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椭圆的标准方程 江苏省邗江中学杨建萍 说课大纲 教材分析 目标分析 过程分析 教法分析 重难点分析 学情分析 学法分析 一 教材的地位和作用 椭圆的标准方程是继学习必修2圆以后又一个二次曲线的实例 从知识上说 它是对前面所学的运用坐标法研究圆的方程和性质的强化和提升 同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础 从方法上说 它为我们研究双曲线 抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础 有一种认识上的原始开发功能 达到培养学生探索问题和解决问题能力的目的 一 教材分析 1 知识与技能 进一步理解椭圆的定义 掌握椭圆的标准方程 理解椭圆标准方程的推导 会根据条件写出椭圆的标准方程 会根据椭圆的标准方程求焦点坐标 2 过程与方法 让学生经历椭圆标准方程的推导过程 进一步掌握求曲线方程的一般方法 体会数形结合等数学思想 培养学生运用类比 联想等方法提出问题 3 情感态度与价值观 通过具体的情境感知研究椭圆的标准方程的必要性和实际意义 体会数学的对称美 简洁美 培养学生的审美情趣 形成学习数学知识的积极态度 二 教学目标 三 重点 难点分析 在教学设计中采用了循序渐进 逐层推进的方法 先让学生感知生活中的椭圆 从而引出课题 最后通过坐标法 定量 地描述椭圆 这种从感性到理性地抽象概括 形数转化 建立椭圆方程的过程符合学生的认知规律 三 重点 难点分析 结合建立坐标系的一般原则 从 对称美 和 简洁美 出发作必要的点拨 学生对含有两个根式之和 差 等式化简的运算生疏 去根式的策略选择不当是导致 标准方程的推导 成为教学难点的直接原因 我尽可能多地为学生提供时间和空间 让学生在观察 对比的基础上提升自己的思维 二 学情分析 1 知识结构 在学习本课 椭圆及其标准方程 前 学生已学习了直线与圆的方程 对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验 用坐标法研究几何问题也有了初步的认识 2 能力方面 学生已经具有一定分析问题 解决问题的能力 在教师的合理引导下学生有独立探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力 3 情感方面 由于学生学习解析几何时间还不长 学习程度也较浅 且受高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响 在学习过程中难免会有些困难 如 由于学生对坐标法解决几何问题掌握还不够 故从研究圆到研究椭圆 学生思维上会存在一点障碍 三 教法分析 建构主义学习理论告诉我们 学习应是一种有意义的活动同时也是一种对真实情景的体验 因此 教师教学方法选择如何 是否有利于创设一种有趣 生动 活泼的课堂教学气氛 会直接关系到学生接受知识的过程是主动还是被动 在我的教学设计中 主要采用探究式教学方法 即 问题诱导 启发讨论 探索结果 注重 引 思 探 练 的结合 引导学生转变学习方式 采用主动参与 积极体验 自主探究的学习 形成师生互动的教学氛围 通过引导学生根据椭圆定义探索椭圆方程的过程 让学生进一步领悟数形结合思想 感受数学的对称美 简洁美 激发学生学习数学的兴趣 通过揭示由于椭圆焦点位置的不确定所引起的分类讨论 感受分类讨论思想的运用 四 学法指导 教学流程图 五 过程分析 问题情境 生活中的应用 椭圆的标准方程 生活中有椭圆 生活中用椭圆 求曲线方程的一般步骤 设点 建系 找关系 代坐标 化简 检验 推导椭圆的标准方程 1 建系 取过焦点f1 f2的直线为x轴 线段f1f2的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 2 设点 设p x y 为椭圆上的任意一点 3 找关系 椭圆的焦距是2c c 0 即f1f2 2c 则f1 c 0 f2 c 0 又设m与f1 f2距离之和等于2a 2a 2c a c为常数 所以有mf1 mf2 2a 4 代坐标 方程的推导 5 化简 令 则 椭圆的方程为 这样设法不仅可以使方程简单整齐 而且b还有明确的几何意义 方程的推导 椭圆的标准方程 f1 0 c f2 0 c f1 c 0 f2 c 0 f1 c 0 f2 c 0 f1 0 c f2 0 c a2 b2 c2 看分母的大小 焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上 例1 将圆上的点的横坐标保持不变 纵坐标变为原来的一半 求所得的曲线的方程 并说明它是什么曲线 你能说出这个椭圆的焦点坐标吗 椭圆标准方程的应用 解 设所得曲线上任一点坐标为 x y 圆上的对应点的坐标为 x y 由题意可得 因为 所以 即 这就是变换后所得曲线的方程 它表示一个椭圆 例 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆 它的焦距为2 4m 外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m 求这个椭圆的标准方程 解 以f1 f2所在直线为x轴 f1f2的中点为原点建立平面直角坐标系 则这个椭圆的标准方程为 根据题意 2a 3 2c 2 4 所以 b2 1 52 1 22 0 81 因此 这个椭圆的方程为 1 填空 1 已知椭圆的方程为 则a b c 焦点坐标为 5 4 3 3 0 3 0 2 已知椭圆的方程为 则a b c 焦点坐标为 2 1 0 1 0 1 巩固性练习 2 说出适合下列条件的椭圆标准方程 1 a 5 c 3 焦点在x轴上 2 焦点在y轴上 巩固性练习 3 标准