吉林省东北师范大学附属中学高考数学一轮复习 解三角形学案 理.doc

吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 解三角形学案 理知识梳理：1、直角三角形各元素之间的关系:如图1,在rtabc中，c=900 ，bc=a，ac=b，ab=c。（1）、三边之间的关系：a2+b2=c2；（勾股定理）（2）、锐角之间的关系：a+b=900（3）、边角之间的关系：（锐角三角函数的定义）：sina=cosb=ac sinb=cosa=bc ,tana=1tanb=ab 2、斜三角形各元素之间的关系：如图2，在abc中，a、b、c为其内角，a、b、c分别表示a、b、c的对边。（1）、三角形内角之间的关系：a+b+c= ；sin(a+b)=sinc, cos(a+b)=-cosc;tan(a+b)=-tanc sina+b2=cosc2； cosa+b2=sinc2；（2）、三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等；即 asina= bsinb= csinc=2r (2r为外接圆的直径)正弦定理变形： （4）、余弦定理： 余弦定理变形： 3、三角形的面积公式：（1）、sabc= 12aha= 12bhb= 12chc（ha，hb，hc分别表示a，b，c三边上的高）（2）、sabc=12absinc=12bcsina=12casinb（3）、sabc=2r2sinasinbsinc=abc4r (2r为外接圆的直径)（4）、sabc=ss-as-b（s-c） ；s=12（a+b+c）(高考了解)（5）、sabc=rs（r为内切圆半径，s=12（a+b+c）4、解三角形：由三角形的六个元素（即三个内角和三条边）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其它未知元素的问题叫做解三角形，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等等，解三角形问题一般可以分为下面两个情形：若给出是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形为斜三角形，则称为解斜三角形。5、实际问题中的应用。（1）、仰角和俯角：（2）、方位角： （3）、坡度角： （4）、距离、角度的测量测量距离问题；测量高度问题；测量角度问题。二、题型探究探究一：利用正余弦定理解三角形例1: (2014安徽)（本小题满分12分）设abc的内角a,b,c所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,a=2b.()求a的值；()求的值.探究二:求三角形的面积例3：已知a、b、c分别表示a、b、c的对边，a，b，c成等差数列，cosa=45 ，b=3（1）、求sinc的值（2）、求abc的面积。例4：已知abc三个内角a、b、c成等差数列，其外接圆的半径为1，且有sina-sinc+ 22 cos(a-c)=22（1）、求a，b，c大小；例5：已知abc三个内角a，b，c成等差数列，三边a、b、c成等比数列，证明：abc为正三角形。探究三：判断三角形的形状例5：在abc中，已知asina=bsinb，试判断三角形的形状；例6：在abc中，已知acosa=bcosb，试判断三角形的形状；例7：在abc中，已知acosb=bcosa，试判断三角形的形状；探究四：正余定理的实际应用(2014上海)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.（1） 设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2） 施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？三、方法提升：（1）、解斜三角形的常规思维方法：已知两角和一边，可先用正弦定理解；已知两边和夹角，先用余弦定理，之后再用正弦定理；已知两边及一边所对的角，应用正弦定理，再由正弦定理或余弦定理求解，这种情况要结合图形讨论解的情况；已知三边，用余弦定理。（2）、三角形的内切圆半径r=2sabca+b+c ，特别地，r直=a+b-c斜2（3）、三角形中中射影定理（4）、两内角与正弦关系：在abc中，absinacosa+cosb+cosc; tanatanbtanc1四、反思感悟 五、课时作业正弦、余弦定理的应用一、选择题（每小题6分，共60分）1在abc中，“”是“”的 （ ）a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件2abc中，a，b的对边分别为a,b，且a=60，那么满足条件的abc（ ）a有一个解 b有两个解 c无解 d不能确定3在三角形中, 如果, 那么这个三角形是 （ ）a直角三角形 b 锐角三角形 c钝角三角形 d 直角三角形或钝角三角形4已知中，那么角等于 （ ）abcd5的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则a b c d6在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，a=,a=,b=1，则c= ( )a 1 b 2 c 1 d 7在中，ab=3，ac=2，bc=，则 ( )a b c d8在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2ac,则角b的值为 （ ）a. b. c.或 d.或9设a是abc中的最小角，且，则实数a的取值范围是（ ）aa3 ba1 c1a3 da010在abc中，若三个内角a，b，c成等差数列且abc，则的取值范围是（ ）abc d题号12345678910答案二、填空题（本大题共4小题，每题6分，共24分）11在abc中，a，b，c分别是角a，b，c所对的边，已知 则a 12在abc中,若b=300，ab=2，ac=2，则abc的面积s是 13abc的内角的对边分别为，若，则 16在中，角的对边分别为（1）求；（2）若，且，求.17在中，内角对边的边长分