天津市高中数学第二章等差数列1课件新课标人教A版必修5.ppt

2 2等差数列 一 等差数列的概念和通项公式 通常情况下 从地面到10公里的高空 气温随高度的变化而变化符合一定的规律 请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度 8844 43米 9 24 2 28 21 5 15 8 5 2 24 减少6 5 引例 在过去的三百多年里 人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星 1 1682 1758 1834 1910 1986 2062 主持人问 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星 天文学家陈丹说 2062年左右 相差76 观察与思考 下面的几个数列 1 1 3 5 7 9 11 2 3 6 9 12 15 18 3 1 1 1 1 1 1 1 4 3 0 3 6 9 12 问题 这些数列有何特点 特点 从第2项起 每一项与前一项的差都等于同一个常数 对于数列 1 从第2项开始 每一项与前一项的差都等于2 对于数列 2 从第2项开始 每一项与前一项的差都等于3 对于数列 3 从第2项开始 每一项与前一项的差都等于0 对于数列 4 从第2项开始 每一项与前一项的差都等于 3 这个常数叫等差数列的公差 通常用字母d表示 一 等差数列的定义 练习1 观察下列数列是否是等差数列 等差数列 一般地 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 解析 1 该数列的第2项与第一项的差是1 其余的后一项与前一项的差都是2 等差数的定义要求从第2项起后项与前项的差是同一个常数 所以 它不是等差数列 2 是 它符合等差数列的定义 3 不是 因为他从第2项起后项与前项的差是 1 2 3 4 5 是常数 但不是同一常数 所以不是 1 等差数列的公差等于后一项与前一项作差 不能颠倒 2 评注 小结 证明一个数列是等差数列的方法是 二 等差数列的通项公式 an a1 n 1 d 问题 已知等差数列 an 的首项为a1 公差为d 求an 解 由等差数列的定义可知 a2 a1 d a3 a2 d a4 a3 d 则a2 a1 da3 a2 d a1 d d a1 2da4 a3 d a1 2d d a1 3d 由此可知 an a1 n 1 d当n 1时 a1 a1 1 1 d a1等式成立这表明当n n 时 an a1 n 1 d成立 等差数列的通项公式 二 等差数列的通项公式 等差数列 an 的首项是a1 公差是d 如 那麽 则由定义得 a2 a1 d 1 a3 a2 d 2 a4 a3 d 3 a5 a4 d 4 an an 1 d 分析 如果把左边由 1 式到最后一个式子 共 个式子相加 则有 n 1 等号左边为 an a1 等号右边为 n 1 d 所以 an a1 n 1 d 即an a1 n 1 d 当n 1时 上式两边都等于a1 n n 公式成立 等差数列的通项公式是 an a1 n 1 d 1 求等差数列10 8 6 4 的第20项 分析 根据a1 10 d 2 先求出通项公式an 再求出a20 解 a1 10 d 8 10 2 n 20由an a1 n 1 d得 a20 a1 n 1 d 10 20 1 2 28 通项公式的应用 解 a1 5 d 9 5 4 an 5 n 1 4 4n 1 401 4n 1 n 100 401是该数列的第100项 分析 根据a1 5 d 4 先求出通项公式an 再把 401代入 然后看是否存在正整数n 2 401是不是等差数列 5 9 13 的项 如果是 是第几项 解 由题意可得a1 5d 12 1 a1 17d 36 2 an 2 n 1 2 2n a1 2d 2 此题解法是利用数学的函数与方程思想 函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一 也是高考必考的思想方法 应熟悉并掌握 例3 在等差数列 an 中 已知a6 12 a18 36 求通项an 分析 此题已知a6 12 n 6 a18 36 n 18分别代入通项 公式an a1 n 1 d中 可得两个方程 都含a1与d两个未知数组成方程组 可解出a1与d 评注 问题 已知等差数列 an 中 公差为d 则an与am n m n 有何关系 答 由等差数列的通项公式知 此为等差数列的通项公式的变形公式 an a1 n 1 d am a1 m 1 d 由 得 an am n m d 例4 1 1 求等差数列3 7 11 的第4项和第10项 2 100是不是等差数列2 9 16 的项 如果是 是第几项 如果不是 说明理由 3 20是不是等差数列0 3 5 7 的项 如果是 是第几项 如果不是 说明理由 练习 解 1 a1 3 d 7 3 4 an 3 4 n 1 4n 1 a4 4 4 1 15 a10 4 10 1 39 2 a1 2 d 9 2 7 an 2 7 n 1 7n 5 100 7n 5 n 15 100是该数列的第15项 3 a1 0 d 3 5 0 3 5 an 0 3 5 n 1 3 5n 3 5 20 3 5n 3 5无正整数解 20不是该数列的项 1 等差数列的概念 必须从第2项起后项减去前项 并且差是同一常数 像例1中 1 2 小题只能说它们从第2项起 从第3项起是等差数列 而它们本身不是 2 等差数列的通