-平方差公式-以多种方式融入数学史-李玲.pdf

专题研究教育研究与评论 中学教育教学 年第 期 编者按 接着前面几期 我们继续刊发华东师范大学汪晓勤教授及其研究团队开发的 案例 本期呈现的是李玲 顾海萍两位老师的研究成果 平方差公式 以多种方式融入数学史 李 玲 顾海萍 华东师范大学数学系 上海师范大学附属经纬实验学校 摘 要 将数学史融入数学教学 通常有附加式 复制式 顺应 式和重构式四种方式 对于 平方差公式 的教学 借鉴历史 重构 平方差公式的引入 推导与应用过程 选择等周问题 通过顺应式将 发生在古希腊的欺骗性土地分配事件 改编为 庄园主与佃户 的故 事来引入 通过复制式采用赵爽的 面积割补法 来证明平方差公 式 通过附加式介绍赵爽打柴之余钻研数学问题的故事 通过复制 式采用丢番图的一个二元问题与 和差术 作为例题与解答之一 体 现平方差公式的具体应用 课堂表现和课后反馈表明 数学史的多 种融入方式的适当运用 有助于较好地实现教学的三维目标 关键词 融入方式 平方差公式 教学设计 如何将数学史融入数学教学 汪晓勤教 授曾经整合各种不同的分类方法 并根据融 入程度 将其分为附加式 复制式 顺应式和 重构式四种方式 详见表 已有的教学实 践表明 四种融入方式各有其优势 均有助于 实现教学的三维目标 不可偏废 为了进一步检验四种融入方式的有效 性 我们选取了沪教版初中数学七年级上册 平方差公式 一节内容 研究了与之相关的 历史 在分析课堂需求和教学目标的基础上 以趣味性 科学性 可学性 有效性和新颖性 五项原则为指导 对历史材料进行了选择和 年第 期 教育研究与评论 中学教育教学专题研究 加工 最终形成教学设计 并付诸实施 表 方式描述理想效果 附加式 展示数学家图片 讲述逸闻趣事等 去 掉 后 对 教 学 内 容没有什么影响 提升 兴 趣 调 节 学习 初 步 感 受 数学文化 复制式 直 接 采 用 历 史 上 的 数 学 问 题 解 法等 拉近与历史的距 离 感 受 数 学 的 神奇 获 得 探 究 的机会 顺应式 根据历史材料 编 制或改编数学问题 借鉴 历 史 辅 助 知识 的 学 习 提 供探究的机会 重构式 借 鉴 或 重 构 知 识 的发生 发展历史 体验数学发展过 程 中 火 热 的 思 考 促 进 知 识 的 理解 一 历史材料的选择与加工 在运用数学史引入平方差公式时 考虑 到可学性原则 我们选择了不太常见的等周 问题 古人对等周问题普遍存在误解 古希 腊评注家普罗克拉斯 告 诉我们 过去有人通过周长来推断城市的大 小 而当时有人在分配土地时 将周长更大但 实际上面积更小的土地分给他人 将周长更 小但实际上面积更大的土地分给自己 还被 人们视为无私 公元前 世纪 古希腊著名 历史学家修昔底德通过绕岛航行一周所需的 时间来 估 算 西 西 里 岛 的 大 小 公 元 前 年 古希腊历史学家波利比奥斯发现 有人对 周长相等的营地可以容纳不同的人数这一事 实感到困惑不解 公元 世纪 古罗马著名 博物学家老普林尼竟也根据周长来估算不同 地区的面积 据此 我们将发生在古希腊的 欺骗性土地分配事件 改编为 庄园主与佃 户 的故事 由此突出平方差公式的必要性 激发学生的学习动机 接着 我们直接采用公元 世纪中国古代 数学家赵爽的 面积割补法 来证明平方差公 式 赵爽在注释 周髀算经 中的 勾股圆方图 时说 勾实之矩以股弦差为广 股弦并为袤 而 股实方其里 股实之矩以勾弦差为广 勾 弦并为袤 而勾实方其里 这段话的实质就是 用 面积割补法 来证明平方差公式 其中 前一 个公式可用图 解释 介绍完这一证明方法 后 我们介绍赵爽的故事 以期在情感上触动和 激励学生 此外 对平方差公式的几何证明方 法 我们还引导学生进行拓展思考 图 最后 我们采用公元 世纪古希腊数学 家丢番图 在 算术 中所给出的 一个问题作为例题之一 体现平方差公式的 具体应用 此题的解答主要借鉴了古巴比伦 人解决 已知两数的和与积 或两数的差与 积 求这两个数 这种二元问题所用的 和差 术 其基本思想是将二元问题转化成一元问 题 用今天的代数语言来表达就是 在解方 程组 烅 烄 烆 时 根据第一个方程将要求的 两数分别设为 代入第 二个方程 利用平方差公式得到关于 的一元 方程 从中 求出 的值 进而求出 的值 二 教学设计与实施 一 新课引入 教师利用 展示 同时讲述以下故事 专题研究教育研究与评论 中学教育教学 年第 期 从前 有一个狡猾的庄园主 把一块边长 为 米的正方形土地租给佃户张老汉 第二年 他对张老汉说 我把这块地的一边 减少 米 相邻的另一边增加 米 继续租给 你 租金不变 你也没有吃亏 你看如何 张 老汉一听 觉得好像没有吃亏 就答应道 好 吧 回到家中 他把这件事和邻居们一讲 大 家都说 你吃亏了 张老汉非常吃惊 你知 道张老汉真的吃亏了吗 由此 教师引导学生比较边长变化前后 的土地面积 和 从而引出平 方差 二 平方差公式的证明 首先 教师出示有具体数字的问题 问题 一个边长为 的正方形的面 积是多少 在这个正方形的左上角割去一个 边长为 的正方形 你能求出剩余部分的 面积吗 由此 教师引导学生通过面积割补的方 法 将原图转化成一个长方形 并得出结论 拼接成的长方形的面积与剩余的六边形的面 积相等 接着 教师将问题 从特殊推广到一般 把具体数字换成字母 出示问题 问题 如图 在一个边长为 的正方 形的左上角割去一个边长为 的正方形 你 能表示出剩余部分的面积吗 图 基于问题 的做法 教师引导学生也将 此题中的剩余图形转化成一个长方形 如图 并通过面积相等得到平方差公式 图 然后 教师指出这种面积割补的方法其 实由来已久 并讲述赵爽的励志故事 面积割补的证明方法最早是由我国三国 时代的数学家赵爽想出来的 对赵爽的生平 人们知之甚少 在 周髀算经 注 的前言里 赵爽说自己 负薪余日 聊观 周髀 意思是 说 在打柴的空余时间里 钻研古代天文学著 作 周髀算经 迫于生计辛苦劳作 却不忘 做学问 古人的勤奋感人至深 此后 教师出示 拓展思考 问题 并鼓励 学生积极探索其他的证明平方差公式的几何 方法 拓展思考 如图 在一个边长为 的正 方形的左上角割去一个边长为 的正 方形 若沿虚线剪开 能否得到平方差公式 图 出乎教师意料的是 相继有三名学生在 黑板上分别用三种不同的图形拼接方式 成 功地证明了平方差公式 分别将其拼接成长 方形 平行四边形和等腰梯形 如图 图 考虑到几何方法固然精彩 但平方差公 式不过是前一节 整式乘法 的简单应用 最 后 教师让学生尝试再用多项式乘法来推导 平方差公式 年第 期 教育研究与评论 中学教育教学专题研究 三 平方差公式的特征 这一环节的教学没有也不适合融入数学 史知识 其重点在于让学生准确掌握平方差 公式的特征 不要乱用 误用 证明完平方差公式后 教师让学生用自 然语言对平方差公式加以描述 两数之和与 这两数之差的乘积等于这两个数的平方差 同时 教师强调该描述中的 这 字不能省略 并说明公式中的 可以是任意数或代数 式 接下来 教师用图 表示平方差公式的 形式特征 并强调在使用公式时要注意找相 同项和相反项 以避免发生错误 图 四 平方差公式的应用 教师按照由易到难 循序渐进的原则设 计练习题 首先 教师通过一个填表练习引导学生 关注平方差公式的特征 给出两数之和与这 两数之差的乘积 据此填写其相同项 相反项 和平方差形式 接着 教师通过一个计算练习加深学生 对平方差公式的理解 其中 前 个小题都 是代数式运算 引导学生直接套用平方差公 式 第 个小题则是具体数字乘积的问题 引导学生分析平方差公式的 特征 发现所要找的两个数分别是 与 的和与差的一半 同时 引导学生认识 此题实 际 上 就 是 平 方 差 公 式 的 变 形 的应用 并介绍学生知 道 古希腊数学家欧几里得在 几何原本 中 就已经利用几何方法得到上述变形了 然后 教师出示练习 练习 已知两个正数的和为 积为 求这两个数 在学生初步尝试后 教师介绍丢番图所 采用的 和差术 公元 世纪 古希腊数学家丢番图 在其 算术 第 卷中 运用古巴比伦 人的 和差术 通过平方差公式来解上述问 题 其解法是 假设所求两数分别为 和 则 即 故 故 于是 所求两数分 别为 和 对此 一些学生表现出困惑 为什么将两 数设为 和 教师便引导学生从 上一个练习中寻找答案 最后 教师带领学生回到开头的土地问 题上来 佃户张老汉真的吃亏了吗 答案不 言而喻 学生基本上都能迅速回答这个问题 并用几何和代数两种方法证明张老汉所得的 土地少了 平方米 由此 教师引导学生得 出更一般的结论 两个多边形周长相等时 其 面积不一定相等 三 学生反馈 课后 我们对全班 名学生进行了问卷 调查 对于 通过几何割补方式证明平方差公 式对你理解平方差公式是否有帮助 人表 示确实有帮助 只有 人表示帮助不明显 没 什么感觉 可见 绝大多数学生对几何割补 法的教学效果是认同的 对于 对几何割补与多项式相乘这两种 不同方法你如何选择 人表示更喜欢几何 割补法 人表示更喜欢多项式乘法 另外 人表示两者一样喜欢 但是对于问卷中的 推导平方差公式 问题 采用多项式乘法的 学生人数是采用几何割补法的学生人数的 倍 可见 虽然大部分学生认同几何割补法 专题研究教育研究与评论 中学教育教学 年第 期 但是在实际操作时 多数人还是倾向于更为 简便的代数方法 关于本节课印象最深的内容 超过半数 的学生表示 拓展思考 问题 即用多种拼图 方法推导平方差公式 给他们留下的印象最 深 其他的回答还有 丢番图的 已知两数的 和与积分别是 和 求这两个数 问题及 其解法 让人印象深刻 庄园主与张老汉 的 故事很有趣 很有教育意义 赵爽的故事让人 感受到 时间就像海绵里的水 挤挤总是会有 的 要珍惜时间 等等 从学生的回答来看 数学史的相关知识给绝大多数学生留下了深 刻的印象 在技能方面于学习有帮助 在情感 方面也给学生带来了提升 四 结语 以多种方式运用数学史是本节课的亮 点 具体情况如表 所示 表 方式内容 附加式赵爽打柴之余钻研数学问题的故事 复制式 赵爽的 面积割补法 丢番图的二元 问题与 和差术 顺应式 庄园主与佃户 的故事 重构式平方差公式的引入 推导与应用 数学史多种融入方式的适当运用 并不 仅仅是为了增加了课堂的趣味性 更重要的 是为了更好地实现教学的三维目标 结合 本节课 分 析 学 生 掌 握 了 平 方 差 公 式 的 特 征 并能运用平方差公式灵活计算 说明实 现了 知识与技能 的目标 学生理解了平方 差公式的推导过程 并且大部分学生能够自 己推 导 或 用 代 数 的 方 法 或 用 几 何 的 方 法 说明基本实现了 过程与方法 的目标 另外 丰富的数学史素材增加了课堂的趣味 性 让学生得以在一种更生活化 更轻松的 氛围中学习 而且 赵爽的故事给学生带来 了 正能量 庄园主与张老汉 的故事也具 有教育意义 这些都