江苏2018版高考数学复习高考专题突破三高考中的数列问题教师用书文苏教版.docx

高考专题突破三 高考中的数列问题1.(2017苏州月考)数列an是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列bn中连续的三项，则数列bn的公比为_.答案2解析设数列an的公差为d(d0)，由aa1a7，得(a12d)2a1(a16d)，解得a12d，故数列bn的公比q2.2.已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为_.答案解析设等差数列an的首项为a1，公差为d.a55，S515，ana1(n1)dn.，数列的前100项和为1.3.(2016南通、淮安模拟)在等比数列an中，a21，公比q1.若a1,4a3,7a5成等差数列，则a6的值是_.答案解析因为an为等比数列，且a21，所以a1，a3q，a5q3，由a1,4a3,7a5成等差数列得8q7q3，解得q21(舍去)或q2，故a6a2q4.4.(2015课标全国)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.答案解析由题意，得S1a11，又由an1SnSn1，得Sn1SnSnSn1，因为Sn0，所以1，即1，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1(n1)n，所以Sn.5.已知数列an的前n项和为Sn，对任意nN*都有Snan，若1Sk9 (kN*)，则k的值为_.答案4解析由题意，Snan，当n2时，Sn1an1，两式相减，得ananan1，an2an1，又a11，an是以1为首项，以2为公比的等比数列，an(2)n1，Sk，由1Sk9，得4(2)k28，又kN*，k4.题型一等差数列、等比数列的综合问题例1(2016苏州暑假测试)已知等差数列an的公差为2，其前n项和Snpn22n，nN*.(1)求实数p的值及数列an的通项公式；(2)在等比数列bn中，b3a1，b4a24，若bn的前n项和为Tn.求证： 数列Tn为等比数列.(1)解Snna1dna1n(n1)n2(a11)n，又Snpn22n，nN*，所以p1，a112，即a13，所以an32(n1)2n1.(2)证明因为b3a13，b4a249，所以q3.所以bnb3qn333n33n2，所以b1.所以Tn，所以Tn.又T1，所以3 (n2)，所以数列Tn是以为首项，3为公比的等比数列.思维升华等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序.(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.在等差数列an中，a1030，a2050.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn2an10，证明：数列bn为等比数列；(3)求数列nbn的前n项和Tn.(1)解设数列an的公差为d，则ana1(n1)d，由a1030，a2050，得方程组解得所以an12(n1)22n10.(2)证明由(1)，得bn2an1022n101022n4n，所以4.所以bn是首项为4，公比为4的等比数列.(3)解由nbnn4n，得Tn14242n4n，4Tn142(n1)4nn4n1，得3Tn4424nn4n1n4n1.所以Tn.题型二数列的通项与求和例2已知数列an的前n项和为Sn，在数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式.(1)证明anSnn，an1Sn1n1.，得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列.首项c1a11，又a1a11.a1，c1，公比q.又cnan1，cn是以为首项，为公比的等比数列.(2)解由(1)可知cn()()n1()n，ancn11()n.当n2时，bnanan11()n1()n1()n1()n()n.又b1a1，代入上式也符合，bn()n.思维升华(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息.(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等.已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1b12，a4b421，S4b430.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)记cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和.解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由条件a4b421，S4b430，得方程组解得所以ann1，bn2n，nN*.(2)由题意知cn(n1)2n.记Tnc1c2c3cn.则Tn22322423n2n1(n1)2n，2Tn222323(n1)2n1n2n(n1)2n1，所以Tn22(22232n)(n1)2n1，即Tnn2n1，nN*.题型三数列与其他知识的交汇命题点1数列与函数的交汇例3已知二次函数f(x)ax2bx的图象过点(4n,0)，且f(0)2n，nN*，数列an满足f，且a14.(1)求数列an的通项公式；(2)记bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)f(x)2axb，由题意知b2n，16n2a4nb0，a，则f(x)x22nx，nN*.数列an满足f，又f(x)x2n，2n，2n，由叠加法可得2462(n1)n2n，化简可得an(n2)，当n1时，a14也符合，an(nN*).(2)bn2，Tnb1b2bn22.命题点2数列与不等式的交汇例4数列an满足a11，an12an(nN*)，Sn为其前n项和.数列bn为等差数列，且满足b1a1，b4S3.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cn，数列cn的前n项和为Tn，证明：Tn.(1)解由题意知，an是首项为1，公比为2的等比数列，ana12n12n1.Sn2n1.设等差数列bn的公差为d，则b1a11，b413d7，d2，bn1(n1)22n1.(2)证明log2a2n2log222n12n1，cn()，Tn(1)(1).nN*，Tn(1)0，数列Tn是一个递增数列，TnT1.综上所述，Tn，所以Tn()2.综上可得，对任意nN*，均有Tn.1.(2016全国甲卷)等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.解(1)设数列an的公差为d，由题意有2a15d4，a15d3.解得a11，d.所以an的通项公式为an.(2)由(1)知，bn.当n1,2,3时，12，bn1；当n4,5时，23，bn2；当n6,7,8时，34，bn3；当n9,10时，41，an的前n项和为Sn，等比数列bn的首项为1，公比为q(q0)，前n项和为Tn.若存在正整数m，使得T3，求q.解(1) 由题意得，得d4.因为kN*且d为整数，所以k1或k2.当k1时，d6，代入，解得a13，所以an6n3.当k2时，d5，代入，解得a11，所以an5n4.(2)因为a11，所以an6n3，从而Sn3n2.由T3，得1qq2，整理得q2q10.因为14(1)0，所以m2.因为mN*，所以m1或m2.当m1时，q(舍去)或q.当m2时，q0或q1(均舍去).综上所述，q.5.(2015山东)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(an1)，求数列b