关系： 于是，可以用“q倍错项相减”法转化为常数列求和：两式相减，得学生容易从数学归纳法证明猜想的正确性。 故公式（2）是数列（1）的通项公式。课外小组中，可以知道学生应用题1的研究方法，让学生进行独立探索活动， 使习题教学成为理论知识教学的补充和延伸。如果学生掌握了题1的解法，这问题是不难求的。显然，等比差数列不仅包含了等比数列、等差数列，而且包含了有如题1的所有数列。 上述过程说明，为了实现数学教学的基本目标，解题教学的目标管理不但需要、而且也可能按照如下方式进行：第一， 把理论知识的教学和习题的教学控制成发现问题、解决问题的创造性思维过程。第二， 重视课外活动，把第二课堂作为整个教学活动的一个环节。第三， 重视习题教学在培养学生创造性思维中的巨大作用。 我们强调习题教学的巨大作用，主要是指在习题配置、训练形式、教学方法等方面应作科学的、精心的安排，而不是提倡题海战术。三、 小结两千多年来，人们一致认为每一个受教育者都必须具备一定的数学知识。但是今天，数学教育的传统地位却陷入了严重的危机之中。而且遗憾的是，数学工作者却要对此负一定的责任。数学教学有时竟演变成空洞的解题训练。解题虽然可以提高形式推导的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽略了数学的应用以及与其它领域的联系。不过，这种状况丝毫不能证明紧缩数学教育的政策是合理的。相反，那些醒悟到培养思维能力的重要性的人，必然会采取完全不同的作法即更加重视和加强数学教学。教师、学生和一般受过教育的人都