吉林一中高三数学系列复习资料 第八单元.doc

第八单元 直线、平面、简单几何体第一节 平面与空间两条直线（包括异面直线所成角和距离） 一高考考点 1平面概念（原始概念）：在空间无限延伸的水平状态的几何图形，一般用平行四边形菱形表示，并在角上写上字母a、b、c、等或用对角线字母。记作平面a或平面ac平面特征：（1）平 （2）广 （3）无厚薄 2平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。（判定直线是否在平面内的依据）公理2：如果两个平面有一个公共点那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。（判定两平面交于一条直线的依据；证明点共线：证明点在直线上）公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一平面。推论1：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面ab =pa ,b确定一个平面推论3：经过两条平行直线,有且只有一个平面aba,b确定一个平面（公理3及其三个推论是确定平面的具体位置及判定两个平面重合的依据）注意：(1)集合符号与几何术语表示：al （a在直线l上）； a（a在平面a内）；l a （直线l在平面a内）； l a （l不在a内）(2)有且仅有一个确定一个存在性，唯一性(3)公理及推论应用：证点共线：证点是两平面的公共点(公理2)；证线共点：证两直线交点在第三条直线上；证线共面：先由公理3确定平面，然后证第三条直线上的两点在平面a内(公理1) 3水平放制的平面图形的直观的画法：斜二测画法角度（或） ；平行x轴长不变；平行y轴长变为一半。 4空间两条直线的位置关系位置关系图 示表示方法公共点个数 两直线共面相 交aab 一个平行baab没有异面aba、b是异面直线没有 5异面直线（不同在任何一个平面内的两条直线）异面直线判定：用定义（多用反证法）；判定定理：平面内一点和平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线。异面直线所成的角：过空间的任一点与这两条异面直线平行的两直线所成锐角（或直角）。(0,2；若两条异面直线所成角是直角，则称两异面直线垂直。空间两直线垂直又相交垂直与异面垂直两种情况。异面直线的公垂线及距离：（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线（公垂线存在且唯一）（2）公垂线段：公垂线夹在异面直线之间的部分（3）异面直线间的距离 （即公垂线段的长）注：若一个平面过一条直线并与另一条直线平行，则这直线与平面的距离就等于异面直线间的距离。若两个平行平面分别过两条异面直线则两平行平面的距离等于两异面直线间的距离。 6等角定理一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。推论：两条相交直线分别与另外两条直线平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等 7平行公理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。二强化训练一选择题1、表示不同的点，、表示不同的直线，、表示不同的平面，下列推理不正确的是 （ ） ，直线 ，且不共线与重合2一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ） 3对于空间三条直线，有下列四个条件： 三条直线两两相交且不共点； 三条直线两两平行； 三条直线共点； 有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交其中，使三条直线共面的充分条件有 （ ）1个 2个 3个 4个4已知e,f,g.h是空间的四个点。命题甲：点e,f,g,h 不共面； 命题乙：点e,f,g,h 中任何三点不共线那么甲是乙成立的( )条件。(a)充分非必要 (b)必要非充分 (c)充要 (d)非充分非必要5下列命题中正确的一个是（ ）（a）若a与b是异面直线,b与c也是异面直线，则a与c也是异面直线； （b）已知异面直线a，b两条直线c，d分别与a，b都相交, 则c，d也是异面直线；（c）四个角都是直角的四边形一定是矩形；（d）两条异面直线可能没有公垂线6关于异面直线a，b下述命题中不正确的一个是（ ）（a）过直线a有且只有一个平面平行于b；（b）过直线a有且只有一个平面垂直于b（c）存在分别经过直线a与b的两个互相平行的平面（d）存在分别经过直线a与b的两个互相垂直的平面 7直线是异面直线，且平面，则（ ）（a）与都不相交 （b）与都相交（c）至少与的一条相交 （d）至多与的一条相交8室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线（ ） （a）异面 （b）相交 （c）平行 （d）垂直 9的边上的高线为，且，将沿ad折成大小为的二面角b-ad-c，若，则三棱锥的侧面是（ ） （a）锐角三角形 （b）钝角三角形 （c）直角三角形 （d）形状与的值有关的三角形 10下列四个命题正确的是（）已知三条直线，其中与异面，则与异面；若与异面，与异面，则与异面；过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线；不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线； 不平行不相交的两条直线叫做异面直线.（a） （b） （c） （d）二填空题11空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定 个平面 12如图所示，在正方体中，则异面直线的距离是 。13已知为不垂直的异面直线，是一个平面，则在上的射影有可能是两条平行直线 两条互相垂直的直线 同一条直线 一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.14如图所示，在棱长为1的正方体中，m为ab的中点，n为的中点，o为面的中心，过o作一直线与an交于p，与cm交于q，则pq的长为 。三解答题abcdefgho 15如图，四面体abcd中，e、分别为bc、ab的中点，f在cd上，h在ad上，且有df：fc=2：3，dh：ha=2：3，求证：ef、gh、bd交于一点16在二面角中，a、b，c、d，abcd是矩形，p，pa，且pa=ad，m、n依次是ab、pc的中点（）证明：是异面直线和的公垂线；（）求异面直线与所成的角第二节 直线与平面平行和平面与平面平行 一高考考点（一）直线与平面平行(1) 直线与平面的位置关系 (2) 直线与平面平行的判定 a=a(定义法)； 判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。（ab，a，ba）； ba, b, aa； ,aa。(3) 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（a，a，=bab；即“线面平行，则线线平行”）(4) 直线与平面的距离: 一条直线和一个平面平行,这条直线上任一点到这个平面的距离叫做这条直线与平面的距离。（注：线到面的距离是用点到平面的距离来度量的）（5）思维方式: 线线平行线面平行线线平行（6）特别注意:在直线与平面的位置关系中,直线与平面平行,直线与平面相交,统称直线在平面外,记作a.（二）平面与平面平行（1）位置关系：平行：没有公共点；相交：至少有一个公共点，必有一条公共直线，公共点都在公共直线上（相交包括垂直相交和斜交）（2）平行的判定： 定义：没有公共点的两个平面平行（常用于反证） 判定定理：若一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，则这两个平面平行（线线平行推得线面平行） 垂直于同一条直线的两个平面平行 平行于同一个平面的两个平面平行 过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个（3）平行的性质： 两个平行平面没有公共点(定义法) 若一个平面与两个平行平面都相交，则两交线平行（面面平行得线线平行） 两个平行平面中的一个平面内的所有直线平行于另一个平面（面面平行得线面平行） 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面（用来判定直线与平面垂直） 一般地，一条直线与两个平行平面所成的角相等，但反之不然 夹在两个平行平面间的平行线段相等特别地，两个平行平面间的距离处处相等 二强化训练 一选择题（共10个小题）1已知直线、和平面，那么的一个必要不充分的条件是 （ ）， ， 且 、与成等角 2、表示平面，、表示直线，则的一个充分条件是 （ ），且 ，且，且 ，且3若不共线的三点到平面的距离相等，则该三点确定的平面与之间的关系为（ ） a平行 b相交 c平行或相交 d以上都不是4.已知平面平面，是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，则的长为（ ） 或 5在下列条件下，能够判定平面m与平面n平行的条件是（ ） （a）m、n都垂直于另一平面q （b）m内不共线的三点到n的距离相等（c）l,m是m内的两条直线，且n,mn （d）l,m是两条异面直线，且m,mm，n,mn6a,b,c为三条不重合的直线，,为三个不重合的平面，现给出六个命题： 其中正确的是（ ）（a） （b） （c） （d）7表示直线，表示平面，则下列命题中正确的个数为（ ） 若，则 若，则 若，则 若，则（a）1 （b）2 （c）3 （d）48如果直线/平面，那么（ ） （a）平面内不存在与垂直的直线 （b）平面内有且只有一条直线与垂直（c）平面内有且只有一条直线与平行（d）平面内有无数条直线与不平行9已知直线，平面，且，给出下列四个命题： 若，则； 若，则； 若，则；若，则。其中正确命题的个数为（ ） （a）1 （b）2 （c）3 （d）410在空间四边形abcd中，e，f分别为边ab，ad上的点，且，又h，g分别为bc，cd的中点，则（ ） （a）bd/平面efg，且efgh是矩形 （b）ef/平面bcd，且efgh是梯形（c）hg/平面abd，且efgh是菱形 （d）eh/平面adc，且efgh是平行四边形二填空题11空间四边形的两条对角线，则平行于两对角线的截面四边形的周长的取值范围是 12正方体中，为的中点，则与平面的位置关系是 .13设表示平面，表示不在内也不在内的两条直线. 给出下列四个论断： （1）； （2）； （3）； （4）. 若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题. 写出你认为正确的一个命题： . （注：写法如“（）、（）、（）（）”，只需在（ ）中填入论断的序号.）14在四棱柱中，e，f，g，h分别是棱的中点，n是bc的中点，点m在四边形efgh及其内部运动，则m满足 时，有mn/平面 三解答题abcdgpef15如图，四棱锥pabcd的底面是边长为a的正方形，侧棱pa底面abcd，侧面pbc内有bepc于e，且be=a，试在ab上找一点f，使得ef平面pad。16如图，已知平面,且位于与之间，点a,d,c,f,ac=b,df=e（） 求证：；（） 设af交于，ac与df为异面直线，与间的距离为h，与间的距离为h，当的值是多少的时候，的面积最大？第三节 直线与平面垂直和平面与平面垂直 一高考考点（一）直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。(2)直线与平面垂直的判定：常用方法有： 判定定理: . b, aba；（线面垂直性质定理） ,aa（面面平行性质定理），=l，al，aa（面面垂直性质定理）(3)直线与平面垂直的性质定理： 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（ a，bab） 直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线()(4)点到平面的距离的定义: 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。 （5）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；三垂线逆定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。注意：两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立。三垂线定理及其逆定理共涉及“四线一面”。其中平面的垂线、平面的斜线及射影这三条直线都是平面内的一条直线的垂线。利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出“平面的垂线”、“平面的斜线”、“斜线的射影” 。从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知共面直线垂直证明异面直线垂直，逆定理相反。主要应用：可证两异面直线垂直；确定点到直线的垂线等；可确定二面角的平面角。线线垂直线面垂直线线垂直（6）特别注意:点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不可确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。（二）平面与平面垂直1二面角（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。0ba（2）二面角的平面角：以两面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角叫做二面角的平面角。（3）二面角的大小，可以用它的平面角来度量。范围是：（4）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。2平面与平面垂直（1） 定义：两个平面相交，如果它们所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记作：平面平面（2） 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（简称：线面垂直，面面垂直）（3）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（简称：面面垂直，线面垂直。）（4）思维方式:判定两相交平面垂直的常用方法是.：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法。（5）特别注意:用定义时二面角平面角的确定。 二强化训练 一选择题1下列命题中，正确的命题是（ ）a若a是平面的斜线，直线b垂直于a在内的射影，则ab.b若a是平面的斜线，平面内的直线b垂直于a在内的射影，则ab.c若a是平面的斜线，b是平面内的一条直线且b垂直于a在这个平面内的射影，则ab.d若a是平面的斜线，直线b平行于平面，且b垂直于a在另一平面内的射影，则ab.2已知四边形abcd所在平面外一点p，在四个三角形pab、pbc、pcd、pda中，直角三角形最多可有（ ）a1个 b2个 c3个 d4个 3设a，b是两条异面直线，在下列命题中正确的是（ ）（a） 有且仅有一条直线与a，b都垂直；（b） 有一个平面与a，b都垂直；（c） 过直线a有且仅有一个平面与b平行；（d） 过空间中任一点必可作一条直线与a，b都相交。4对于直线m、n和平面、，的一个充分条件是（ ）a、mn，m，n b、mn，=m，nc、mn，n，m d、mn，n，m5设a、b是异面直线，给出下列命题： 经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b； 经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b； 存在分别经过直线a和b的两个平行平面； 存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。其中错误的命题为（ ）a、与 b、与 c、与 d、仅6若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是 （ ） 7已知与是两条不同的直线，若直线平面，若直线，则；若，则；若，则；，则。上述判断正确的是 （ ） 8直线平面，直线平面，有下面四个命题 其中正确的两个命题是（ ） （a）与 （b）与 （c）与 （d）与9斜三棱柱中，则在底面abc上的射影h必在（ ） （a）直线ab上 （b）直线bc上 （c）直线ca上 （d）内部10如果直线与平面满足：和，那么必有（ ） （a）且 （b）且 （c）且 （d）且二填空题11已知m，l是直线，是平面，给出下列命题：（a） 若l垂直于内的两条相交直线，则l；（b） 若l平行于，则l平行于内的所有直线；（c） 四面体中最多可以有四个面是直角三角形。（d） 若m且l， 且则ml其中正确命题的是 。12 ，是两个不同的平面，m ，n是平面及之外两条不同的直线，给出四个论断：（a）mn （b）m （c） （d）n以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 。13在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，有（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）14.设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下命题：若，则是的垂心若两两互相垂直，则是的垂心若，是的中点，则若，则是的外心其中正确命题的命题是 三解答题15在棱长为a 的正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别为d1c1与ab的中点。（1）求a1b1与截面a1ecf所成的角；（2）求点b到截面a1ecf的距离。16正方体中，、分别是、的中点。（） 求证：平面平面。（） 求二面角的平面角的正切值。第四节 空间向量及坐标运算一高考考点（一）空间向量1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量2.空间向量的运算（利用基底表示其它向量）=a+b， （指向被减向量）， a 运算律：加法交换律： 加法结合律： 数乘分配律：3.共线向量（平行向量）（1）概念：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于b,记作ab（2）共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使a=b。推论：如果l为经过已知点a且平行于已知向量a的直线，那么对任一点o，点p在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 a 其中向量a叫做直线l的方向向量。，或 或式都叫做空间直线的向量参数方程 4共面向量（1）概念：平行于同一平面的向量，叫做共面向量。(2)共面向量定理:如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是，存在实数对x、y，使=x+y推论：空间一点p位于平面mab内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使=x+y 或对空间任一点o，有=+x+y 5.空间向量基本定理 如果三个向量、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使=x+y+z推论 设o、a、b、c是不共面的四点，则对空间任一点p，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使6.两个向量的数量积:(1) 与的夹角: .记作 规定0,则=,=,记作(2)模(长度):设 有向线段的长度叫向量的长度或模,记作(3)数量积:(4)在轴l上或在方向上的正射影，简称射影:(5)空间向量数量积的性质: (6)空间向量数量积的运算律 (交换律)(分配律)（二）空间向量的坐标运算1空间直角坐标在空间选定一点o和一个单位正交基底，j，k，以点o为原点，分别以，j，k的正方向建立三条坐标轴： x轴，y轴，z轴，使xoy=135（或45），yoz=90，就建立了一个空间直角坐标系o-xyz。点o叫原点，j，k叫坐标向量，一般作右手直角坐标系。任一点a对应一个向量，存在唯一的实数组x、y、z. x+y j+z k. 记为a（x、y、z）,叫空间直角坐标系中的坐标。其中x叫点a的横坐标，y叫点a的纵坐标，z叫点a的竖坐标2向量的直角坐标运算（1）设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）则a+b=( a1 +b1 ，a2 +b2，a3+b3) a-b=( a1 -b1 ，a2 -b2，a3-b3)a=（a1，a2，a3）（r） ab=a1b1+a2b2+a3b3ab a1 =b1 ，a2=b2，a3=b3（r） ab a1b1+ a2b2 +a3b3=0（2）设a（a1，a2，a3），b（b1，b2，b3）则（b1，b2，b3）-（a1，a2，a3）=( b1 -a1 ，b2-a2，b3-a3)。即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。3夹角和距离公式设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）则 ab= a1b1+a2 b2+a3b3 已知，则 为空间两点间距离公式4如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记为如果，那么向量a叫做平面的法向量5. 设a（a1，a2，a3），b（b1，b2，b3）则ab中点坐标为6.向量位置与立体几何中位置对照: ab/cd 证a、b、c、d四点共面可通过证 线线角即为两向量的夹角或其补角 线面角即为线所在向量与面的法向量的夹角的余角或再减900 面面角即为两面的法向量的夹角或其补角 距离可通过求在法向量上投影的长度得到二强化训练 一选择题1对于空间任意一点o和不共线的三点a、b、c，有,则x+y+z=1是四点p、a、b、c共面的 （ ）（a）必要不充分条件 （b）充分不必要条件 （c）充要条件 （d）既不充分又不必要条件 2若，则与一定（ ） （a）相交 （b） 共线 （c）垂直 （d）以上都有可能 3如图，已知空间四边形，其对角线为分别是的中点，点在线段上，且分所成的比为，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（ ）（） （）（） （） 4平行六面体中， ，则的长为（ ） （）（）（）（）5已知向量a, b,且ab与ab互相垂直，则的值是（ ）（）（）（）（）6如果平面的一条斜线和它在这个平面的射影的方向向量分别是a, b,那么这条斜线与平面所成的角是（ ）（）（）（）（）7设a，b，c，d是空间不共面的四点，且满足，则是（ ）（a）钝角三角形 （b）锐角三角形 （c）直角三角形 （d）不确定 8在边长为1的正三角形abc中，设，则为（ ） （a） （b） （c） （d）9为任意向量，下列命题是真命题的为（ ） （a）若，则 （b）若，则（c） （d）若，且与夹角为，则10若a，b两点的坐标是，则的取值范围是（ ）（a） （b） （c） （d）二填空题11已知向量，若，则 ；若，则 。12已知点，点，则，且是的条件13如图所示，在正方体中，求所成角的余弦值为 14已知的三个顶点分别为，ad为角a的平分线，则ad的长为 。三解答题（共2个小题）15如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，ab=ac=a, bac=900, d是bc的中点，aa1=2a.(1) 求异面直线a1b和ac1所成角的余弦值； （2）求二面角d-ac1-c的正弦值。16在直三棱柱abc-a1b1c1k 中，abc=900，bc=2，cc1=4,点e在线段bb1上，且eb1=1，d、f、g分别为cc1、c1b1、c1a1的中点。（1）求证b1d平面abd。（2）求证：面egf/面abd。（3）面egf与面abd的距离。第五节 直线和平面所成的角和平面与平面所成的角 一高考考点空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识（特别是余弦定理）熟练解题。(1) 异面直线所成的角：范围是（0，/2。求两条异面直线所成的角的大小一般方法一是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上（常用中位线、平行四边形）；证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角。二是利用设基向量或建立坐标系，利用向量的夹角，设为，则异面直线所成的角为或1800-。(2) 直线与平面所成的角：范围是0，/2。求直线和平面所成的角的方法是：一是用的是射影转化法。具体步骤如下：找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置于三角形中计算。dbac注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若为线面角，为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有。如图dc, cbab由三垂线定理知abbd.记dab=cab=dac=,则.二是求直线所在向量与平面的法向量的夹角，设为，则直线与平面所成的角为-900或900-。(3)确定点的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置： a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或二组对棱互相垂直（必可推出第三组也垂直），那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；思维方式: 把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”。特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来，这里要特别注意平面角的探求。二二面角（1）二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。（2）二面角的平面角：以两面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角叫做二面角的平面角。（3）二面角的大小，可以用它的平面角来度量。范围是：解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法: 棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角。 面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角。 空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。直接求二面角的方法有以下二种： 利用斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小. 利用建立空间直角坐标系或基向量，求两平面的法向量，面面角即为两面的法向量的夹角或其补角 （4）思维方式: 把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”。（5）特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来，这里要特别注意平面角的探求。二强化训练 一选择题d1直三棱住a1b1c1abc，bca=，点d1、f1 分别是a1b1、a1c1的中点，bc=ca=cc1，则bd1与af1所成角的余弦值是（ ） （a ） （b） （c） （d） 2pa、pb、pc是从p点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线pc与平面pab所成角的余弦值是（ ）a. b. c. d. 3若直线l与平面所成角为，直线a在平面内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是（ ） （a） （b） （c） （d） 4 矩形abcd中，ab=1，bc=，pa平面abcd，pa=1，则pc与平面abcd所成的角是（ ）（a） 30 （b） 45 （c） 60 （d） 905pa，pb，pc是从p点引出的三条射线，每两条的夹角为60，则直线pc与平面apb所成角的余弦值为（ ）（a） （b） （c） （d） 6在一个450的二面角的一个平面内有一条直线与二面角棱成450角，则此直线与二面角的另一个面所成的角为 （ ）（a)300 （b)450 （c)600 （d)9007平面p和平面q所成的二面角为，直线abp且与二面角的棱成角，它和平面q成角，那么（ ）（a） （b） （c） （d） 8二面角的平面角为120，a，b，若则cd=（ ）（a） （b） （c） 2 （d） 9在边长为a的正三角形abc中，adbc，沿ad将abd折起，若折起后b，c间距离为，则二面角badc的大小为（ ）（a）30 （b）45 （c）60 （d）9010三棱锥a-bcd中，ab=ac=cd=ad=，要使三棱锥a-bcd的体积最大，则二面角b-ac-d的大小为（ ） （a） （b） （c） （d）二填空题11如图所示的正方体abcda1b1c1d1中，过顶点b、d、c1作截面，则二面角b-dc1-c的大小是 。12若直线l1与直线l2垂直相交，且它们与平面所成的角分别是30和45，那么l1和l2在平面内的射影所成的锐角是_；l1和l2确定的平面与平面所成的锐二面角是_ _.13已知面内有，点p在外，pa=2，p到ab，ac的距离均为，则pa与平面所成角的余弦值为 。14二面角的平面角为，在内，于b，ab=2，在内，于d，cd=3，bd=1，m是棱上的一个动点，则的最小值是 。三解答题15在四面体abcd中，ab、bc、bd两两垂直，且ab=bc=2，e是ac中点，异面直线ad与be所成的角大小为arccos,求四面体abcd的体积.16设d是abc的bc边上一点,把acd沿ad折起,使c点所处的新位置 在平面abd上的射影h恰好在ab上.(1)求证:直线与平面abd和平面ah所成的两个角之和不可能超过(2)若,二面角为,求的正切值. 第六节 空间距离 一高考考点1点到直线的距离：点p到直线a的距离为点到直线a的垂线段的长，常先找或作直线a所在平面的垂线，得垂足为a，过a作a的垂线，垂足为b连pb，则由三垂线定理可得线段即为点到直线a的距离在直角三角形pab中求出pb的长即可2异面直线间的距离：异面直线a,b间的距离为a,b间的公垂线段的长常有求法先证线段ab为异面直线a,b的公垂线段，然后求出ab的长即可找或作出过b且与a平行的平面，则直线a到平面的距离就是异面直线a,b间的距离找或作出分别过a,b且与b,a分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线a,b间的距离(垂面法)a垂直于过 b的平面，再过垂足作b的垂线。利用异面直线两点间的距离公式。利用向量中的射影求距离 思维方式：发散的思维和空间思维大胆的设想，严密的推理特别注意：严密的逻辑推理，而不是单凭感觉和估计3点到平面的距离：点到平面的距离为点到平面的垂线段的长常用求法作出点到平面的垂线后求出垂线段的长转移法，如果平面的斜线上两点，到斜足的距离，的比为，则点，到平面的距离之比也为特别地，时，点，到平面的距离相等体积法向量法4直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间为直线上任意一点到平面间的距离5平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间为一个平面上任意一点到另一个平面的距离注：以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。 6球面上两点的球面距离7思维方式：发散的思维和空间思维大胆的设想，严密的推理8特别注意：了解求距离的各种方法并能掌握运用。 二强化训练 一选择题1把边长为a的正abc沿高线ad折成600的二面角，则点a到bc的距离是（）（）（）（）（）2rtabc的两直角边bc=3，ac=4，pc面abc，pc=，那么点p到斜边ab的距离是 （ ） （a） 3 （b）4 （c） 15 （d） 3、两两平行的三条直线a，b，c中任意两条直线的距离都等于2，b与c确定平面，则直线a与平面间的距离 （ ）（a） 等于0 （b） 等于 （c） 等于2 （d） 不确定4、已知二面角为60，如果平面内有一点a到平面的距离为，那么a在平面上的射影a1到平面的距离为（ ）（a） （b）1 （c） （d）5、已知ef是异面直线a、b的公垂线，直线l/ef，则l与a、b交点的个数是（ ）（a）0 （b）1 （c） 0或1 （d）0或1或26、已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，则棱a1b1所在直线与对角线bc1所在直线间的距离是 （ ） （a） （b） a （c） a （d）7平面/平面,它们之间的距离为d（d0），直线a在平面内，则在平面内（ ）(a) 有且只有一条直线与直线a的距离等于d(b) 所有的直线与直线a的距离等于d(c) 有无数条直线与直线a的距离等于d，还有无数条直线与直线a的距离不等于d（d） 所有的直线与直线a的距离都不等于d8. 平面/平面，到的距离与的距离之比为2：1的点的轨迹是（ ）（a）1个平面 （b）2个平面 （c）3个平面 （d）4个平面9空间四点a，b，c，d中，每两点所连线段的长都等于，动点p在线段ab上，动点q在线段cd上，则p与q的最短距离为（ ） （a） （b） （c） （d）10在的二面角内有一点p，点p到两个面的距离分别为和3，则点p到棱ab的距离为（ ） （a） （b） （c） （d）二填空题11棱长为a的正四面体的对棱间的距离为_；顶点到对面边的距离为_；外接球半径为_;内接球半径为_;12长方体abcda1b1c1d1中，aa1=5，ab=12，那么直线b1c1和平面a1bcd1的距离是_.13如图，正方体的棱长为1，c、d分别是两条棱的中点, a、b、m是顶点，那么点m到截面abcd的距离是 .14正方形abcd的边长是2，e，f分别是ab，cd的中点，将正方形沿ef折成直二面角（如图）。m为矩形aefd内一点，如果，mb和平面bcf所成的角的正切值为，那么点m到直线ef的距离为 。三解答题15已知正方体abcda1b1c1d1棱长为，求异面直线bd与b1c的距离16在平面四边形abcd中，ab=bc=cd=，沿对角线ac折成直二面角，（1）求证：ab平面bcd;（2）求平面abd与平面acd所成的角;（3）求点c到平面abd的距离。第七节 棱柱、棱锥、多面体和球 一高考考点（一）棱柱 (1)棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。(2)棱柱的性质：侧棱都相等，侧面都是平行四边