吉林省东北师范大学附属中学高考数学二轮专题复习 三角变换与解三角形教案 理.docVIP

第2讲三角变换与解三角形 【高考考情解读】1.从近几年的考情来看，对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点；解三角形与其他知识以及生活中的实际问题联系紧密，有利于考查考生的各种能力，因而成了高考命题的一大热点.2.分析近年考情可知，命题一般为12题，其中，填空题多为低档题，解答题则一般为与其他知识(尤其是三角函数、向量)交汇的综合题或实际应用题，难度中等1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan().2 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3 三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简(2)等式的两边同时变形为同一个式子(3)将式子变形后再证明4 正弦定理2r(2r为abc外接圆的直径)变形：a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c.sin a，sin b，sin c.abcsin asin bsin c.5 余弦定理a2b2c22bccos a，b2a2c22accos b，c2a2b22abcos c.推论：cos a，cos b，cos c.变形：b2c2a22bccos a，a2c2b22accos b，a2b2c22abcos c.6 面积公式sabcbcsin aacsin babsin c.7 解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解(4)已知三边，利用余弦定理求解考点一三角变换例1(2013广东)已知函数f(x)cos，xr.(1)求f的值；(2)若cos ，求f.解(1)fcoscoscos 1.(2)fcoscoscos 2sin 2，又cos ，sin ，sin 22sin cos ，cos 22cos2 1，fcos 2sin 2. 当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果化简常用技巧：常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等；项的分拆与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等；降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；弦、切互化：一般是切化弦 (1)(2013四川)设sin 2sin ，则tan 2的值是_(2)(2012江苏)设为锐角，若cos，则sin的值为_答案(1)(2)解析(1)sin 2sin ，sin (2cos 1)0，又，sin 0,2cos 10即cos ，sin ，tan ，tan 2.(2)为锐角且cos，sin.sinsinsin 2cos cos 2sin sincos.考点二正、余弦定理例2(2013课标全国)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知abcos ccsin b.(1)求b；(2)若b2，求abc面积的最大值解(1)由已知及正弦定理得sin asin bcos csin csin b，又a(bc)，故sin asin(bc)sin bcos ccos bsin c由和c(0，)得sin bcos b.又b(0，)，所以b.(2)abc的面积sacsin bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos .又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此abc面积的最大值为1. 三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破几种常见变形：(1)abcsin asin bsin c；(2)a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c，其中r为abc外接圆的半径；(3)sin(ab)sin c，cos(ab)cos c. 设abc的内角a，b，c所对的边长分别为a，b，c，且(2bc)cos aacos c.(1)求角a的大小；(2)若角b，bc边上的中线am的长为，求abc的面积解(1)(2bc)cos aacos c，(2sin bsin c)cos asin acos c.即2sin bcos asin acos csin ccos a.2sin bcos asin b.sin b0，cos a，0a，a.(2)由(1)知ab，所以acbc，c，设acx，则mcx.又am，在amc中，由余弦定理得ac2mc22acmccos cam2，即x222xcos 120()2，解得x2，故sabcx2sin .考点三正、余弦定理的实际应用例3(2013江苏)如图，游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种路径一种是从a沿直线步行到c，另一种是先从a沿索道乘缆车到b，然后从b沿直线步行到c.现有甲、乙两位游客从a处下山，甲沿ac匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从a乘缆车到b，在b处停留1 min后，再从b匀速步行到c.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路ac长为1 260 m，经测量cos a，cos c.(1)求索道ab的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在abc中，因为cos a，cos c，所以sin a，sin c.从而sin bsin(ac)sin(ac)sin acos ccos asin c.由正弦定理，得absin c1 040(m)所以索道ab的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离a处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，由于0t，即0t8，故当t min时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得bcsin a500(m)乙从b出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达c.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内 应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案 在南沙某海岛上一观察哨a上午11时测得一轮船在海岛北偏东60的c处，12时20分测得船在海岛北偏西60的b处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的e港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？解由题意，得轮船从c到b用时80分钟，从b到e用时20分钟又船始终匀速前进，所以bc4eb.设ebx，则bc4x.由已知，得bae30，eac150.在aec中，由正弦定理，得，所以sin c.在abc中，由正弦定理，得，ab.在abe中，由余弦定理，得be2ab2ae22abaecos 302525，故be.所以船速v(km/h)所以该船的速度为 km/h.【规律总结】1 求解恒等变换的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”(3)再次观察代数式的结构特点2 解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a2rsin a，sin a(其中2r为三角形外接圆的直径)，a2b2c22abcos c等，灵活根据条件求解三角形中的边与角(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于”和诱导公式可得到sin(ab)sin c，sin cos 等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等.【押题精练】1 在abc中，已知tan sin c，给出以下四个结论：1；1sin asin b；sin2acos2b1；cos2acos2bsin2c.其中正确的序号为_答案解析依题意，tan sin c.sin c0，1cos(ab)1，cos(ab)0.0ab，ab，即abc是以角c为直角的直角三角形对于，由1，得tan atan b，即ab，不一定成立，故不正确；对于，ab，sin asin bsin acos asin(a)，1sin asin b，故正确；对于，ab，sin2acos2bsin2asin2a2sin2a，其值不确定，故不正确；对于，ab，cos2acos2bcos2asin2a1sin2c，故正确2 已知函数f(x)sin coscos2.(1)若f(x)1，求cos的值；(2)在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，且满足acos ccb，求f(b)的取值范围解(1)f(x)sin coscos2sin cos sin.由f(x)1，可得sin.coscos(x)cos(x)2sin2()1.(2)由acos ccb，得acb，即b2c2a2bc，所以cos a.因为a(0，)，所以a，bc，所以0b，所以，所以f(b)sin.(推荐时间：60分钟)一、填空题1 设、都是锐角，且cos ，sin()，则cos 等于_答案解析根据、都是锐角，且cos ，sin2cos21，得sin ，又sin()，cos().又cos cos()cos()cos sin()sin .2 已知cossin ，则sin的值是_答案解析cossin ，cos sin ，sin，sin，sinsin.3 (2013辽宁)在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c.若asin bcos ccsin bcos ab，且ab，则b等于_答案解析由条件得sin bcos csin bcos a，依正弦定理，得sin acos csin ccos a，sin(ac)，从而sin b，又ab，且b(0，)，因此b.4 锐角三角形abc中，若c2b，则的范围是_答案(，)解析设abc三内角a、b、c所对的边长分别为a、b、c，则有2cos b.又c2b，b.又a(bc)3b，即b，cos b，2cos b.5 已知abc中，角a、b、c的对边分别是a、b、c，且tan b，则tan b等于_答案2解析由题意得，|cos baccos b，即cos b，由余弦定理，得cos ba2c2b21，所以tan b2.6 (2013重庆改编)计算：4cos 50tan 40_.答案解析4cos 50tan 40.7 (2013福建)如图，在abc中，已知点d在bc边上，adac，sinbac，ab3，ad3，则bd的长为_答案解析sinbacsin(bad)cosbad，cosbad.bd2ab2ad22abadcosbad(3)232233，即bd23，bd.8 已知tan，且0，则_.答案解析由tan，得tan .又0，可得sin .故2sin .9 在abc中，c60，ab，ab边上的高为，则acbc_.答案解析依题意，利用三角形面积相等有：abhacbcsin 60，acbcsin 60，acbc.利用余弦定理可知cos 60，cos 60，解得：ac2bc2.又因(acbc)2ac2bc22acbc11，acbc.二、解答题10已知函数f(x)sin(2x)2cos2x1(xr)(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在abc中，三内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知f(a)，2abc，bc18，求a的值解(1)f(x)sin(2x)2cos2x1sin 2xcos 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.令2k2x2k(kz)，得kxk(kz)，即f(x)的单调递增区间为k，k(kz)(2)由f(a)，得sin(2a).2a2，2a.a.由余弦定理得a2b2c22bccos a(bc)23bc.又2abc，bc18，a24a2318，即a218，a3.11(2013四川)在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且2cos2cos bsin(ab)sin bcos(ac).(1)求cos a的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的投影解(1)由2cos2cos bsin(ab)sin bcos(ac)，得cos(ab)1cos bsin(ab)sin bcos b，即cos(ab)cos bsin(ab)sin b.则cos(abb)，即cos a.(2)由cos a，0ab，则ab，故b，根据余弦定理，有(4)252c225c，解得c1或c7(舍去)故向量在方向上的投影为|cos b.12(2013福建)如