吉林省东北师范大学附属中学高考数学一轮复习 球与几何体的切接A导学案 文.doc

吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 球与几何体的切接a导学案 文球与几何体的切接问题是近几年高考的热点，主要考察空间想象能力和逻辑思维能力,下面我们就近几年高考题对球与几何体的切接作深入的探究，从中掌握高考命题的趋势和高考的出题思路，从近几年全国高考命题来看,这部分内容主要出选择、填空，大题很少出。一、正方体与球的切接问题（1）、正方体的内切球，如图1。 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r=a。（2）正方体的外接球，如图2。位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r=3a。（3）正方体的棱切球，如图3。位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r=2a。二、 正四面体与球的切接问题（1）、正四面体的内切球，如图4。位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为r，这时有4r=h=63a；（可以利用体积桥证明）（2）、正四面体的外接球，如图5。位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为r，这时有4r=3h=6a；（可用正四面体高h减去内切球的半径得到）（3）、正四面体的棱切球，如图6。位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为r，这时有4r=2a=3h；h=63a。三、正方体、正四面体与球的切接问题的数据关系推导可以借用下面几何体的切接关系推导。正方体为abcd-a1b1c1d1、正四面体为a1c1bd，图中两个球o为正方体abcd-a1b1c1d1的内切球和外接球，显然这两个球也是正四面体为a1c1bd的棱切球与外接球，这样我们就不难从一维量棱长a、半径、直径、高；二维量表面积、全面积；三维量体积之间进行数据转换。把握以上正方体与正四面体与球的切接问题，以不变应万变，可以轻而易举解决高考题。四、近几年高考及高考摸拟中球与几何体的切接问题 1、07（湖南理8题）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ d ）a b c d2、（07陕西理6题）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ c ） a b c d 3、（07全国理15题）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 （ cm2）4、（07安徽理15题）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）。矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体。5、（07辽宁理15题）若一个底面边长为32 ，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（ 92 ）6、（天津理12题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为（）7、（2008海南、宁夏文科卷）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _8、（08安徽卷16）已知在同一个球面上,若,则两点间的球面距离是43 （可改为求cosboc=1/10）9、（福建卷15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是（9）10、（浙江卷14）已知球面上四点a、b、c、d，da平面abc，abbc，da=ab=bc=，则球的体积等于11.（辽宁卷14）在体积为的球的表面上有a，b，c三点，ab=1，bc=，a，c两点的球面距离为，（此条件可改为ac=3），则球心到平面abc的距离为12、（2009陕西卷文）若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（b） (a) (b) (c) (d) 解析:由题意知 以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体（即两个同底同高同棱长的正四棱锥），所有棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积为, 故选b.13、（2009江西卷理）正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，（此条件可改为ab=22），则正三棱柱的体积为 8 【解析】由条件可得，所以，到平面的距离为，所以所求体积等于abo1o14、.(2009湖南卷理)在半径为13的球面上有a , b, c 三点，ab=6，bc=8，ca=10，则（1）球心到平面abc的距离为 12 ；（2）过a，b两点的大圆面与平面abc所成二面角为（锐角）的正切值为 3 （ 此问可改为面aob与面abc所成的二面角为（锐角）的正切值。）【答案】：（1）12；（2）3【解析】（1）由的三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过三点小圆的直径即为10，也即半径是5，设球心到小圆的距离是，则由，可得。（2）设过三点的截面圆的圆心是中点是点，球心是点，则连三角形，易知就是所求的二面角的一个平面角，所以，即正切值是3。解析：选a.由已知，球的直径为，表面积为15、（2010四川理数（11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，面bcd是平面内边长为r的正三角形，线段ac、ad分别与球面交于点m，n，那么m、n两点间的球面距离是(a)（可改为mn两点的距离为0.8r）（a） （b） （c） （d）16、2010全国卷1理数）（12）已知在半径为2的球面上有a、b、c、d四点，若ab=cd=2,则四面体abcd的体积的最大值为(b)(a) (b) (c) (d) 17、（2011重庆理9）高为24的四棱锥s-abcd的底面是边长为1的正方形，点s、a、b、c、d均在半径为1的同一球面上，则底面abcd的中心与顶点s之间的距离为(c)a24 b 22 c1 d218、（2011全国新课标理15）已知矩形abcd的顶点都在半径为4的球o的球面上，且ab=6，bc=23，则棱锥o-abcd的体积为8319、【2012高考新课标文8】平面截球o的球面所得圆的半径为1，球心o到平面的距离为，则此球的体积为 (b)（a） （b）4 （c）4 （d）6【解析】球半径，所以球的体积为，选b.20、（2012年高考（新课标理）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱锥的体积为(a)abcd解析：的外接圆的半径，点到面的距离 为球的直径点到面的距离为 此棱锥的体积为27.(2013长春一摸文)若一个正方体的表面积为，其外接球的表面积为，则_.解析:设正方体棱长为，则正方体表面积为，其外接球半径为正方体体对角线长的，即为，因此外接球表面积为，则.28.( 2013长春二摸文16.)如果一个棱柱的底面是正多边形，并且侧棱与底面垂直,这样的棱柱叫做正棱柱.